Сборник материалов VIІІ международной научной конференции студентов и молодых ученых «Наука и образование 2013»

 

37 

 

 For search of the  greatest  and least  values  f  on a piece 

 

b

a;

    it is  enough to  compare 

among themselves values  f    in points 

b

a,  and in critical points from a piece 

 

b

a;

. 

 

 These  results    use  at  the  decision  of  many  elementary  problems  connected  with 

inequalities. 

Let,  for  example,  it  is  required  to  prove,  that  on  some  interval  the  inequality                

   

x

g

x

f



  takes  place.  We  shall  designate 

   

x

g

x

f



  through 

 

x

F

.  By  means  of  derivative    

 

x

F



  it  is  found  the  least  value 

F

  on  the  given  interval.  If  it  is  not  negative  ,  in  all  points  of 

considered

4

2

0









a



 interval 

 

0



x

F

, etc.[1-4]. 

   

x

g

x

f



). 

 

Problem 1. To prove that  









x

e

x

e

x

e

x

e











 

for 

e

x 



0

. 

The given inequality equivalently following: 



 

 

 



x

e

x

e

x

e

x

e









ln

ln



. 

Let                

  

 

 

 



x

e

x

e

x

e

x

e

x

f













ln

ln

, 

Then           

 



 









 







x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

f

























ln

ln

. 

While         

























2

2

2

2

2

2



x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

















, 













2

ln

ln

ln

ln

2

2

2













e

x

e

x

e

x

e



, 

That  

 

0



x

f



 at 

e

x 



0

. Hence, function  f   increases on an interval 

 

e

;

0

. Function 

 

0

f

 - is 

continuous.  Therefore  this  point  can  be  included  in  an  interval  of    increase.  As

 

0

0



f

,  and    f  

increases at 

e

x 



0

, 

 

0



x

f

 at 

e

x 



0

. From here we receive the decision of a problem [5]. 

 

Problem 2. To prove the inequality  

a

k

a

ctg

a

tg

k

k

2

cos

2

2

2







  

2

0





 a

, k–naturals 

The decision. 

We  can write the inequality in the form of:  

a

k

a

tg

a

ctg

k

k

2

cos

)

(

2

2

2

2

/

2

/





. 

Let all over again 

4

0





 a

. On this interval 

tga

ctga 

 ,

0

2

cos



a

,  therefore last inequality 

is equivalent to an inequality 

a

k

a

tg

a

ctg

k

k

2

cos

)

(

2

/

2

/





. 

Let's put 

a

n

a

tg

a

ctg

a

f

n

n

2

cos

2

)

(







, where 

2

k

n



. 

Further, 













0

2

sin

2

2

2

sin

4

2

sin

4

cos

sin

)

(

1

1

1

2

1

2



a

n

a

a

tg

a

ctg

n

a

n

a

tg

a

n

a

ctg

a

n

a

f

n

n

n

n



























































 

at 

4

0





 a

. 

Here,  as  well  as  in  the  previous  problem,  that  fact  is  used,  that  the  sum  of  mutually  return 

positive  numbers  more  or  is  equal  2.  Thus,  on  an  interval 

4

0





 a

function  f   decreases.  In  a 

point 

4





a

  it  is  continuous,  therefore 











4

;

0



  is  an  interval  of  decrease  f .  The  least  value  of 

function on this interval is 

0

4

















f

. Hence, 

 

0



a

f

 at 

4

0





 a

. For the specified interval the 

 

38 

inequality  is  proved.  If   

2

4







 a

, 

4

2

0









a



.  However  the  inequality  does  not  vary  at  is 

replaced a on 

a



2



. The problem 2 is solved. 

Problem 3. What it is more 



e or 

e



? 

The decision. 

For  the  decision  of  a  problem  we  investigate  a  question  on  existence  of  decisions  of  the 

equation from two unknown persons: 

a

b

b

a



, 

0



a

, 

0



b

. We shall exclude a trivial case 

b

a



 

and for definiteness we shall assume, that 

b

a  . In view of symmetry of ocurrence 

a

and  b  in the 

equation, last remark does not limit a generality of reasonings. Clearly, that the equation 

a

b

b

a



 is 

equivalent to the equation  

 

 

 

b

a

a

b

ln

ln







  , or  

   

b

b

a

a

ln

ln



. 

 

Let 

   

x

x

x

f

ln



  (1).  Existence  of  decisions  of  the  equation  (1)  equivalently  to  presence  of 

values 

1

x and 

2

x

  

)

(

2

1

x

x 

 such, that 

   

2

1

x

f

x

f



 . In this case the pair 

)

;

(

2

1

x

x

 is the decision of 

the equation (1). Differently, it is required to find out, whether there will be a straight line 

c

y



, 

crossing the schedule of function  f  at least in two various points. For this purpose we investigate 

function  f . Its derivative 

  



2

ln

1

x

x

x

f







 in the field of definition  f  has a unique critical point 

e

x



.  At 

e

x 



0

 

 

0



x

f



  function    f     increases,  and    at 

e

x   

 

0



x

f



  function  f  

decreases.  Therefore  in  a  point 

e

x



    f accepts  the  greatest  value 













e

1

.  As  function 

 

x

x

ln

    is 

continuous and increases on an interval 





e

;

0

 it on this interval accepts all values from 





 to 

e

1

. 

Similarly, on an interval 







;

e

 function  f  accepts all values from  











e

1

;

0

 . Following statements 

follow from results of research of function  f  : 

 

1.  If 

b

a 



0

  and 

1



a

,

   

b

b

a

a

ln

ln



. Therefore 

a

b

b

a 

. Hence, the equation (1)  and the 

equation equivalent to it 

a

b

b

a



 has no decisions. 

2. If 

e

b

a







1

 

a

b

b

a 

  and the equation 

a

b

b

a



also has no decisions. 

3. If 

e

a

b





, 

a

b

b

a 

. 

 

Thus,  if  (a,  b)  is  the  decision  of  the  equation 

a

b

b

a



, 

e

a 



1

, 

e

b  .  Moreover,  at  each 

fixed value 

e

a 



1

 there will be a unique value

e

b   such, that 

a

b

b

a



.

 

 

 

 For the answer to a question of a problem 3 it is enough to put 

e

a



  





b

 and to take 

advantage of the statement (1). So,    

e

e







. The problem 3 is solved. 

 

References 

 

1.

 

Ораз  К. Теңсіздіктерді дәлелдеуде туындының қолданылуы /  Математика және физика.- 

2004.-№6.  

 

39 

2.

 

Математикалық талдау (туынды және дифференциал): оқу қҧралы Әшірбаев Н.Қ., 

Әшірбаев Қ.А., Сҧлтанбек Т.С., Қаратаев Ж.// Шымкент 2008  

3.

 

Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе 

математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30. 

4.

 

И.А.  Марон.  Дифференциальное  и  интегральное  исчисление  в  примерах  и  задачах 

(функции одной переменной): учебное пособие – М., 1973. – 400с. 

5.

 

«Алгебра және анализ бастамалары» 10-сынып Шыныбеков Ә.Н.Атамҧра 2006. 

 

6.

 

«Teaching of Mathematics»  Kulbir Singh Sidhu  .Oxford  NY 2001.   

 

УДК 517.518.12 

 

 

 

ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ВЕСОВОЙ ОЦЕНКЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 

 

Рыскулова Б. С., 

ryskulova_bayan@inbox.ru

 

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана 

 

Пусть 

   





















,

,

),

,

(

r

b

a

b

a

I

  и 

 







неотрицательные  измеримые  на 

I

функции, 



 интегральный оператор 

   

 

1

,

)

(







b

x

dt

t

f

x

t

G

x

f

 

с  неотрицательным  ядром 

 

x

t

G ,

 

)

(

b

x

t

a







  удовлетворяющим  при 

b

x

s

t

a









 

условию  

 

 

 

2

,

,

x

s

dG

x

t

G



 

где постоянная

 

1



d

 не зависит от 

.

,

,

x

s

t

 

Обозначим  через

 





G

I

Q

Q

p

p

,

,

,







  пространство  измеримых  на  I   функций 

,

f для 

которых конечен функционал  

 

3

p

p

Q

f

T

f

f

p









 

где

 





p

норма пространства

 

 

.

1

,









p

I

L

L

p

p

 

Для

 

p

Q

f



 определим оператор 





b

x

dt

t

f

x

Pf

.

)

(

)

(

 

В работе исследуется весовая оценка вида 





 

4

p

p

q

f

T

f

C

rPf









 

с константой 

0



C

, не зависящей от 

p

Q

f



. 

Положим  

).

(

)

(

sup

,

)

,

(

)

(

)

(

inf

)

(

1

1

1

1

z

dx

x

r

dx

x

t

G

x

ds

s

z

q

z

a

q

I

z

p

p

t

a

p

p

t

z

p

b

t

z



















































































































 

жүктеу/скачать 15,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: