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colliding photons. Likewise, the composite fermions protons were collided at nearly 

light speed to produce the relatively more massive Higgs boson.

[11]

 The most massive 

elementary  particle,  the  top  quark,  rapidly  decays,  but  apparently  does  not  contain, 

lighter particles. 

When  probed  at  energies  available  in  experiments,  particles  exhibit  spherical 

sizes. In operating particle physics' Standard Model, elementary particles are usually 

represented for predictive utility as point particles, which, as zero-dimensional, lack 

spatial extension. Though extremely successful, the Standard Model is limited to the 

microcosm by its omission of gravitation, and has some parameters arbitrarily added 

but  unexplained.

[12]

  Seeking  to  resolve  those  shortcomings,  string  theory  posits  that 

elementary  particles  are  ultimately  composed  of  one-dimensional  energy  strings 

whose absolute minimum size is the Planck length. 

 

Quantum physics 

In  the  mathematically  rigorous  formulation  of  quantum  mechanics  developed 

by Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann, and Hermann Weyl, the possible 

states  of  a  quantum  mechanical  system  are  symbolized  as  unit  vectors  (called  state 

vectors).  Formally,  these  reside  in  a  complex  separable  Hilbert  space—variously 

called  the  state  space  or  the  associated  Hilbert  space  of  the  system—that  is  well 

defined  up  to  a  complex  number  of  norm  1  (the  phase  factor).  In  other  words,  the 

possible states are points in the projective space of a Hilbert space, usually called the 

complex projective space. The exact nature of this Hilbert space is dependent on the 

system—for example, the state space for position and momentum states is the space 

of square-integrable functions, while the state space for the spin of a single proton is 

just  the  product  of  two  complex  planes.  Each  observable  is  represented  by  a 

maximally Hermitian (precisely: by a self-adjoint) linear operator acting on the state 

space.  Each  eigenstate  of  an  observable  corresponds  to  an  eigenvector  of  the 

operator, and the associated eigenvalue corresponds to the value of the observable in 

that  eigenstate.  If  the  operator's  spectrum  is  discrete,  the  observable  can  attain  only 

those discrete eigenvalues. 

In the formalism of quantum mechanics, the state of a system at a given time is 

described by a complex wave function, also referred to as state vector in a complex 

vector  space.

[22]

  This  abstract  mathematical  object  allows  for  the  calculation  of 

probabilities  of  outcomes  of  concrete  experiments.  For  example,  it  allows  one  to 

compute  the  probability  of  finding  an  electron  in  a  particular  region  around  the 

nucleus  at  a  particular  time.  Contrary  to  classical  mechanics,  one  can  never  make 

simultaneous  predictions  of  conjugate  variables,  such  as  position  and  momentum, 

with accuracy. For instance, electrons may be considered (to a certain probability) to 

be located somewhere within a given region of space, but with their exact positions 

unknown.  Contours  of  constant  probability,  often  referred  to  as  "clouds",  may  be 

drawn  around  the  nucleus  of  an  atom  to  conceptualize  where  the  electron  might  be 

located  with  the  most  probability.  Heisenberg's  uncertainty  principle  quantifies  the 

inability to precisely locate the particle given its conjugate momentum.

[23]

 

According  to  one  interpretation,  as  the  result  of  a  measurement  the  wave 

function  containing  the  probability  information  for  a  system  collapses  from  a  given 

368 

initial  state  to  a particular  eigenstate.  The  possible  results  of  a  measurement  are the 

eigenvalues  of  the  operator  representing  the  observable—which  explains  the  choice 

of  Hermitian  operators,  for  which  all  the  eigenvalues  are  real.  The  probability 

distribution of an observable in a given state can be found by computing the spectral 

decomposition  of  the  corresponding  operator.  Heisenberg's  uncertainty  principle  is 

represented by the statement that the operators corresponding to certain observables 

do not commute. 

The  probabilistic  nature  of  quantum  mechanics  thus  stems  from  the  act  of 

measurement.  This  is  one  of  the  most  difficult  aspects  of  quantum  systems  to 

understand. It was the central topic in the famous Bohr–Einstein debates, in which the 

two  scientists  attempted  to  clarify  these  fundamental  principles  by  way  of  thought 

experiments. In the decades after the formulation of quantum mechanics, the question 

of  what  constitutes  a  "measurement"  has  been  extensively  studied.  Newer 

interpretations  of  quantum  mechanics  have  been  formulated  that  do  away  with  the 

concept  of  "wave  function  collapse"  (see,  for  example,  the  relative  state 

interpretation).  The  basic  idea  is  that  when  a  quantum  system  interacts  with  a 

measuring  apparatus,  their  respective  wave  functions  become  entangled,  so  that  the 

original quantum system ceases to exist as an independent entity. For details, see the 

article on measurement in quantum mechanics.  

Generally,  quantum  mechanics  does  not  assign  definite  values.  Instead,  it 

makes a prediction using a probability distribution; that is, it describes the probability 

of obtaining the possible outcomes from measuring an observable. Often these results 

are skewed by many causes, such as dense probability clouds. Probability clouds are 

approximate (but better than the Bohr model) whereby electron location is given by a 

probability  function,  the  wave  function  eigenvalue,  such  that  the  probability  is  the 

squared  modulus  of  thecomplex  amplitude,  or  quantum  state  nuclear  attraction. 

Naturally, these probabilities will depend on the quantum state at the "instant" of the 

measurement.  Hence,  uncertainty  is  involved  in  the  value.  There  are,  however, 

certain  states  that  are  associated  with  a  definite  value  of  a  particular  observable. 

These  are  known  as  eigenstates  of  the  observable  ("eigen"  can  be  translated  from 

German as meaning "inherent" or "characteristic"). 

In the everyday world, it is natural and intuitive to think of everything (every 

observable) as being in an eigenstate. Everything appears to have a definite position, 

a definite momentum, a definite energy, and a definite time of occurrence. However, 

quantum  mechanics  does  not  pinpoint  the  exact  values  of  a  particle's  position  and 

momentum (since they are conjugate pairs) or its energy and time (since they too are 

conjugate pairs); rather, it provides only a range of probabilities in which that particle 

might be given its momentum and momentum probability. Therefore, it is helpful to 

use  different  words  to  describe  states  having  uncertain  values  and  states  having 

definite  values  (eigenstates).  Usually,  a  system  will  not  be  in  an  eigenstate  of  the 

observable (particle) we are interested in. However, if one measures the observable, 

the wave function will instantaneously be an eigenstate (or "generalized" eigenstate) 

of that observable. This process is known as wave function collapse, a controversial 

and  much-debated  process

[28]

  that  involves  expanding  the  system  under  study  to 

include the measurement device. If one knows the corresponding wave function at the 

369 

instant  before  the  measurement,  one  will  be  able  to  compute  the  probability  of  the 

wave function collapsing into each of the possible eigenstates. For example, the free 

particle  in  the  previous  example  will  usually  have  a  wave  function  that  is  a  wave 

packet centered around some mean position x

0

 (neither an eigenstate of position nor 

of  momentum).  When  one  measures  the  position  of  the  particle,  it  is  impossible  to 

predict with certainty the result. It is probable, but not certain, that it will be near x

0

, 

where  the  amplitude  of  the  wave  function  is  large.  After  the  measurement  is 

performed, having obtained some result x, the wave function collapses into a position 

eigenstate centered at x.  

The  time  evolution  of  a  quantum  state  is  described  by  the  Schrödinger 

equation, in which the Hamiltonian (the operator corresponding to the total energy of 

the  system)  generates  the  time  evolution.  The  time  evolution  of  wave  functions  is 

deterministic in the sense that - given a wave function at an initial time - it makes a 

definite prediction of what the wave function will be at any later time.  

During  a  measurement,  on  the  other  hand,  the  change  of  the  initial  wave 

function into another, later wave function is not deterministic, it is unpredictable (i.e., 

random). A time-evolution simulation can be seen here.  

Wave functions change as time progresses. The Schrödinger equation describes 

how wave functions change in time, playing a role similar to Newton's second law in 

classical  mechanics.  The  Schrödinger  equation,  applied  to  the  aforementioned 

example  of  the  free  particle,  predicts  that  the  center  of  a  wave  packet  will  move 

through space at a constant velocity (like a classical particle with no forces acting on 

it). However, the wave packet will also spread out as time progresses, which means 

that  the  position  becomes  more  uncertain  with  time.  This  also  has  the  effect  of 

turning  a  position  eigenstate  (which  can  be  thought  of  as  an  infinitely  sharp  wave 

packet)  into  a  broadened  wave  packet  that  no  longer  represents  a  (definite,  certain) 

position eigenstate.  

 

Fig. 1: Probability densities corresponding to the wave functions of an electron 

in a hydrogen atom possessing definite energy levels (increasing from the top of the 

image to the bottom: n = 1, 2, 3, ...) and angular momenta (increasing across from left 

to  right:  s,  p,  d,  ...).  Brighter  areas  correspond  to  higher  probability  density  in  a 

position  measurement.  Such  wave  functions  are  directly  comparable  to  Chladni's 

figures  of  acoustic  modes  of  vibration  in  classical  physics,  and  are  modes  of 

oscillation  as  well,  possessing  a  sharp  energy  and,  thus,  a  definitefrequency.  The 

angular momentum and energy are quantized, and take only discrete values like those 

shown (as is the case for resonant frequencies in acoustics) 

370 

Some  wave  functions  produce  probability  distributions  that  are  constant,  or 

independent  of  time—such  as  when  in  a  stationary  state  of  constant  energy,  time 

vanishes in the absolute square of the wave function. Many systems that are treated 

dynamically in classical mechanics are described by such "static" wave functions. For 

example,  a  single  electron  in  an  unexcited  atom  is  pictured  classically  as  a  particle 

moving  in  a  circular  trajectory  around  the  atomic  nucleus,  whereas  in  quantum 

mechanics  it  is  described  by  a  static,  spherically  symmetric  wave  function 

surrounding  the  nucleus  (Fig.  1)  (note,  however,  that  only  the  lowest  angular 

momentum states, labeled s, are spherically symmetric).

[34]

 

The Schrödinger equation acts on the entire probability amplitude, not merely 

its  absolute  value.  Whereas  the  absolute  value  of  the  probability  amplitude  encodes 

information about probabilities, its phase encodes information about the interference 

between  quantum  states.  This  gives  rise  to  the  "wave-like"  behavior  of  quantum 

states. As it turns out, analytic solutions of the Schrödinger equation are available for 

only  a  very  small  number  of  relatively  simple  model  Hamiltonians,  of  which  the 

quantum  harmonic  oscillator,  the  particle  in  a  box,  the  dihydrogen  cation,  and  the 

hydrogen atom are the most important representatives. Even thehelium atom—which 

contains just one more electron than does the hydrogen atom—has defied all attempts 

at a fully analytic treatment. 

There exist several techniques for generating approximate solutions, however. 

In the important method known as perturbation theory, one uses the analytic result for 

a  simple  quantum  mechanical  model  to  generate  a  result  for  a  more  complicated 

model  that  is  related  to  the  simpler  model  by  (for  one  example)  the  addition  of  a 

weak  potential  energy.  Another  method  is  the  "semi-classical  equation  of  motion" 

approach,  which  applies  to  systems  for  which  quantum  mechanics  produces  only 

weak  (small)  deviations  from  classical  behavior.  These  deviations  can  then  be 

computed  based  on  the  classical  motion.  This  approach  is  particularly  important  in 

the field of quantum chaos. 

Mathematically equivalent formulations of quantum mechanics[edit] 

There  are  numerous  mathematically  equivalent  formulations  of  quantum 

mechanics.  One  of  the  oldest  and  most  commonly  used  formulations  is  the 

"transformation  theory"  proposed  by  Paul  Dirac,  which  unifies  and  generalizes  the 

two  earliest  formulations  of  quantum  mechanics  -  matrix  mechanics  (invented  by 

Werner Heisenberg) and wave mechanics (invented by Erwin Schrödinger).

[35]

 

Especially since Werner Heisenberg was awarded the Nobel Prize in Physics in 

1932  for  the  creation  of  quantum  mechanics,  the  role  of  Max  Born  in  the 

development of QM was overlooked until the 1954 Nobel award. The role is noted in 

a  2005  biography  of  Born,  which  recounts  his  role  in  the  matrix  formulation  of 

quantum  mechanics,  and  the  use  of  probability  amplitudes.  Heisenberg  himself 

acknowledges  having  learned  matrices  from  Born,  as  published  in  a  1940 

festschrifthonoring Max Planck.

[36]

 In the matrix formulation, the instantaneous state 

of  a  quantum  system  encodes  the  probabilities  of  its  measurable  properties,  or 

"observables".  Examples  of  observables  include  energy,  position,  momentum,  and 

angular  momentum.  Observables  can  be  either  continuous  (e.g.,  the  position  of  a 

particle) or discrete (e.g., the energy of an electron bound to a hydrogen atom).

[37]

 An 

371 

alternative  formulation  of  quantum  mechanics  is  Feynman's  path  integral 

formulation, in which a quantum-mechanical amplitude is considered as a sum over 

all possible classical and non-classical paths between the initial and final states. This 

is the quantum-mechanical counterpart of the action principle in classical mechanics. 

Interactions with other scientific theories[edit] 

The  rules  of  quantum  mechanics  are  fundamental.  They  assert  that  the  state 

space of a system is a Hilbert space and that observables of that system are Hermitian 

operatorsacting  on  that  space—although  they  do  not  tell  us  which  Hilbert  space  or 

which operators. These can be chosen appropriately in order to obtain a quantitative 

description of a quantum system. An important guide for making these choices is the 

correspondence  principle,  which  states  that  the  predictions  of  quantum  mechanics 

reduce  to  those  of  classical  mechanics  when  a  system  moves  to  higher  energies  or, 

equivalently, larger quantum numbers, i.e. whereas a single particle exhibits a degree 

of  randomness,  in  systems  incorporating  millions  of  particles  averaging  takes  over 

and,  at  the  high  energy  limit,  the  statistical  probability  of  random  behaviour 

approaches zero. In other words, classical mechanics is simply a quantum mechanics 

of  large  systems.  This  "high  energy"  limit  is  known  as  the  classical  or 

correspondence  limit.  One  can  even  start  from  an  established  classical  model  of  a 

particular  system,  then  attempt  to  guess  the  underlying  quantum  model  that  would 

give rise to the classical model in the correspondence limit. 

 

Unsolved problem in physics: 

In  the  correspondence  limit  of  quantum 

mechanics:  Is  there  a  preferred  interpretation 

of  quantum  mechanics?  How  does  the  quantum 

description  of  reality,  which  includes  elements 

such  as  the  "superpositionof  states"  and  "wave 

function  collapse",  give  rise  to  the  reality  we 

perceive? 

(more unsolved problems in physics) 

When quantum mechanics was originally formulated, it was applied to models 

whose  correspondence  limit  was  non-relativistic  classical  mechanics.  For  instance, 

the  well-known  model  of  the  quantum  harmonic  oscillator  uses  an  explicitly  non-

relativistic expression for the kinetic energy of the oscillator, and is thus a quantum 

version of the classical harmonic oscillator. 

Early  attempts  to  merge  quantum  mechanics  with  special  relativity  involved 

the  replacement  of  the  Schrödinger  equation  with  a  covariant  equation  such  as  the 

Klein–Gordon  equation  or  the  Dirac  equation.  While  these  theories  were  successful 

in  explaining  many  experimental  results,  they  had  certain  unsatisfactory  qualities 

stemming from their neglect of the relativistic creation and annihilation of particles. 

A fully relativistic quantum theory required the development ofquantum field theory, 

which  applies  quantization  to  a  field  (rather  than  a  fixed  set  of  particles).  The  first 

complete quantum field theory, quantum  electrodynamics, provides a fully quantum 

description  of  the  electromagnetic  interaction.  The  full  apparatus  of  quantum  field 

theory  is  often  unnecessary  for  describing  electrodynamic  systems.  A  simpler 

372 

approach, one that has been employed since the inception of quantum mechanics, is 

to  treat  charged  particles  as  quantum  mechanical  objects  being  acted  on  by  a 

classicalelectromagnetic  field.  For  example,  the  elementary  quantum  model  of  the 

hydrogen atom describes the electric field of the hydrogen atom using a classical 

 

Coulomb potential. This "semi-classical" approach fails if quantum fluctuations in the 

electromagnetic  field  play  an  important  role,  such  as  in  the  emission  of  photons  by 

charged particles. 

Quantum field theories for the strong nuclear force and the weak nuclear force 

have  also  been  developed.  The  quantum  field  theory  of  the  strong  nuclear  force  is 

called  quantum  chromodynamics,  and  describes  the  interactions  of  subnuclear 

particles such as quarks and gluons. The weak nuclear force and the electromagnetic 

force  were  unified,  in  their  quantized  forms,  into  a  single  quantum  field  theory 

(known as electroweak theory), by the physicists Abdus Salam, Sheldon Glashow and 

Steven Weinberg. These three men shared the Nobel Prize in Physics in 1979 for this 

work.

[38]

 

It  has  proven  difficult  to  construct  quantum  models  of  gravity,  the  remaining 

fundamental  force.  Semi-classical  approximations  are  workable,  and  have  led  to 

predictions  such  asHawking  radiation.  However,  the  formulation  of  a  complete 

theory of quantum gravity is hindered by apparent incompatibilities between general 

relativity  (the  most  accurate  theory  of  gravity  currently  known)  and  some  of  the 

fundamental  assumptions  of  quantum  theory.  The  resolution  of  these 

incompatibilities is an area of active research, and theories such as string theory are 

among the possible candidates for a future theory of quantum gravity. 

Classical  mechanics  has  also  been  extended  into  the  complex  domain,  with 

complex classical mechanics exhibiting behaviors similar to quantum mechanics.

[39]

 

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