Теория и методика обучения математике

Запись у р авн ен и я (5) я в л я е т с я ф орм альны м д о к а за ­
тельством.
П роверка справедливости данного уравнения при всех 
значениях х  и определяет, что первое слагаемое четное, а 
второе — нечетное.
Реш ение данного уравнения непосредственно вы текает 
из формулы (5):
1 
= 
X2 
+ 
1
х4 - х 
х6
-
1
х7 - X
В некоторы х случаях обобщение реш ений задач может 
привести к новым результатам .
У. Сойер отметил, что обобщение я в л я ется легки м и 
простым путем расш ирения знаний (32).
А н а л о ги я и м о д ел и р о в ан и е. П ри и зу ч ен и и свойств 
данны х объектов они могут совпадать со свойствами дру­
гих объектов. Н а основе установления таки х соответствий 
м ож но будет п р ед п о л о ж и ть, что совпадут и други е их 
свойства. Т акого вида р ассу ж д ен и я составляю т основу 
аналогии.
По мнению Д. Пойа: “Заклю чение по аналогии есть са­
мый обычный вид рассуж дения, возмож но, и самый в а ж ­
ный. Оно приведет нас к более или менее правдоподобным 
предположениям, которые могут подтвердиться или не под­
твердиться опытом или более строгим рассуж дением ” (41).
К аналогии ближе метод м оделирования, поэтому в св я­
зи с усилением интеграционной направленности в научном 
рассуждении повышается важность метода моделирования.
А н ал о ги я. А н а л о г и я  (греч. сл. апаІо§іа — со о т вет ­
ст вие, подобие) — это метод научного познания, с помощью 
которого, опираясь на сходство некоторы х признаков объ­
екта, делается вывод о сходстве других признаков объекта. 
Как делается вывод по аналогии, можно показать с помо­
щью следующей схемы: если сг, с2, ..., спявляю тся общими 
свойствами рассматриваемых объектов А и Б , а объект А 
такж е обладает свойством й , то и объект В  обладает свой­
ством й .
Вывод, сделанный по аналогии, явл яется правдоподоб­
ным, вероятностным. Он явл яется источником создания 
научных гипотез и важ ны м при осущ ествлении научного 
поиска.
81

Особой х ар ак те р и сти к о й ан алоги и я в л я е т с я перенос 
отнош ений и свойств из одной системы в другую. Одним 
из важ н ы х вопросов обучения явл яется формирование у 
учащ и хся способностей к осуществлению переноса полу­
ченны х при и зучен и и свойств одного объекта зн ан и й к 
другому объекту.
Поэтому учителю необходимо самому хорошо владеть 
методом аналогии, уметь свободно использовать его р а з­
личны е виды в процессе проведения урока и знать этапы 
проведения ур о ка и ф акторы , при бли ж аю щ и е к истине 
выводы, сделанны е по аналогии.
К ак показы вает исследование, проведенное А. И. Уемо- 
вым, вероятность истинности выводов, сделанны х по ан а­
логии, будет высокой при выполнении следующ их условий 
(34):
1) общ их д л я объектов А и В  свойств — с1, с2, с
п долж ­
но быть, по возмож ности, много;
2) эти свойства долж ны быть сущ ественными для рас­
см атриваем ы х объектов;
3) эти свойства долж ны охватить все стороны рассм ат­
риваем ы х объектов;
4) свойство а, относящ ееся ко второму объекту, и свой­
ства сх, с2, ..., спдолж ны быть одного типа;
5) свойства с х, с 2, ..., сп явл я ю тся только свойствами 
сравниваем ы х объектов и не являю тся свойствами других 
объектов;
6) если вывод содерж ит мало инф орм ации, то он будет 
намного ближ е к истинности. Это показы вает, что пере­
носимое ко второму объекту свойство с1 не обладает особой 
характери сти кой . Н асколько с1 будет явл яться простым, 
настолько будет вы сока ее вероятность.
В об учен и и а н а л о г и я п р и м е н я е т с я к а к м етод ф о р ­
м и рован и я новы х знаний, установления связей в новом 
м атери але, доказательства свойств м атем ати чески х по­
н яти й , прим енения полученных знаний и т. д.
Р ассм о тр и м п ри м ен ен и е ан ал о ги и в п роцессе ф о р ­
м ирования новых знаний.
О братим вн и м ан и е на п р и м ен ен и е одного из видов 
а н а л о г и и — изоморфизм. Н априм ер, в процессе ф орм и­
рования п о н яти я ком м уникативной группы можно рас­
82

сматривать аналогичны е свойства следую щ их структур: 
<+; 2 ) (операция слож ение и множество целы х чисел) и 
< ’ ; Я+) (операция умнож ение и множество полож ительны х 
рациональны х чисел). Установление аналогичны х свойств 
данных структур, т.е. выполнимость ассоциативной и ком ­
м уникативной операций, наличие обратных и н ей тр ал ь­
ны х элементов определяет единую структуру к о м м у н и ­
кативной группы. О тталкиваясь от конкретной природы 
множеств и конкретного содерж ания операций, строится 
абстрактная ком м ун и кати вн ая теория.
Из истории м атем ати к и м ож но привести м нож ество 
примеров того, что аналогия сы грала большую роль в р а з­
витии теории.
Н априм ер, введение основных понятий многомерного 
пространства стало возм ож ны м в результате использова­
ния аналогии для основных понятий плоскости и трехм ер­
ного пространства. Ф у н к ц и я ком п лексн ы х перем енны х 
п о яви лась ан алоги ч н о ф у н к ц и и д ей стви тел ьн ы х п е р е ­
менных.
Д ля того чтобы построить теорию ф ункции ко м п л екс­
ных переменны х, были использованы методы исследова­
ния ф ункции с действительным переменным по аналогии.
А налогия используется и при установлении взаи м освя­
зей ранее изученного м атериала с новым. Н априм ер, вве­
дение пон яти я диаметр шара {сферы) можно осущ ествить 
следующим образом: в ш кольном курсе м атем атики д и а­
метр круга (окруж ности) определяется к а к наи больш ая 
хорда, соединяю щ ая любые две точки круга (окружности). 
В стереометрии аналогично определяется диам етр ш ара 
(сферы), т.е. достаточно заменить названия фигур п л ан и ­
метрии на название фигур стереометрии.
В ш кольном курсе м атем атики, на основе определения 
параллельности двух прям ы х на плоскости, по аналогии 
утверж дается определение параллельности двух плоскос­
тей или параллельность прямой и плоскости.
Немало примеров можно привести на применение ан а­
логии не только к ак эвристического приема, но и к ак мето­
да доказательства в науке и в учебном процессе. Н апример, 
Евклид для доказательства теоремы Пифагора использо­
вал аналогию меж ду квадратам и, построенными на сто­
83

ронах прямоугольного треугольника, и прямоугольными 
треугольникам и, построенными на этих сторонах.
А налогия используется при усвоении новых знаний и 
применении их на п р акти ке. Н априм ер, для нахож дения 
путей реш ения одной задачи рассматриваю тся задачи, по­
добные данной. Т а к ая задача долж на быть неслож ной или 
заранее известны пути ее реш ения.
В процессе обучения м атем атике учащ иеся, в резуль­
тате неправильного использования аналогии, допускаю т 
множество ошибок. Н апример, из того, что для М > 0 , N >0 
вы полняется 1о£а(М  • Ы) = 1о£ аМ  + 1о£аІУ, учащ иеся по ан а­
логии делаю т следую щ ий неправильны й вывод:
1о ё а(М  + ІУ) = 1о £аМ  + 1о£аЛ?\
Встречаю тся и следую щ ие виды ошибок {табл. 1):

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: