Теория и методика обучения математике

К образным, или иконическим (картинны м ), моделям 
относят разного рода рисунки, чертеж и, схемы, передаю ­
щ ие в образной форме структуру или другие особенности 
моделируемых предметов или явлен и й . К этому ж е виду 
идеальны х моделей следует отнести географ ические к а р ­
ты, планы , структурны е ф ормулы в хим ии, модель атома 
в ф изике и т.д.
З н а к о во -с и м во ли ч е с ки е  м одели п р ед ставл яю т собой 
запись структуры или некоторы х особенностей м оделиру­
емых объектов с помощью знаков-символов какого-то ис­
кусственного я зы к а. П рим ерами так и х моделей являю тся 
м атем атические уравнения, хим ические формулы.
Н аконец, мы сленны е (умственные, воображаемые) мо­
дели — это представления о каком-либо явлении , процессе 
или предмете, вы раж аю щ ие теоретическую схему моде­
лируемого объекта. М ысленной моделью явл яется любое 
научное представление о каком-либо явлении в форме его 
описания на естественном язы к е.
И деальны е модели часто и сп ользую тся в тео р ети ч е­
ских исследованиях. Н априм ер, на основе исследования 
свойства и деальн ого м ате м ати ч е с к о го м а я т н и к а у с т а ­
н ав л и ваю тся зак о н ы , кото р ы м п о д ч и н я ется р еал ьн ы й
м аятн и к . В научны х исследованиях н аряду с активны м
использованием идеализированны х представлений об объ­
ектах ш ироко прим еняю т и знаковы е модели.
П ри знаковом м оделировании м оделям и служ ат зн а ­
ковы е образования какого-ли бо вида: схем ы , гр аф и ки , 
чертеж и, формулы, граф ы , слова и предлож ения в неко­
тором алфавите (естественного или искусственного язы ка).
З н аковое м одели рован и е основано на построении и 
применении м атематической модели какого-либо класса 
явлений, не используя ф изические модели объекта. Такие 
модели иногда назы ваю т абст р а кт ны м и м а т ем ат иче­
скими моделями. Знаковое моделирование требует постро­
ения знаковой модели, где отнош ения и свойства объекта 
проявляю тся в виде зн ак а и его взаи м освязи . Затем эта 
модель исследуется логическим путем и знания приобре­
таю тся дедуктивны м методом.
В ш кольном курсе м атем ати к и термин модель часто 
используется в узком смысле, акц ен ти руется внимание
87

только на модели геом етрических ф игур, сделанны х из 
дерева, стекла, проволоки и т. д. Однако такое понимание 
не противоречит общему понятию терм ина модель. Д ей ­
ствительно, куб, пирам ида и другие абстрактны е п оняти я 
определяю тся с помощью других абстрактны х понятий. 
Г ео м етр и ч еск ая ф и гу р а, п р ед ставл я ю щ ая абстрактн ое 
понятие о реальном теле, обладает свойствами, х ар актер и ­
зую щ ими абстрактное понятие вне зависимости от того, из 
какого м атериала сделана эта ф игура и какого цвета, по­
этому она явл яется абстрактной моделью реального тела.
В процессе обучения ш кольной м атем атике проводит­
ся работа по созданию м атем атических, вернее, логико-м а­
тем атических моделей конкретны х задач. В данном случае 
модель задачи явл яется абстракцией высш его уровня, чем 
сама задача. Различны е задачи с конкретны м содержанием 
могут иметь одинаковую логико-математическую модель. 
В старш и х к л ассах вместо тради ц и он н ы х терминов: со­
ст а ви т ь у р а в н е н и е , н а й т и всевозможные зн а ч ен и я неиз­
вестного, обозначить неизвестное и т. п. целесообразно 
использовать термины: построить м ат емат ическую  (или 
логико-м ат ем ат ическую ) модель за да ч и ; написат ь усло­
вие задачи на язы ке логико-математической модели и т. п. 
Здесь не идет речь о необходимости введения какого-либо 
термина, а затрагивается вопрос о постепенном введении 
м атем атических идей. Эти термины обозначают п оняти я, 
идеи, поэтому необходимо их правильно усвоить.
Д ля подготовки учащ ихся к этим вопросам нет необхо­
димости введения новых тем. В учебном м атериале ш колы
им еется достаточно элементов матем атического модели­
рования, просто необходимо п оказать и объяснить их суть 
учащ им ся.
И ндукция и дедукция — взаим освязанны е меж ду со­
бой методы познания. Деление основано на индуктивны е 
и дедуктивны е ум озаклю чения. Существуют три значения 
терминов индукции:
1) виды ум озаклю чений;
2) методы исследования;
3) формы и злож ен и я материала.
И н д у к ц и я  (от л а т. іпсіисііо — н а п р а в л я т ь )  — ум о­
за к л ю ч е н и е, в р езу л ьтате которого п о л у ч ается общ ий 
вывод, содерж ащ ий некоторое знание о всех предметах
88

класса, на основании зн ан и я об отдельны х предметах д ан ­
ного класса, т.е. умозаклю чение, сделанное при переходе 
от частного к общему. В более ш ироком смысле, и н д укц и я 
является методом познания, познавательной операцией, 
основанной на результате д в и ж ен и я м ы сли от частн ы х 
ситуаций к общим.
В общем, в м атем атике под индуктивны м методом по­
нимается получение новых выводов или теорий на основе 
фактов теоретического хар актер а, проверенны х п р а к т и ­
кой, и истинность которы х строго доказан а (36).
Различаю т два вида индукции: полную  и н еп о лн ую .
П о л н а я и н д у кц и я  явл яется умозаклю чением, в резуль­
тате которого делается общий вывод о классе объектов при 
рассмотрении всех возм ож ны х частны х случаев, им евш их 
место. П олная ин дукц и я ш ироко используется в д о к аза­
тельствах утверж дений, так к а к сделанны й вывод по пол­
ной индукции является истинны м .
Н апример, “Д ля любых правильны х м ногогранников 
вы полняется соотношение В — Р  + Г = 2, где В — верш ины , 
Р — ребра, Г  — гран и” . Чтобы доказать истинность данного 
у м о за к л ю ч е н и я , п р о в е р я е т с я в ы п о л н и м о с т ь д ан н о го
соотнош ения для тетраэдра, октаэдра, куба, додекаэдра, 
и к о с а эд р а . П р ав и л ь н о с ть сд ел ан н о го у м о за к л ю ч е н и я
для п яти видов м н огогран н и ка п роверяется с помощ ью
составления следующей таблицы:

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: