Теория и методика обучения математике

О стальные свойства логически зависимы от основного со­
д ер ж ан и я и вы водятся из него. О тнош ения меж ду п о н яти ­
ям и вы раж аю т м атем атические предлож ения.
3. 
Все предлож ения теории, кроме аксиом , вы водятся 
логическим путем с использованием законов логики, п р а­
вил вывода, полож ений теории множ еств. П онятно, что в 
ш коле учащ им ся эти зн ан и я не даю тся, поэтому изучение 
м атем атики ведется в рам ках содерж ательной теории (от­
сутствие законов логики, теории множеств и т. д.).
Отметим, что в “Н ач ал ах ” Евклида (около III в. до н.э.) 
представлены 14 аксиом. Их оказалось недостаточно, чтобы 
вывести остальны е утверж дения логическим путем (117). 
Да и очевидность оказалась необязательна д л я аксиом ы , 
что доказало откры тие неевклидовой геометрии Н. И. Л о­
бачевским и Я. Б ольяи . Они установили, что заменив 5-й 
постулат Евклида о параллельны х прямы х его отрицанием, 
можно чисто логическим путем развить другую геометри­
ческую теорию. Этот ф акт заставил м атем атиков X IX в. 
обратить вн и м ан и е на дедукти вн ы й способ построения 
м атем ати ч ески х теорий. Это повлекло за собой в о зн и к ­
новение связан ной с самим понятием аксиом атического 
метода ф ормальной (аксиоматической) теории, на основе 
которой выросла теория доказательств (122). А ксиом ати­
к а, традиционно и зу ч аем ая в ш коле, бы ла разработана 
Д. Г и л ь б ер то м и о п и с а н а в “О сн о в а н и я х г е о м е т р и и ” 
(1899 г.). А кси ом ати ка вклю чает пять групп аксиом (118).
П ринадлеж ность предлож ения к некоторой м атем ати­
ческой теории определяется двумя признакам и (7):
• предлож ение сформулировано или записано на язы ке 
данной теории, состоит из м атем атических и логических 
(при н адлеж ащ и х я зы к у теории) терминов или символов и 
не содерж ит н и к ак и х других терминов или символов;
• предлож ение истинно в силу того, что оно является 
исходным истинны м предлож ением в данной теории (ак ­
сиомой), или его истинность доказы вается (использую тся 
исходные или ранее доказанны е истинные предлож ения).
Н априм ер, рассмотрим математическое предложение: 
“Сумма углов треугольника равна 180°” . Данное предлож е­
ние а) общеутвердительное, геометрическое, принадлеж ит 
теории евклидовой геом етрии, так к а к сф ормулировано
128

на язы к е геометрии (состоит из геометрических терминов: 
сумма углов, треугольник, 180°, и логических терминов: 
любой, равна); б) истинно, т. е. до казы вается в р ам к ах
евклидовой геометрии.
В ф ормулировках часто опускается слово “любой” , хотя 
этот квантор значим , и предлож ение долж но быть следую ­
щ им : “Сумма углов лю бого т р е у го л ь н и к а р ав н а 180°” . 
Кванторы играют в матем атике важную роль, они влияю т в 
определенной мере на выбор способа доказательства, поэто­
му целесообразно при работе с теоремой обратить внимание 
учащ ихся на вид суж дения и вы делить кванторны е слова.
5.2. У мозаклю чение. Д едуктивное ум озаклю чение
Одной из форм м ы ш лен и я я в л я ется ум озаклю чение, 
познавательное значение которого особенное.
Обучение учащ ихся умозаклю чению и правильны м вы ­
водам является главны м методическим вопросом обучения 
всех ш кольны х предметов. Здесь существенное значение 
имеет обучение м атем атике, так к ак при изучении и усвое­
нии новых материалов на каж дом этапе приходится делать 
умозаклю чение и выводы.

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: