Теория и методика обучения математике

М а т е м а т и ч е с к и й а н а л и з , который раскры вает м ате­
матическое содержание выделенных элементов структуры.
А нализ ф орм улировки теоремы (А  = > В ) проводится 
для дальнейш его доказательства. С этой точки зрения по­
лезно сформулировать утверж дения:
обратное данному утверж дению (условие и заклю чение 
исходного утверж ден и я меняю т местами): В  => А;
противополож ное данному утверж дению (к условию и 
заклю чению прим еняю т отрицание): 'А = > 'В;
обратное противополож ному или противоположное об­
ратному утверж дению : 'В = > 'А.
Т аким образом, предлож ения назы ваю тся:
А => В
та
 В  = > А взаим но обратными.
А => В и 'А = > 'В взаим но противоположными.
'В => 'А о б р а т н ы м п р о т и в о п о л о ж н о м у  (и ли про­
тивополож ным обратному).
П ары п р е д л о ж е н и й : п р ям о е и обратное п р о ти во п о ­
лож ному (А = > В  < = > 'В => 'А ), обратное и противополож ­
ное (В =>А<=> 'А = > 'В) одновременно истинны или л о ж ­
ны. Поэтому если прямое (обратное) предложение является 
теоремой, то теоремой явл яется и обратное противополож ­
ному (противоположное) предлож ение. В отдельных слу­
ч аях все четы ре предлож ения могут оказаться теоремами.
Если имеет место теорема А = > В, то говорят, что усло­
вие В  явл яется необходимым для условия А , а А — доста­
точным условием для Б . Если имеет место теорема А => В  и 
В = > А, то говорят, что каж дое из предлож ений А и В  я в л я ­
ется необходимым и дост аточным условием для другого.
Пример 1. Рассмотрим утверждение: “Если сумма цифр 
числа п делится на 9, то само число делится на 9 ” . Это ут­
верж дение справедливо для любого натурального числа. 
Условие теоремы А (сумма циф р числа п делится на 9), за­
клю чение В (п делится на 9).
Теперь пом еняем м естам и условие с заклю чен и ем и 
получим обратное у тверж ден и е данном у утверж дению : 
“Если число п делится на 9, то сумма циф р этого числа 
делится на 9 ” , т .е .: В (п делится на 9), А (сумма цифр чис­
ла п делится на 9).
Противоположное утверж дение данному утверждению: 
“Если сумма цифр числа п не делится на 9, то само число
142

не делится на 9” , противоположное утверж дение обратно­
му утверж дению : “Если число п не делится на 9, то сумма 
цифр этого числа не делится на 9 ” .
Теоремы ш кольного курса ф ормулирую тся в основном 
в им пли кативной (если ..., то...) или категоричной форме. 
Д ля вы деления структуры (условия, заклю чения и т. п.) 
целесообразно формулировать теорему в им пли кативной 
ф орме. У твер ж д ен и е из вы ш ерассм отрен н ого п р и м ер а 
сформулировано в им пликативной форме.
Т аким образом, выполнение ЛМА предполагает:
• установление формы формулировки;
• перевод ф орм улировки, если необходимо, в им пли- 
кативную форму;
• запись структуры теоремы, т. е. вычленение р азъ ясн и ­
тельной части, условия, заклю чения с выделением прос­
тых вы сказы ваний и содерж ания структурны х элементов;
• определение вида (простой или слож ны й);
• ф орм улирование утверж ден и я, обратного данном у, 
противоположного данному и обратного противополож но­
му (определение их истинности или лож ности).
П ример 2. А нализ теоремы “Сумма см еж ны х углов рав­
на 180°” и ф орм улировка утверж дений: а) обратного дан ­
ному; б) противоположного данному; в) противоположного 
обратному.
Теорема сф ормулирована в категоричной форме.
а) В и м п л и к ати в н о й форме она будет им еть ф орм у­
лировку: “Если углы смеж ные, то их сумма равна 180°” . 
Вид суж дения — общ еутвердительный, поэтому уточним 
ф орм ули ровку: “Если лю бые два у гл а см еж н ы е, то их 
сумма равна 180°” .
б) У тверждение, обратное данному утверждению : “Если 
сумма двух углов равна 180°, то углы см еж ны е” . Вид су ж ­
дения — общ еутвердительный.
в) У тверж дение, противополож ное данном у у т в е р ж ­
дению: “Если углы не смежные, то их сумма не равна 180"” . 
Вид суж дения — общ еотрицательный.
г) У тверж дение, обратное противополож ному у тверж ­
дению: “Если сумма двух углов не равна 180°, то углы не 
см еж ны е” . Вид суж дения — общ еутвердительный.
143

В ш кольном курсе м атем ати к и зн ан и е соотнош ений 
м еж ду п р ям ы м и и обратны м и теорем ам и способствует 
осознанному усвоению учащ и м и ся свойств и признаков 
геом етрических ф игур, суть понятий: “необходимое усло­
вие” , “достаточное условие” , “необходимое и достаточное 
условие”, “геометрическое место точек” и т.п.
К ак и прям ы е теоремы, обратные теоремы бывают ис­
тинны м и или лож н ы м и . Обратная теорема к данной ис­
тинной не всегда бывает истинной теоремой. Н апример, в 
предыдущ ем примере теорема, обратная данной, не всег­
да явл яется истинной, так к а к существуют такие два угла, 
сумма которы х равна 180°, но не см еж ны х м еж ду собой 
(рис. 6):
Рис. 6
Следующий пример: “Если четы рехугольник является 
прям оугольником , то его диагонали равн ы ” — истинное 
у т в е р ж д е н и е . О братное дан н о й теорем е у т вер ж д ен и е: 
“Если у четы рехугольника диагонали равны, то этот четы ­
рехугольник прям оугольн ы й ” — неверное утверж дение, 
так к а к в качестве контрольного примера можно привести 
равнобедренную трапецию .
Если истинны п р я м а я и обратная теоремы, их н азы ­
вают взаимно обратными теоремами и обозначают сле­
дующ им символом:

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: