часть  поля  для  того,  чтобы  в  остатке

женнои  с  полуинтервалом  синего  ряда. 
Таким  образом  из  поля  КС  был  удален 
квадратный 
кусок,  а 
в  оставшейся 
части  середина  отмечена  одной  из  сто­
рон  основного  квадрата.  Почему  такая 
резекция  оказалась  допустимой?  Д а  
потому,  что  «ткань»  гномона,  начинен­
ная  подобными  треугольниками,  бегу­
щими  по  секущей  —  диагонали,  есть 
несчетное  множество,  стянутое  в  точку 
т,  а  мощность  («количество»)  тако­
го  множества  неиссякаема  в  самом 
прямом  смысле  этого  слова.  Можно 
отсекать  конец  какой  угодно  длины, 
но  мощность  множества  сохранится  *.
*  Н еиссякаем ость 
м н ож ества 
подобных 
т р е ­
угольников,  блокированны х  в  спектр  гномо­
на,  напом инает  главн ое  свойство  голограммы , 
лю бой  сколь  угодно  малый  ф р агм ен т  которой 
в  принципе  со х р ан яет  полное  и зо б р аж ен и е 
сн ятого  на  голограм м у  предм ета  —  принцип 
суперпозиции.
И  стоит  нам  изменить  масштаб  остат­
ка,  т.  е.  увеличить  (оптически)  до  р аз­
меров  начального  состояния,  и  картина 
восстановится.  Н ужно  только  следить, 
чтобы  интервалы  накладывались  друг 
на  друга  без  искажений.  Это  то,  чем 
пренебрег  Корбюзье  во  имя  поставлен­
ной  цели.  И  хотя  он  достиг  желаемого 
результата, 
но 
потеря 
превосходит 
приобретенное.  Что  ж е  в  таком  случае 
можно  рекомендовать?  Сегодня,  имея 
за  плечами  труд  многих  лет  скрупу­
лезного  исследования  замечательного 
инструмента,  который  оставил  нам  в 
наследство  выдающийся  мастер,  я  поз­
волю  себе  ответить  так:  «Д октор**! 
Не  надо  резать!  Новорожденный  более 
чем  здоров  и  даж е,  сдается  мне,  чу-
**  З а   построение  М од улора  Л е   К орбю зье  был 
удостоен  зван и я  доктора  м атем атики.

точку  гениален».  «Откуда  такая  про­
ницательность?»  —  спросит, 
в 
свою 
очередь,  незримый  участник  диалога. 
И 
приходится 
вновь 
погружаться 
в  дебри  рассмотрения,  потому  что  КС 
и  Модулор  ладно  скроены,  но  плохо 
сшиты  между  собой,  и  надо  наводить 
порядок. 
Поэтому 
первое, 
что 
мы 
сделаем,  заполним  пустоту  полярного 
гномона  n l l m ,   помня,  что  он  есть  реф ­
лексия  гномона  m l n ,   что  он  связан 
со  своим  собратом  принципом  компле­
ментарное™,  а  потому  он  долж ен  ему 
подражать  —  превратиться  в  его  «эхо».
Лю бая  (м ате м ати ч е ская)  тео ­
рия  должна  непременно  сочетать 
в  себ е  мощ ь  м е то д а ,  о бусло вли­
ваю щ его  возм ож ность  применений 
к  естественны м   н аукам ,  и  кр асо ту, 
стройность,  столь  привлекательную  
д ля  ум а.
У .  С о й е р
Если  наш  подход  к  прямоугольни­
ку,  сеченному  диагональю,  как  инстру­
менту,  описывающему  дихотомический 
процесс,  обладает  действенностью,  то 
мы  можем  привлечь  его  как  метод  для 
заполнения  гномона  n l l m   с  целью  на­
сыщения  поля  m l n l l   полезной  инфор­
мацией. 
Д ля 
этого 
воспользуемся 
древним  способом  построения  ЗС  в  его 
модифицированном  виде,  потому  что 
прямой  угол,  который  удается  постро­
ить  с  его  помощью,  обретает  инверс­
ное  (опрокинутое)  положение  относи­
тельно  прямого  угла,  который  строит 
Корбюзье  в  двусмежном  квадрате.  П о ­
сему  наложим  рис.  16  на  рис.  10,  сов­
местив  двусмежные  квадраты.  П олу­
ченный  дуплекс,  в  свою  очередь,  н а­
несем  на  конструктивную  схему  КС. 
И  опять  габариты  двусмежных  квад­
ратов  следует  совместить  (рис.  2 1 ). 
Мы  получаем  любопытнейший  резуль­
тат:  верхние  концы  сторон  опрокину­
того  угла  слились  с  положением  сто-
п
20
рон  прилегающих  треугольников  спект­
ра  —  это  отрезки  А  и  В.  Более  того, 
стороны  неопрокинутого  и  опрокину­
того  углов 
пересекаются 
в  точках, 
через  которые  проходит  диагональ  по­
ля  КС  (секущая  т п ) .  А  это  значит,  что 
спектр  подобных  треугольников  связан 
той 
пропорцией, 
которой  подчинены 
отрезки  нижнего  основания  дв усм еж ­
ного  квадрата,  фиксированные  поло­
жением  вершины  опрокинутого  угла. 
Состояние  КС  обусловлено  взаиморас­
положением 
двух 
углов  —  неопроки­
нутого  и  опрокинутого!  Забегая  вперед, 
позволю  себе  заметить,  что  с  этого  мо­
мента  «туман»  постепенно  станет  осе­
дать.
Наши  «сиамские  близнецы»  —  не- 
опрокинутый  (исходный)  и  опрокину­
тый 
(рефлексный) 
углы  —  соединены 
мостом,  в  качестве  которого  выступает 
метод  соразмерных  отрезков.  Д ействи­
тельно,  вершина  исходного  угла  при 
условии,  что  высота  поля  m l n l l   выра­

жена  величиной,  равной  двум  едини­
цам,  отстоит  от  точки  4°  на  два  модуля 
(М =   1).  Вершина 
рефлексного 
угла 
отстоит  от  нормали  44°  на  величину, 
которая  есть  большая  золоточленная 
доля  основания  двусмежного  квадра­
та.  Соединив  обе  вершины  прямой, 
мы  получим  положение  секущей, 
с 
помощью  которой  метод  соразмерных 
отрезков  позволяет  рассечь  основание 
двусмежного  квадрата  на  два  золото­
членных  интервала.
Теперь  все  три  подхода  связыва­
ются  в  целостный 
комплекс: 
метод
Корбюзье,  модифицированный  тради­
ционный  способ  и  новый  прием  сор аз­
мерных  отрезков,  причем  последний 
выступает  в  роли  посредника,  ибо  се­
кущая  проходит  через  точку  пересече­
ния  горизонтальной  оси  поля  КС  с 
вертикальной  осью  основного  квадра­
та,  который  покоится  в  центре  КС.  Это 
нетрудно  доказать,  используя  знания 
средней  школы.  Но  Корбюзье  не  уде­
лил  этому  должного  внимания  и  не 
придал  никакого  значения.  А  из  н а­
шего  наблюдения  вытекает,  что  оба 
прямых  угла  являются  взаимоотражен- 
ными  элементами  гномонов  поля  КС: 
их  вершины  разнесены  по  обе  стороны 
вертикальной  оси  основного  квадрата 
(она  же  ось  поля  КС)  на  тож дествен­
ные  расстояния,  и,  следовательно,  наш 
«бутерброд»  (рис.  21) 
вкладывается 
в  КС  так,  что  в  рефлексном  гномоне 
выстраивается  спектр  подобных  тре­
угольников,  аналогичных  спектру,  ко­
торым  Корбюзье  начиняет  гномон  m l n  
(рис.  22).  С  точки  зрения  планиметрии 
мы 
ничего  нового 
не  вводим, 
ибо 
спектры  обоих  гномонов  тож дествен­
ны.  Тем  не  менее  такое  тождество  су ­
губо  визуальное  (количественное).  В 
функциональном  же  плане  (качествен­
но) 
гномоны  совершенно  различны. 
В  этом  мы  тоже  вскоре  убедимся. 
А  пока  вот  что  примечательно.
Стороны  рефлексного  угла  пересе­
кают  стороны  основного  квадрата  в
тех  ж е  точках,  что  и  стороны  исходного 
угла.  Учитывая,  что  вершина  рефлекс­
ного  угла  членит  основание  дв усм еж ­
ного  квадрата  и  той  же  пропорции, 
которой  подчинен  спектр  подобных  тре­
угольников, 
мы 
можем 
утверждать 
(доказательство  очень  простое,  и  я  его 
опускаю),  что  конструкция  из  двух 
равновеликих  углов,  инверсно  располо­
женных  в  пространстве  между  двумя 
параллельными  прямыми,  служит  ин­
струментом  для  построения  пропорцио­
нальной  шкалы,  которая  в  нашем  слу­
чае  подчиняется  закономерности  ЗС. 
И  это  не  частный  случай,  а  п р и н ц и п , 
потому  что,  пользуясь  данным  мето­
дом,  мы  способны  выстроить  шкалу 
любой  пропорциональной  зависимости. 
И  чтобы  получить  искомый  вариант, 
надо  вершиной  рефлексного  угла  рас­
сечь  основание  двусмежного  квадрата 
с  вписанным  в  него  исходным  углом 
на  два  отрезка  в  избранном  соотно­
шении.  Тогда  на  секущей,  проходя­
щей  через  точки  взаимопересечения 
сторон  обоих  углов,  выстроится  спектр 
треугольников,  подобных  тому,  кото­
рый  отчленяется  секущей  при  вершине 
исходного  угла.  Этим  приемом  охв а­
тываются  все  пропорциональные  зави­
симости,  какими  только  мы  способны 
мыслить:  целочисленные,  дробные,  ир­
рациональные,  трансцендентные  и  пр. 
Более  того,  даж е  величина  угла  (уг­
лов)  не  играет  никакой  роли  —  угол 
можно  использовать  любой  в  пределах 
от  0°  до  360°  (рис.  23).  Сама  ж е  про­
цедура  выполняется  смещением  верши­
ны  рефлексного  угла  вдоль  отрезка 
(модуля)  в  пределах  от  нормали,  про­
ходящей  через  вершину  исходного  у г­
ла,  заданного  на  этом  отрезке,  и  до  его 
конца.  При  этом  безразлично,  в  какую 
сторону  смещать  вершину  рефлексного 
угла.  Таким  образом  статическая  схе­
ма  обретает  кинематическую 
вариа­
бельность  —  кинематический  метод  от­
раженных  углов  (КМОУ)  — и  выпол­
няется 
в  пределах  двух  граничных

(критических)  позиций,  или  фаз:  а) 
сингулярная  (н ач ал ь н а я)  ф а за ,  когда 
вершины  углов  находятся  на  общей 
нормали,  пропорция 
1
:
1
;  «секущая» 
п аралл ел ьна 
основаниям 
(рис. 
24), 
спектр  не  ограничен;  б)  предельная 
(конечная)  ф аза,  когда  вершина  реф ­
лексного  угла  достигает  конца  и зб р а н ­
ного  отрезка  (м одул я),  заключенного 
между  сторонами  исходного  угла;  в 
этом  случае  —  в  зависимости  от  под­
становки  отрезков  —  «пропорция»  (к о ­
эффициент  пропорции)  принимает  вид 
бесконечного  или  нулевого  (бесконечно 
большого  или  бесконечно  малого,  как 
принято  говорить  в  математике)  з н а ­
чения;  в  этой  ф а з е   секущ ая  со в п а ­
д ает  со  створом  совмещенных  сторон 
обоих  углов  (рис.  25);  спектр  в ы р о ж ­
ден.
Итак,  состояние  системы,  обуслов­
ленное 
пропорциональной 
за в и с и м о ­
стью  характеристических  парам етров 
(в  нашем  случае  опосредуемых  о тр ез­
ками  модуля),  м ож но  символически 
представить  в  виде  двух  взаи м оотра- 
женных  углов,  и  для  удобства  в е л и ­
чину  угла 
(углов) 
можно 
принять 
равной  90°.  Схема,  и зо б р а ж ен н ая  на 
рис.  26,  в ы р а ж а е т   структурное  сод ер­
ж а ни е 
КМ ОУ 
к а к  
геометрического 
способа  построения  парных  шкал  (п о ­
добно  Модулору)  в  виде  спектра  по­
добных  треугольников,  «бегущих»  по 
секущей  к  точке  их  «излучения».  Это 
первая  ласточка.  И  она  несет  интерес­
ные  новости.
Хорошо  известно,  что  проблема  з о ­
лотого  сечения  волнует  умы  многих 
поколений  ученых,  философов,  м а те­
матиков,  архитекторов.  История  з о л о ­
того  сечения  уходит  в  пласты  ты сяч е­
летий.  В  наше  время  трудно  н азв ать  
сферу  человеческой  деятельности,  где 
бы  золотое  сечение  не  находило  п р а к ­
тического  использования.  Оно,  золотое 
сечение, 
вездесуще. 
Об 
этом 
у б е ­
дительно  говорят  публикации,  п о св я ­
щенные  исследованию  ЗС ,  число  кото-
21
22
* 
b 
1 
* 
'
0  1
f 
т
' ■
V
V
24
25
26
>о<
27
рых  растет  год  от  года.  Сегодня  уж е 
нет 
надобности 
соби рать  отдельные 
факты   в  той  или  иной  сфере  научного 
поиска  —  эмпирей  велик.  Сегодня  п а ­
л итра  самых  разны х  проявлений  ЗС  
об язы ва ет  выдвинуть  тезис  о  том,  что 
ЗС   вовсе  не  частный  случай  п ропор­

циональной  зависимости,  уникальной 
своими  закономерностями,  среди  про­
чих  пропорциональных  соотношений, 
а  что  оно  —  ЗС  —  есть  феномен  [44, 
с.  124— 128],  пронизывающий  собой 
все  уровни  организации  материальных 
объектов,  обладающ их  динамическими 
качествами,  т.  е.  общесистемное  явле­
ние.  В  связи  с  этим  приведу  выборки 
из  шкалы  названий  целых  отраслей 
знания,  где  в  том  или  ином  виде  ЗС 
обнаруживает  свое  лицо.
1.  Растительные  и  животные  о р га ­
низмы.
2.  Пропорции  тела  и  органов  чело­
века  *.
3.  Биоритмы  головного  мозга.
4.  Компоненты 
генного 
аппарата 
человека  и  животных.
5.  Строение  почвенного  плодород­
ного  слоя.
6.  Планетарные  системы.
7.  Энергетические 
взаимодействия 
на  уровне  элементарных  частиц.
8.  Аналоговые  ЭВМ.
9.  Темперированный  звукоряд.
10.  Произведения  всех  видов  ис­
кусства  **,  включая  архитектуру.
* 
Закономерность  ЗС  в  организации  нейрофи­
зиологической  структуры  человека  прослеж и­
вается  наиболее  многопланово:  помимо  ука­
занных  факторов  это  и  строение  слуховой 
улитки,  и  взаиморасположение  палочек  и  кол­
бочек  глазного  яблока,  и  характер  пульсации 
сердечной  мышцы,—  вся  конституция  челове­
ческого  тела  пронизана  единой  ритмической 
зависимостью.  И  если  в  природе  доминирует 
правило  ЗС  как  основной  организационный 
коррелят,  то  человеческий  организм  есть  зер ­
кало  природы,  которое  настроено  в  резонанс 
с  прочими  объектами,  дискретный  характер 
организации  которых  инвариантен  биоритмике 
человека.  По  этой  причине  «зеркало»,подобно 
радару,  способно  активно  и  с  наименьшими 
усилиями  реагировать  на  сигналы,  исходящ ие 
от  этих  объектов,  и  наиболее  ёмко  воспри­
нимать  их  посредством  органов  чувств>транс- 
портируя  по  нервным  каналам  для  «прочте­
ния»  на  уровень  сознания
**  Певучесть  скрипки,  красота  ее  голоса  нахо­
дится  в  прямой  зависимости  от  того,  в  какой 
мере  форма  инструмента  согласована  с  про­
порцией  ЗС .
Тем 
более 
вызывает 
недоумение 
тот  факт,  что  столь  фундаментальная 
закономерность  не  удостоилась  быть 
отмеченной 
особым, 
специфическим 
символом.  И  печатные  издания  до  сих 
пор 
пестрят 
многообразием 
знаков, 
которыми 
авторы 
работ 
формально 
регистрируют  математическое 
значе­
ние  ЗС.  Вот  несколько  часто  встре­
чающихся  индексов:
Ф =   1,618;  берет  начало  от  имени 
древнегреческого 
скульптора 
Фидия, 
успешно  применявшего  закон  ЗС  в  сво­
их  творениях.  Нет  сомнений,  Фидий  — 
выдающаяся  фигура  на  всем  небосводе 
древнегреческой  культуры  и  искусства. 
Но  ведь  Фидий  не  первооткрыватель 
пропорции  ЗС  и  не  он  первый  исполь­
зовал  знание  закономерности  ЗС  в 
практических  целях.  ЗС  пользовалось 
спросом  задолго  до  Фидия.  Тем  не  ме­
нее  данный  знак  применяется  чаще 
всего  в  полиграфии;
Ф =  0,618;  величина  рассматривает­
ся  математиками  как  производная  ЗС, 
как  одна  из  его  функций;  это  странно, 
потому  что  пропорция  есть  соотнош е­
ние  частей  внутри  целого,  а  коль  скоро 
целое  выступает  как  единица  (м одуль), 
то  совершенно  очевидно,  что  его  части 
суть  доли,  меньшие  единицы;  лично 
мне  представляется,  что  первая  произ­
водная  ЗС,  обусловленная  величиной
(pi  =   ^ - =   0,618,  есть  главная  харак­
теристика  ЗС;
C =  c o n s t —  этот  знак  употребляют 
весьма  многие  авторы.
0   —  знак,  введенный  по  предло­
жению  Т.  Кука  и  Марка  Бара;  очень 
неудобный  знак,  так  как  имеет  « х о ж ­
дение»  в  другом  приложении:  в  мате­
матике  —  пустое  множество,  в  маши­
ностроении  —  диаметры 
номенклатур­
ных  изделий,  так  что  знак,  к  со ж а л е­
нию,  обладает  разночтением.
Используются  и  другие  символы, 
хотя  они  употребляются  значительно 
реже.

Поскольку  КМОУ  универсален,  я 
решил  воспользоваться  геометрической 
схемой,  представленной  на  рис.  26, 
для  фиксации  ЗС  и  его  производных. 
Так  как  в  данном  виде  знак  регистри­
рует  пропорцию  1  :  1,  то  целесообразно 
ввести  в  конфигурацию  трафарета  д о ­
полнительные  элементы,  которые  у к а ­
зали  бы  на  прямую  принадлежность 
знака  к  пропорции  ЗС.  Из  рис.  14 
видно,  что  диагональ  в  опрокинутом 
положении  выходит  за  пределы  дв у­
смежного  квадрата.  Проверкой  уста­
навливается,  что  ее  длина  превышает 
основание  двусмежного  квадрата  на 
интервал,  который  составляет  полови­
ну  третьей  производной  ЗС.  Напомню. 
Если  членимый  отрезок-модуль  взят 
в 
качестве 
базисного 
измерителя 
(Л 1=1),  то  его  золоточленные  произ­
водные  (доли) 
в  порядке  убывания 
выразятся  величинами:  М =   1;  М7 =  
=  0,618;  М
2

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: