тематики,  из  не р а вны х  частей.  Ключе­

на  плоскости,  а  затем  в  трехмерном 
пространстве  явление  целостности,  мо­
делируемое  языком  геометрии  и  алгеб­
ры.  Результаты  двух  совершенно  р аз­
ных  подходов  совпадают.  Осуществив 
это,  мы  проникнем  в  глубинную  суть 
так  называемого  золотого  сечения.
В  математике,  по  меньшей  мере  со 
времен  Возрождения,  бытует  опреде­
ление  особого  случая  разделения  цело­
го  на  две  неравные  части,  которому 
присущи  два  рода  связи  частей  и  це­
лого  между  собой:  аддитивная  и  муль­
типликативная.  Так  формулировалась  к 
тому  времени  известная  еще  в  антич­
ные  времена  пропорция  золотого  сече­
ния.  Единство  аддитивности  и  мультип­
ликативности  —  глубинное  содерж ание 
золотого  сечения,  в  нем  —  ключ  к  явле­
нию  формообразования,  открыто  л еж а ­
щий  на  поверхности  математического 
знания.  Но  чтобы  увидеть  эту  особен­
ность,  мне  потребовалось  сперва  обн а­
ружить  механизм 
формообразования 
индуктивным  путем.
В  математике  аддитивность  о зн а ­
чает,  что  в  числовом  ряду  Фь  Ф
2
,  Фз, 
Ф4,  ...,  Фл— 
1
,  Фп  каждый  предыдущий 
член  ряда  равен  сумме  двух  последую­
щих:  Ф
1
 =  Ф
2
 +  Ф3;  Ф
2
 =  Фз +  Ф
4
; 
Ф
Л_ 2
 =  ФЛ— 
1
 +  Ф*.  (Мы  трансформиро­
вали  общепринятое  определение  «каж ­
дый  член  ряда  равен  сумме  двух  преды­
дущих»  из  соображений  методологии: 
удобно  принять  за  основу  не  возрастаю ­
щий,  а  убывающий  ряд  золотого  сече­
ния,  именуемый  впредь  восходящим 
рядом.)
Мультипликативность  означает,  что 
в  числовом  ряду  Ф
1
,  Ф2,  Ф3,  Ф
4
, 
Ф „ _
1
,  Фл  все  члены  ряда  связаны  в  гео­
метрическую  прогрессию:  Ф!:Ф
2
 =  Фг: 
: Ф з  =
  Ф з : Ф 4 =   ...  =
Ф
л - 1 : Ф л  =
  с о п 5 1 .
Число  золотого  сечения,  соединяю­
щее  свойства  аддитивности  и  мультип­
ликативности,  находится  как  общий  ко­
рень  двух  уравнений:
а - \ - Ь  =  с 
(адди ти вн ость) 
(1 );
' a\b =  b:c  (м ульти п ли кати вн ость) 
( 2 ) ,
в  которых  целое  с  представлено  состоя­
щим  из  двух  частей  а -\-Ь.  Поскольку 
отношение  золотого  сечения  —  широко 
распространенная  закономерность  ор^ 
ганизации  живых  структур,  спросим 
себя,  что  скрыто  за  единством  а дди ­
тивности  и  мультипликативности:  какой 
глобальный  принцип  природы  можно 
здесь  угадать?
Понятие  аддитивности  свидетельст­
вует,  что  целое  структурно.  Простейшее 
элементарное  целое  —  это  целое,  со­
ставленное  из  двух  частей.  М атемати­
чески  такую  структуру  абстрагирует 
сложение:  части  а  и  Ьу  сложенные 
вместе,  образуют  целое  с.  В  геометрии 
такую  абстракцию  выражает  отрезок, 
поделенный  на  две  части.  Если  эти  две 
части  не  равны  между  собой  и  меньшая 
часть  так  относится  к  большей,  как 
большая  к  целому,  то  свойства  а д д и ­
тивности  и  мультипликативности  сое­
динены:  отрезок  разделен  в  золотом 
отношении.  Но  аналогия  между  струк­
турностью  целостного  объекта  природы 
и  отрезком,  поделенным  на  части,  ко­
нечно,  весьма  условна:  наша  задача 
показать  целостность  иначе  и  глубже. 
Эта  аналогия  тем  не  менее  точна  и  су ­
щественна:  в  ней  мост  через  пропасть, 
разделяющую  линейную  абстракцию  и 
реальность  бытия.  В аж но  осознать,  что 
в  аддитивности  золотого  сечения  ото­
бражены  глобальные  принципы  бытия 
сингулярных 
единиц  —  структурность 
и  двойственность  и  что  эти  принципы 
охватывают  конструирование  природой 
живых  организмов.
Понятие  мультипликативность  озн а­
чает,  что  на  все  части  структурно  орга­
низованного  целого  распространяется 
одна  и  та  же  закономерность  роста. 
Средствами  математики  она  показы­
вает,  что  и  части,  принадлежащие  це­
лому,  и  само  целое  обладаю т  одной 
и  той  же  способностью  изменять  свои 
параметры:  в  едином  организме  все  ча­
сти  растут  по  одному  закону  —  закону 
геометрической  прогрессии.  Чем  больше

стала  одна  его  часть,  тем  больше  (и  во 
столько  ж е  раз  больше)  стала  и  другая 
его  часть  и  соответственно  все  целое 
(a:b =  b : c ) .  Тем  самым  целое  с,  если 
наблюдать  его  вне  связи  с  окружением, 
остается  во  времени  себе  тож дествен­
ным  в  любой  момент  своего  бытия. 
А  это  и  есть  идея  подобия,  составляю­
щая  стержень  живой  природы:  устой­
чивое  во  времени  бытие  особи,  рода, 
вида  —  принцип 
сохранения, 
состав­
ляющий  соль  генетики.  Если  говорить  о 
реальных  формах,  такая  устойчивая  во 
времени  система  бытия  уникальна.  Но 
если  стремиться  понять  стоящий  за 
реальностью 
глобальный 
принцип  — 
это  закон  бытия,  его  сущность.  А  всмат­
риваясь  в  сущность,  необходимо  отбр а­
сывать  все  искажения  перводанности 
филогенезом,  т.  е.  снять  горизонтальные 
связи  живого  с  живым  и  нестационар­
ные,  изменяющиеся  природные  факто­
ры  —  снять  весь  пласт  эволюции.
Решение  уравнения,  объединяющего 
аддитивность  с  мультипликативностью, 
приводит  к  золотым  числам  нисходя­
щего  ряда  1;  1,618;  2,618  и  к  числам 
восходящего  ряда  1;  0,618;  0,382.  Д ей ­
ствительно,  приняв  целое  с  за  единицу 
с =   1,  находим  из  уравнения  (2 ),  что 
а =  Ь2у  и  из  уравнения  £1),  что  b 2 +  b —
—  1 = 0 ,   откуда  b =  л 5 ^  1  =   0,618034,
с =  fc2 =  0,381966  (числа  с,  Ьу  а  суть 
1;  0,618;  0,382).  Если  принять  за  1  о д ­
ну из частей  целого,  значения  чисел  а,  Ьу 
с  изменятся.  Если  а =  1,  то  c =  b 2,  b 2 —
и 
i n
 
и 
V5+1
— 
0
—
1
=
0
,  откуда  Ь  =   — —   =
=   1,618034;  с =  Ь2 =  2,618034  (числа  а, 
b ,  с  суть  1;  1,618;  2,618).  Если  b =   1,
то  а = ~ г  ’  с2 — с — 1 = 0 ,   откуда  с =
V5+1
-  
„ 
-   1,618034;  а = —   =   - J -—   =
2 
С
 
л/5+1
=   0,618034  (числа  а,  Ь,  с  суть  0,618; 
1
;  1,618).
Чтобы  обнажить  закодированное  в 
категориях  аддитивности  и  мультипли­
кативности  естественно-научное  содер­
жание  структурности  и  целостности,  не­
обходимо,  и  об  этом  уж е  говорилось, 
суметь  описать  одним  уравнением  и 
энергетическое,  и  пространственное  со ­
бытие.  Заменим  буквы  а,  Ь,  су  означаю ­
щие  в  уравнении  золотого  сечения  ча­
сти  и  целое,  на  буквы,  которыми  мы 
ранее  описали  взаимодействие  сингу­
лярной  точки  структурного  пространст­
ва  и  поля,  которому  эта  точка  принад­
лежит, 
придав  ему  вид  векторного 
уравнения.  Выражение  а =  Ь -\-с у  где
а:Ь =  Ь:с,  заменим  на  выражение  /? =  
=  S  +  Uy  где  | t / | : | S |   =   | S | : | / ? | ,   либо 
| S | : | t / |   =   | f / | : | / ? | .   Стрелки  о б о зн а ­
чают  направленные^  величины  потен­
ций  —  векторы  U ,  5 ,  /?;  вертикальные 
скобки  означают,  что  рассматриваются 
модули  —  абсолютные  значения  этих 
же  величин.  Идея  синтеза  аддитивно­
сти  и  мультипликативности  перенесена 
с  геометрии  отрезка  на  четырехмер­
ное  пространство  энергетических  в заи­
модействий,  и  можно  наблюдать  его 
результат:  экспансию точки  начала  в ус­
ловиях  поля.  Решение  векторного  урав­
нения  мы  рассмотрим  в  следующей  гла­
ве,  сейчас  у  нас  другая  задача:  пока­
зать,  что  векторная  геометрия  (только 
она!)  обнаж ает  суть  единства  аддитив­
ности  и  мультипликативности  золотого 
сечения,  т.  е.  его  естественно-научное 
содержание.
Как известно,  в  основании  векторной 
геометрии  лежит  операция  векторного 
сложения  и  представляет  ее  векторный 
треугольник.  В  обычной  геометрии  лю­
бая  сторона  треугольника  меньше  сум ­
мы  двух  других  его  сторон.  Исключе­
ние  представляет  треугольник,  слож ен­
ный  в  линию,  но  такое  понимание  уж е 
подразумевает  не  статический,  а  ди на­
мический  подход,  приписывающий  тре­
угольнику  разные  состояния.  Вот  поче­
му  единство  аддитивности  и  мультипли­

кативности  в  геометрии  (а  в  этом  един­
стве  —  целостность)  мож ет  быть  оп ре­
делено  в  виде  отрезка,  деленного  в  з о ­
лотом  отношении,  и  п редставляет  собой 
я в л е н и е   у н икал ь ное.   Им  определяются 
три  точки  на  одной  прямой,  т.  е.  линия.
31.  П остроение  золотого  сечения  циркулем  и  л и ­
нейкой
а  — даны   верти каль  и  точка  на  верти кали;  6 —   окруж н ость 
и  две  засечки   стр о ят  гори зон таль,  о сущ ествляя  вторую  ди х о ­
томию  простран ства  ( - |- ) ;  в   —   из  точек  пересечения  о кр у ж н о ­
сти  с  вертикалью   и  горизонталью   засеч кам и   строим  к в а д ­
рат.  Он  дваж ды   р азд ел ен   (гори зон талью   и  верти калью )  на 
двойны е  квадраты ;  г — п оявились  чи сла  у 5   и  \ 2   — д и а го ­
нали.  Д и аго н ал ь  двойного  к в ад р а та  позволяет  р азд ел и ть  
сторону  «2>  в  золотом  отношении.  Если  с =  1,  то  6 =  0,618, 
а = 0 ,3 8 2 ;  если  8 = 1 ,   то  с =  1,618,  а  =  0 ,618;  если  а  =  1,  то 
в = 1 ,6 1 8 ,  с = 2 ,6 1 8
32.  П ри  дихотомии  к в ад р ат а   его  сторона  2  полу­
ч ает  зн ачени е  величины,  средней  м еж ду  д и а г о ­
налью   п о л у к в ад р ата  (д/5).  взятой  без  малой 
стороны  (1 ),  и  ди агон алью ,  взятой  с  малой_сто- 
роной:  среднее  отнош ение  (-\/5— 1):2 =  2 : ( д / 5 +  1) 
и  есть  золотое  число
33.  Т р и ад а   золотого  сечения  со д ер ж и т  две  ди хо­
томии:  деление  на  равн ы е  ( а =  в - \ - с )   и  на  н е р ав ­
ные  ( а ф в ф с )   части
34.  П остроение  восходящ ей  и  нисходящ ей  т р и ад  
соеди няет  число  дихотомии 
и  число  10  (с =
=  _£_ +  
К  +   М  =   Ю)
2 
2 k  
т  
’
Но  как  только  мы  перенесли  синтез 
аддитивности  и  мультипликативности 
на  динамические  процессы,  перестали 
п рид ерж иваться  искусственного  р а з д е ­
ления  энергетической  потенции  и  про­
странства,  как  только  мы  осознали  дис­
кретное  пространство  как  совокупность 
точек,  о б ладаю щ и х  энергетической  по­
тенцией,  отрезок,  разделенный  в  з о л о ­
том  отношении,  стал  частным  случаем 
векторного  треугольника,  где  ад д и ти в ­
ность  составляю щ и х  его  величин  не  ис­
к л ю ч е н и е ,  а  постоянное  и  непременное 
ус л о ви е.   Условие  это  фундаментально. 
Им  вы р а ж ен   на  язы ке  математики  п р а ­
вящий  всеми  процессами  принцип  при­
чинности.  Д в е   стороны  векторного  тре­
угольника  в ы р а ж а ю т   величину  и  н а ­
правление  взаимодействую щ их  потен­
ций 
(причина),  а  третья  с т о р о н а — 
резул ьтат  их  сложения,  всегда  равн ый
сумме  д в у х   составляющих  (/? =  S +  U ) . 
В  геометрии  единство  аддитивности  и 
мультипликативности  сп равед ли во  для 
целого, 
составленного 
из 
отрезков, 
взаимодействующих  под  углом  л  или  0 
(п р я м а я   л и н и я );  в  векторной  геометрии 
для  любых  углов  взаимодействия  б и ­
нарной  причины  ( 0 ^ о с ^ 2 л ) .   Н а л о ж и в  
на  векторный  треугольник  добавочное 
условие  мультипликативности  (с в я за в  
величины  модулей  в  геометрическую 
прогрессию),  мы  тем  самым  придали
31
32

ему  свойство  описывать  становление 
целостных,  дихотомично  о р га н и зо в а н ­
ных  структурных  единиц.  Векторный 
треугольник,  подчиненный  этим  у сл о­
виям,—  «золотой»  векторный  треуголь­
ник,  строит  класс  замкнутых  кривых, 
еще  никем  не  изученных,—  н етри ви ал ь­
ные  симметрии,  ад ек ватно  о т о б р а ж е н ­
ные  основополагаю щими  формами  ж и ­
вой  природы.
Значит,  прав  был  Герман  Вейль, 
веривший,  как  и  многие  крупные  уч е­
ные  современности,  в  законы   гармонии. 
«Мы  и  поныне  р азд ел я ем   убеждение 
Кеплера  в  математической  гармонии 
Вселенной,—  писал  он.—  Это  у б е ж д е ­
ние  подтверждено  критерием  беспре­
рывно  расш и ряю щ егося  опыта.  Но  ныне 
мы  ищем  эту  гармонию  не  в  статических 
формах,  подобных  правильным  много­
гранникам,  а  в  зак о н а х   динамики».
И  вот  мы  готовы  рассмотреть  тео­
рию  ф ормообразования,  ее  уравнения, 
ее  логическое  построение,  ее  подтверж- 
денность  опытом  и  фундаментальными 
принципами  естествознания.  Но  чтобы 
сделать  р ас ск а з  об  этом  в озм ож н о  б о ­
лее  простым,  понятным  для  архи тек­
тора,  привычно  мыслящ его  не  ф о рм у­
лами,  а  художественными  о б р а за м и   и 
о б разам и  
геометрическими, 
прервем 
здесь  ход  логических  построений.  П о в ­
торим 
эвристический 
путь, 
некогда
пройденный  автором,  где  впервые  сое­
динились  в  целое  проблема  соп остав ­
ления  линейных  величин  друг  с  другом 
(пропорции  в  архитектуре)  и  построе­
ние  формы,  получив  выход  в  исследо­
вание  ф орм ооб разов ан и я  в  природе.
Явления  постигаются  глубже,  когда 
они  р ассм атрив аю тся  не  сами  по  себе, 
а  как  фрагменты  явлений  более  общих. 
Попробуем  и  мы  увидеть  в  делении  от­
резка  в  среднепропорциональном  отно­
шении  частный  случай  закономерности, 
охваты ваю щ и й   широкий  круг  явлений.
Л ю бое  геометрическое  построение 
золотого  сечения  начинается  делением 
отрезка  на  две  равные  части  либо  его 
удвоением.  Н уж но  построить  кв ад рат, 
т.  е.  в оспользоваться  равенством  углов 
и  сторон,  затем  —  раздели ть  пополам 
(удвоить)  одну  из  сторон.  (П о с тр о е­
ние  золотого  сечения  окружностью  т а к ­
ж е  вклю чает деление  отрезка  п о п о л а м ) . 
Рассмотрим,  как  это  делается.  П ост­
роим  квадрат.  Осущ ествим  его  д ихо­
томию  —  рассечем  его  пополам  вдоль 
вертикали  на  две  равные  части  и  полу­
чим  полуквадрат:  прямоугольник  с  от­
ношением  сторон  1:2.  Теперь  о сущ ест­
вим  вторую  дихотомию:  а)  исходного 
кв а д р а т а ;  б)  п олук в ад рата,  раздели в 
их  пополам  на  этот  раз  по  диагонали. 
Д и а г о н а л ь н а я   дихотомия  ввела  новые 
качества:  линейную  несоизмеримость
33

отрезков  и  неравенство  углов.  Появи­
лись  числа 
д/2 
и 
д/5. 
Появление  ди аго­
нали  двойного  квадрата  (полуквадра- 
та) 
д/5 
и  есть  появление  отношения 
золотого сечения  Ф:  сторона  2  есть сред­
нее  между  диагональю 
д/5, 
увеличен­
ной  на  сторону 
1
,  и  этой  ж е диагональю, 
уменьшенной  на  сторону 
1
.
V 5 + 1   = _ J ----- =   1<61803398875... =  Ф.
2 
-у 5 —  1
Золотое  сечение  выступает  здесь  как 
связь,  объединяющая  элементы  целого 
(прямой  угол  и  расстояния  между  вер­
шинами  структуры  пространства 
1
, 
2
  и 
д/5)  в  целое  —  двойной  квадрат.
Свойство  аддитивности  линейного 
ряда  золотого  сечения  в  том,  что  каж ­
дый  его  отрезок  равен  сумме  или  р аз­
ности  двух  смежных  отрезков.  Поэтому 
отрезок,  разделенный  в  золотом  отно­
шении,  легко  геометрически  преобразо­
вать  в  триаду,  проведя  полуокружность 
(рис.  33).  Триада  золотого  сечения  а, 
Ь,  с  —  целое,  расчлененное  на  две  рав­
ные  части  (а =  Ь -\-с у 
1
-я  дихотомия). 
При  этом  одна  из  ее  половин  (b +  с) 
разделена  на  неравные  части,  в  золоте 
(Ь:с =  Ф,  2-я  дихотомия).  Подчеркнем 
лишний  раз  особенное  значение  второй 
дихотомии.  Чтобы  геометрически  пост­
роить  золотое  сечение,  нужны  две  опе­
рации  дихотомии:  квадрат  делится  по­
полам  на  полуквадраты;  полуквадрат 
делится  пополам  на  треугольники  д и а ­
гональным  сечением.  В  линейной  триа­
де  золотого  сечения  также  соединены 
два  рода  дихотомичных  членений:  д ел е­
ние  целого  на  равные  и  деление  поло­
вины  на  неравные  части.  Вторая  ди хо­
томия  вводит  несоизмеримость  (ирра­
циональность)  и  неравенство.  В  при­
мере дихотомичных  членений  и  слияний, 
моделирующем  деление  и  слияние  кле­
ток  [см.  с.  6 1 ],  ключом  к  синтезу  но­
вого  также  служила  вторая  дихотомия.
Тесная  связанность  золотого  сече­
ния  и  второй  дихотомии  заслуживает
пристального  внимания:  мы  подошли 
вплотную  к  скрытой  в  золотом  сечении 
возможности  моделировать  формы,  иг­
рающие  ключевую  роль  в  ритмах  жизни 
живой  природы.  Отделяют  нас  от  моде­
лирования  всего  два  шага,  и  оба  они 
познаются  как явления  дихотомии.  П ер­
вый  состоит  в  том,  чтобы  получить  из 
триады  золотого  сечения  пространство 
симметрии  подобий  —  структуру  точек 
на  плоскости,  организованную  по  прин­
ципу  двойной  дихотомии  углов  и  рас­
стояний,  заданных  точечной  структурой 
пространства.  Второй  —  в  том,  что  эл е­
ментарная  единица  этой  структуры  — 
треугольник д/Ф  рассматривается  не как 
элемент  статики,  а  как  векторный  тре­
угольник  в  динамике,  и  тем  осущ еств­
ляется  переход  к  естественной  геомет­
рии  —  моделированию  формы  в  много­
мерном  пространстве  —  времени.  И зоб ­
разим  на  вертикали  отрезок,  разделен­
ный  в  золотом  отношении  на  две  не­
равные  части  Ьу  с  (см.  рис.  33,  а ). 
Пользуясь 
свойством 
аддитивности, 
начнем  распространять  золотую  цепь 
вверх,  в  направлении,  восходящем  от 
большего  к  меньшему,  и  в  направлении, 
нисходящем  от  меньшего  к  большему. 
Прибавив  всего  одно  звено  вверх  (d )  и 
одно  вниз  (а),  построид  восходящую 
триаду  Ьу  с,  d  и  нисходящую  а,  Ь,  с,  мы 
обнаружили 
замечательное 
явление. 
Проведя  две  окружности,  мы  удвоили 
число  звеньев  исходной  бинарной  цепи; 
точки  пересечения  этих  окружностей 
принадлежат  горизонтали,  пересекшей 
золоточлененную  вертикаль  под  углом
л
-g -так,  что  исходный  отрезок  с  разделен 
с 
с 
* 
на  равные  части  —   =   —   а  обе  триа­
ды  —  на  неравные  в  пропорциях,  ком­
плементарных  и  вместе  составляющих 
число 
10
  (за  единицу  принят  исходный 
отрезок  с,  рассеченный  горизонталью 
пополам).  Д ве  дихотомии  нового  по-

J l 
с
рядка 
~2
  и 
~2
  возникли  одновременно 
с  числом  10  (см.  рис.  3 4 ).
Доказательство.
/г 
о
В  ряду  а,  Ь,  с,  d   при  с =   1,  а =  Ф 2 =  —   ------, 
b 
=
=  ф ' = ^ + 1  f  с =  ф ° =   1,  d =  Ф _ | 
— -  .  От-
сю да  во сх о д ящ ая  т р и ад а   дихотомично  р азд ел ен а 
в  отношении  ( d +  
Ь)  =  д/5:  (2 +  ^ 5 )   =
=  0,527864, 
а 
н и сх о д ящ ая 
— 
в 
отношении 
(а +  & + у ) : у = ( 5  +  2л'5):  1 = 9 , 4 7 2 1 3 6 ,  
что 
в
сумме  д ает  10.  Ч и слителем   дроби  служ и т  отрезок 
триад ы ,  взяты й  в  н аправлени и  разви ти я  р яд а.
Изучая  чертеж  построения  золото- 
члененной  цепи  окружностями,  я  понял, 
что  введение  прямого  угла  преобразо­
вало  линейный  ряд  золотого  сечения  в 
пространство  симметрии  подобий.  П ро­
изошло  это  так.  Чтобы  придать  чертежу 
законченный  вид,  нужно  найти  предел, 
к  которому  стремится  убывающий  вид. 
Эстетическая  потребность  иметь  изо­
бражение,  левая  и  правая  части  кото­
рого  симметричны,  зеркальны,  требова­
ла  осуществить  членения  вдоль  верти­
кали  и  развивать  золотую  цепь  не 
полуокружностями,  что  достаточно  для 
цели  практической,  а  окружностями. 
Зеркально  симметричное  изображение 
позволило  заметить  интереснейшие  м а­

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: