Подходы математического моделирования при построении криволинейных сеток

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
300 
УДК 512.28 
B. Sagindykov 
(Kazakh National Technical University named after K. I. Satpayev, 
Almaty, Kazakhstan) 
 
THE GENERALIZED COMPLEX EXPONENT AND ITS APPLICATION FOR FINDING SUMS 
 
Annotation.  In this paper we describe the generalized complex exponent. The method used in paper allows to 
find some finite sums for exponential trigonometric series. 
Key words: generalized complex number, complex exponent, Euler formula, series, finite sums 
 
1 Introduction 
A generalized complex exponent is a mathematical function defined by the relation 
, where 
  is  a  generalized  complex  number 
, 
.  The  generalized  complex  exponent  de-
fined as the analytic continuation of the real variable exponent 
. 
Let define a formal expression 
. The expression determined on the real axis by 
this  way  will  be  coincided  with  a  classic  real  exponent.  For  complete  construction  it  is  necessary  to  prove 
analyticity of 
 function, i.e. to show that 
 function can be transformed into convergent series. Let show it 
, 
where 
, and 
 are real numbers. It is easy to prove the conver-
gence of the series: 
. 
The  series  convergence  absolutely  everywhere,  by  this  means  that  a  sum  of  the  series  in  each  point 
will determine the value of the 
 analytic function. 
The  only  generalization  of  real  numbers  with  the  preservation  of  the  known  laws  of  arithmetic  are 
complex  numbers.  Therefore  we  consider  only  the  internal  structure  of  complex  numbers.  The  generalized 
complex  number    can  be  presented  as 
,  where 
.  Let  consider  special  cases  to 
make a term be in accord with the name. 
If 
, 
, 
, 
 a generalized  complex  number corresponds to  a complex  number 
of 
 form. 
If 
, 
, 
 then we go to a dual number. 
If 
, 
, 
 then we get a double number. 
Changing control parameters 
 we obtain different theories.  
Before presenting generalized complex numbers in the form 
 we define addition, multipli-
cation, and conjugation by the following formulas : 
Addition 
; 
Multiplication 
; 
Conjugate 
. 
Product of 
 gives a non-negative real number. As a consequence, it defines 
the norm of   generalized complex number. Thus  
                                                                                (1) 
The right hand side of (1) is a quadratic form of two variables 
. 
Relating  to  an  invariant  of  the  quadratic  form  generalized  complex  numbers  are  divided  into  three 
types:  elliptic, hyperbolic and parabolic  complex  numbers.  Let 
 then  numbers are divided 
into determined types depending on 
. 
If 
, we have an elliptic type. 
If 
, we get a hyperbolic system of numbers. 
If 
 we have a parabolic system. 
Let notice Euler formula for generalized complex numbers 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
301
                             (2) 
The true nature of (2) will be defined through the paper.  The easiest way to prove this formula is us-
ing theory of different equations. 
The conjugate of 
 in a formula (2) gives 
 or  
.                                                                                 (3) 
Multiplying  (2)  and  (3)  we  can  easily  get  the  basic  trigonometric  identity  for  generalized  complex 
numbers 
.                                                                           (4) 
 
2 Addition formulas 
According  to  the  accepted  agreement 
.  On  the  other  side 
.  Separating  the  real  and  imaginary  parts 
relating to   we have 
                                                                                   (5) 
where 
. 
 
Example 1. 
Let 
, 
, 
, 
, 
. Then 
from (2) and (5) it follows next addition formulas 
 
Setting 
 in (5) we get a formula of double argument 
                                                                                                       (6) 
 
Example 2. 
Let 
, 
, 
, 
, 
, 
. Then  
 
 
3 Finding sums of some exponential – trigonometric series 
Let 
  be  a  function  of  the  generalized  complex  variable 
,  and  analytic  for 
, 
where 
. It is known from these conditions that 
for 
 the 
 function can be expanded in a formal power series 
                                   (7) 
Assume  that  the  coefficients  of  (7)  are  real  numbers. Setting 
  for  any    we 
have 
                                       (8) 
Separating the real and imaginary parts in (8) we present 
 in next form 
 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
302 
, 
where 
 and 
 are real functions. It is obvious from (8) that 
 
This fact can be used to get the sum of some exponential trigonometric series. 
 
Example 3. 
It is known that for any   
, 
Then in account of (8) 
. 
From the other side 
, 
and therefore 
                                                                                   (9) 
Example 4. 
Let 
, 
, 
, 
, 
, 
.  Then 
according to (9) 
 
 
Example 5.  
Find the sum of series 
. Given series is a geometrical progression (convergent for 
) 
with a common ratio 
. It follows that  
. 
According to the accepted argument 
 and 
. Then  
 
From here 
 
 
Example 6. 
Let 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. 
 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
303
Then  
 
These expansions are true for any   when 
 or 
 or 
 i.e. when 
. 
 
4 Find finite sums and series 
Find the sum of the series 
. 
                                                                        (10) 
From here 
 
where 
. 
 
Example 7.  
Let 
, 
, 
, 
, 
, 
. Then  
 
 
 
Example 8. 
Let 
, 
, 
, 
, 
. Then  
 
Knowing  depression  formulas  we  can  find  a  finite  sum  of  the  following  series 
, 
 and 
, where  

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
304 
 
 
. 
 
Example 9. 
Let 
, 
, 
, 
, 
, 
. Then  
. 
Similarly, we can find the sum of cosines 
. 
 
REFERENCES 
1. Lavrentiev M. A., Shabat B.V. Problems of hydrodynamics and their mathematical models. – Moscow // Nauka, 
1973. 
Сағындықов Б.Ж. 
Жалпы комплекстік экспонента және оны қосындыларды табу үшін қолдану 
Түйіндеме.  Мақалада  жалпы  комплекстік  экспонента  қарастырылады.  Бұл  тәсіл  көрсеткіштік  – 
тригонометрикалық қатарлардың қайсыбір ақырлы қосындыларын табуға мүмкіндік береді. 
Негізгі  сөздер:  жалпы  комплекс  саны,  комплекстік  экспонента,  Эйлер  формуласы,  қатарлар,  ақырлы 
қосындылар. 
 
Сагиндыков Б.Ж. 
Обобщенная комплексная экспонента и ее применения для отыскания суммы 
Резюме. В данной статье рассматривается обобщенная комплексная экспонента. Описанная в статье ме-
тодика позволяет найти некоторые конечные суммы показательно – тригонометрических рядов. 
Ключевые слова: обобщенное комплексное число, комплексная экспонента, формула Эйлера, ряды, ко-
нечные суммы. 
 
           
 
УДК  514.182+519.681 
 
М.А. Мустафин, М.М. Рыскельды 
(Международный университет информационных технологий Алматы, Республика Казахстан)                                                               
 
ЗАДАЧИ  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ 
 
Аннотация. Данная работа посвящена вопросу применения языка программирования  С++ к задачам вы-
числительной геометрии на плоскости. Задачи вычислительной геометрии возникают в компьютерной графике, 
проектировании  интегральных  схем,  технических  устройств  и  т.п.  Исходными  данными  являются  множество 
точек,  набор  отрезков,  многоугольники  и  т.п.  Результатом  может  быть  ответ  на  какой-то  геометрический  во-
прос (например, найти наименьший выпуклый многоугольник, содержащий заданные точки и т.п.). Приведены 
примеры. Данный подход  значительно упрощается при использовании языка программирования С++.   
Ключевые слова: вычислительная геометрия, язык С++. 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
305
Вычислительная  геометрия  появилась  относительно  недавно,  с  развитием  информационных 
технологий. Она изучает алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в ком-
пьютерной  графике,  проектировании  интегральных  схем,  технических  устройств  и  т.п.  Исходными 
данными являются множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть 
ответ  на  какой-то  геометрический  вопрос  (например,  найти  наименьший  выпуклый  многоугольник, 
содержащий заданные точки и т.п.) [1]. Как правило, решение задач вычислительной геометрии раз-
бивается  на  ряд  подзадач,  которые  необходимо  решить.  Цель  статьи  -  показать  подход  с  помощью 
языка  программирования  С++  к  решению  геометрических  задач  на  плоскости.  Также  можно  доста-
точно  просто  и  быстро  получать  большинства  элементарных  подзадач.  Для  понимания  статьи необ-
ходимо владеть основами аналитической геометрии [2] и основами языка программирования С++.  
Рассмотрим сначала следующую задачу из курса аналитической геометрии.   
Задача.  Дан 
эллипс 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
  
и прямая линия 
0



C
By
Ax
на плоскости. Определить, когда они пересека-
ются, прямая линия касается эллипса, и когда прямая линия и эллипс не пересекаются. Очевидно, что 
данная задача сводится к решению квадратного уравнения и в зависимости от знака дискриминанта, 
зависящей от значений полуосей эллипса и коэффициентов прямой линии. Если дискриминант равен 
нулю, то прямая линия касается эллипса; если дискриминант больше нуля, то прямая линия пересека-
ет эллипс;  если дискриминант меньше нуля, то  прямая линия не пересекает эллипс. 
Напишем программу на языке С++ решения этой задачи.  
#include  
#include  
using namespace std; 
bool checkIntersection(double la, double lb, double lc, double ea, double eb) { 
  double result; 
  double fp; 
  fp = la*ea*eb*la*ea*eb; 
  result = fp*eb*lb*eb*lb - fp*lc*lc + fp*la*la*ea*ea; 
  return result >= 0; 
} 
void output(bool check) { 
  if (check) cout << "The line and the elipse have intersection"; 
  else cout << "The line and the elipse do not have intersection"; 
} 
int main() { 
  double la, lb, lc, ea, eb; /*la, lb, lc коффиценты линии. еа, еb коффиценты эллипса.*/ 
  cout << "Enter coefficients of the line (A, B, C): "; 
  cin >> la >> lb >> lc; 
  cout << "Enter coefficients of the ellipse (a, b): "; 
  cin >> ea >> eb; 
  if (la == 0 && lb != 0) { 
   
double y; 
   
y = (-1)*(lc / lb);  
   
cout << y; 
   
output(abs(y) < lb); 
  } 
  bool chI = checkIntersection(la, lb, lc, ea, eb); 
  output(chI); 
  system("pause"); 
  return 0; 
} 
Рассмотрим  теперь  задачу  о  покрытии.  Мы  хотим  проверить,  что  некоторый  прямоугольник 
полностью  покрывается  заданным  множеством  кругов.  Если  все  четыре  его  вершины  покрываются 
одним кругом, то прямоугольник покрывается кругами полностью. Если прямоугольники   не содер-

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
306 
жатся в целиком внутри круга, вновь будем делить на четыре равные части. Исключение составляет 
случай,  при  котором  вершина  рассматриваемого  прямоугольника  оказывается  вне  всех  кругов,  т.е. 
является примером непокрытой точки. Разбиение  продолжаем до тех пор, пока сторона прямоуголь-
ника  не  станет  меньше  некоторой  заданной  достаточно  малой  величины.  Тогда  предполагаем,  что 
этот  прямоугольник  полностью  кругами  не  покрывается,    а  его  центр  будет  считаться  непокрытой 
точкой. 
Данная задача решается на языке программирования С++  так. 
#include  
#include  
#include  
using namespace std; 
const double esp1 = 1e-6; 
const double esp2 = 1e-5; 
double fx, fy; 
double xr, yr; 
double lb, rb, r; 
int n; 
double x[100]; 
double y[100]; 
 
double dist2(double x1, double y1, 
  double x2, double y2) { 
  double result = (x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2); 
  return result; 
} 
bool check(double x1, double y1, double x2, double y2) { 
  long int i; 
  bool d1, d2, d3, d4, c1, c2, c3, c4; 
  if ((abs(x1 - x2)  fx = (x1 + x2) / 2; 
  fy = (y1 + y2) / 2; 
   
return false; 
  } 
  bool ch = true; 
  c1 = c2 = c3 = c4 = true; 
  for (i = 1; i <= n; i++) { 
   
d1 = dist2(x1, y1, x[i], y[i]) <= r*r; 
   
d2 = dist2(x1, y2, x[i], y[i]) <= r*r; 
   
d3 = dist2(x2, y1, x[i], y[i]) <= r*r; 
   
d4 = dist2(x2, y2, x[i], y[i]) <= r*r; 
   
if (d1 && d2 && d3 && d4) 
   
 
return true; 
   
  c1 = c1 && !d1; 
  c2 = c2 && !d2; 
  c3 = c3 && !d3; 
  c4 = c4 && !d4; 
  } 
  if (c1) { 
   
fx = x1; 
   
fy = y1; 
   
return false; 
  } 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
307
  if (c2) { 
   
fx = x2; 
   
fy = y2; 
   
return false; 
  } 
  if (c3) { 
   
fx = x2; 
   
fy = y1; 
   
return false; 
  } 
  if (c4) { 
   
fx = x2; 
   
fy = y2; 
   
return false; 
  } 
  return (check(x1, y1, (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) && 
   
 
check((x1 + x2) / 2, y1, x2, (y1 + y2) / 2) && 
   
 
check(x1, (y1 + y2) / 2, (x1 + x2) / 2, y2) && 
   
 
check((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, x2, y2)); 
} 
С помощью функции check искомый радиус окружности можно найти алгоритмом  деления по-
полам (дихотомией). 
lb = 0;  
if (xr < yr) 
  rb = xr/2; 
else  
rb := yr/2;  
while (abs(lb - rb) > eps2) { 
  r = (lb + rb)/2; 
  if (check(r, 0, 0, xr, yr)) 
   
rb = m; 
  else  
   
lb = m; 
}  
 
printf("%.4.d %0.4d %0.4d", fx, fy, r); 
 
Как видно, элементарные задачи геометрии на плоскости весьма эффективно решены на языке 
С++. На этих элементарных задачах опираются олимпиадные задачи по информатике [3]. 
 
 
ЛИТЕРАТУРА 
1.  Кормен Т. Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М: МЦНО, 2000. 
2.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия, М., Наука, 1988. 
3.  Андреева Е.В. Геометрические задачи  на олимпиадах по информатике. Информатика №14/2002.  
 
REFERANCES 
1.  Kormen T., Leizerson Ch., Rivest R. Algoritmy. Postroenie i analiz. M.: MCNO, 2000. 
2.  Il’n V.A., Poznyak E.G. Analiticheskaya geometriya. M., Nauka, 1988. 
3.  Andreeva E.V. Geometricheskie zadachi na olimpiadakh po informatike. Informatika №14/2002.  
 
 
 
 
 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
308 
Мұстафин М.А., 
Рыскелді
 М.М. 
Есептеуіш геометриянің жазықтықтағы есептері 
Түйiндеме. Макаланың мақсаты -  С++ программалау тілімен есептеуіш геометрияның есептер қатарын 
шығарлуын көрсету.  
Негiзгi сөздер: : есептеуіш геометрия, С++ программалау тілі. 
 
Мустафин М.А., Рыскельды М. 
Задачи вычислительной геометрии на плоскости 
Резюме.  Цель  статьи  -  показать  с  помощью  языка  программирования  С++  решить  ряд  задач 
вычислительной геометрии на плоскости. 
 Ключевые слова: вычислительная геометрия, язык программирования  С++. 
 
Mustafin M.A., Ryskeldy M.М. 
Problems of calculating geometry in a plane 
Summary. The goal of this article is to show how with using programming language C++ to solve some prob-
lems of computing mathematics in the plane.  
Key words: computing mathematics, programming language C++.  
 
 
УДК 622.276.5 
К.Н. Оразбаева, Б.Е. Өтенова, Л.Т. Кұрманғазиева,  Б.Б.  Оразбаев  
(Атырауский институт нефти и газа,  Атырау, Республика Казахстан) 
 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО 
РЕЦЕПТА ИНГИБИТОРА КОРРОЗИИ И АЛГОРИТМЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ В   
НЕЧЕТКОЙ СРЕДЕ 
 
Аннотация.  При  формализации  и  постановке  задачи  оптимизации  в  производственных  условиях  часто 
возникает  ситуация,  когда  множество  допустимых  решений  является  пустым  из-за  отсутствия  альтернативы, 
удовлетворяющей  одновременно  всем  ограничениям.  В  этом  случае,  чтобы  получить  решение  задачи  следует 
отказаться от четкого решения исходной оптимизационной задачи, необходимо поставить задачу нечеткой оп-
тимизации (математического программирования), учитывающую нечеткости реальной задачи. Предлагаемые в 
работе алгоритмы решения задачи НМП, основанные на применении методов теории нечетких множеств путем 
модификации методов Парето оптимальности и главного критерия позволяют найти эффективные решения оп-
тимизационной задачи в нечеткой среде. 
Ключевые слова: математическая модель, нечеткое математическое программирование, ингибитор кор-
розии, Парето оптимальность, алгоритм. 
 
На практике для улучшения консервационных свойств масел, используемых в двигателях, час-
то добавляют ингибитор. Состав ингибитора существенно влияет на эксплуатационные свойства ма-
сел  (вязкость,  зольность  масел,  температуру  их  застывания  и  т.д.),  значения  которых  техническим 
условиям  должны  находиться  в  заданных  интервалах  [1].  Поэтому  рецепт  ингибитора  должен  быть 
определен  в  соответствии  с  техническими  условиями.  Основными  компонентами  ингибитора,  кото-
рые  наиболее  сильно  влияют  на  его  качество  (эксплуатационные  свойства)  являются:  углеводород-
ный  разбавитель  -  YP  (позволяет  понизить  вязкость  и  температуру  застывания)  и  серофосфорсодер-
жащая присадка - SP (улучшает его защитную функцию при коррозии металлов и износостойкость). 
Чем выше содержание присадки SP в композиции, тем лучше антикоррозионные и износостой-
кие свойства ингибитора. Поэтому в качестве целевой функции можно принять долю присадки SP.  
Задачу  определения  оптимального  рецепта  при  производстве  ингибитора  можно  свести  к  сле-
дующей оптимизационной задаче: найти такие х
1
 
и
 
х
2
 
(х
1
 -
 
доля
 
SP, х
2
 -
 
доля
 
YP) которые при макси-
мальном  содержании  присадки  SP  обеспечивают  выполнение  требований  к показателям  качества.  К 
таким показателям относятся: 
- кинематическая вязкость при 100
0
С,  f
1
(х
1
, х
2
)≤1,9; 
- зольность, % (масс.)                             f
2
(х
1
)≤0,3; 
- температура вспышки, 
0
С                    f
3
(х
1
, х
2
)≥120; 
- температура застывания, 
0
С                 f
4
(х
1
, х
2
)≤-12; 

жүктеу/скачать 43,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: