Учебное пособие для студентов математиков Алматы, 2011

98
Текст № 8. Математики исламского средневековья 
В IX веке жил Ал-Хорезми – сын зороастрийского жреца, прозванный за 
это ал-Маджуси (маг), заведовал библиотекой «Дома мудрости», изучал 
индийские и греческие знания. Ал-Хорезми написал книгу «Об индийском 
счёте», способствовавшую популяризации позиционной системы во всём 
Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, 
от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком 
смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая 
книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на 
европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра». В 
книге разбираются линейные и квадратные уравнения. Отрицательные корни 
игнорируются. Алгебры в нашем смысле тоже нет, всё разбирается на 
конкретных примерах, сформулированных словесно. Новые математические 
результаты в книгах ал-Хорезми фактически отсутствуют. 
В средневековой исламской математике было сделано довольно много 
попыток доказать Пятый постулат Евклида. Чаще всего исследовалась фигура, 
позднее названная четырёхугольником Ламберта. Ал-Джаухари, Сабит ибн 
Курра, Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных 
доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных 
эквивалентов V постулата. 
Одним из величайших учёных-энциклопедистов исламского мира был Ал-
Бируни. Он родился в Кяте, столице Хорезма. В 1017 году афганский султан 
Махмуд захватил Хорезм и переселил Ал-Бируни в свою столицу, Газни. 
Несколько лет Ал-Бируни провёл в Индии. Главный труд Ал-Бируни — «Канон 
Мас‘уда», включающий в себя множество научных достижений разных 
народов, в том числе целый курс тригонометрии (книга III). В дополнение к 
таблицам синусов Птолемея (приведенных в уточнённом виде, с шагом 15'), 
Ал-Бируни даёт таблицы тангенса и котангенса (с шагом 1°), секанса и пр. 
Здесь же даются правила линейного и даже квадратичного интерполирования. 
Книга Ал-Бируни содержит приближённое вычисление стороны правильного 
вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, числа π и др. 
Прославленный поэт и математик Омар Хайям (XI—XII вв.) внёс вклад в 
математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-
мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. 
До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и 
развитый Архимедом: неизвестное строилось как точка пересечения двух 
подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, 
классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, 
оценку числа положительных корней и их величины. К сожалению, Хайям не 
заметил возможности для кубического уравнения иметь три вещественных 
корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, 
что явное решение будет найдено в будущем. В «Комментариях к трудностям 
во введениях книги Евклида» (ок. 1077) Хайям рассматривает иррациональные 

99
числа как вполне законные. В этой же книге Хайям пытается решить проблему 
пятого постулата, заменив его на более очевидный. 
Насир ад-Дин ат-Туси, выдающийся персидский математик и астроном, 
наибольших успехов достиг в области сферической тригонометрии. В его 
«Трактате о полном четырехстороннике» (1260) тригонометрия впервые была 
представлена как самостоятельная наука. Трактат содержит довольно полное и 
целостное построение всей тригонометрической системы, а также способы 
решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси. 
Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло 
на развитие тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам 
описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило 
разложения бинома. 
Джемшид Ибн Масуд ал-Каши, сотрудник школы Улугбека, написал 
сочинение «Ключ арифметики» (1427). Здесь вводится система десятичной 
арифметики, включающая учение о десятичных дробях, которыми ал-Каши 
постоянно пользовался. Он распространил геометрические методы Хайяма на 
решение уравнений 4-й степени. «Трактат об окружности» (1424) ал-Каши 
является блестящим образцом выполнения приближенных вычислений. 
Используя правильные вписанный и описанный многоугольники с числом 
сторон 
, аль-Каши для числа π получил значение 3,14159265358979325 
(ошибочна только последняя, 17-я цифра мантиссы). В другой своей работе он 
сосчитал, что sin 1° = 0,017452406437283571 (все знаки верны — это примерно 
в два раза точнее, чем у ал-Бируни). Итерационные методы ал-Каши позволяли 
быстро численно решить многие кубические уравнения. Составленные ал-Каши 
самаркандские астрономические таблицы давали значения синусов от 0 до 45° 
через 1' с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность 
была получена только полтора столетия спустя. 

жүктеу/скачать 0,96 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: