Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Схема аксиом 1 (иррефлексивность)
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
- Бұл бет үшін навигация:
- Схема аксиом 2 (симметричность).
- Схема аксиом 3 (транзитивность).
- Определение.
| Схема аксиом 1 (иррефлексивность).
Для каждого 𝑛 ≥ 3 имеет место ∀𝑥 1 … ∀𝑥 n (𝑅 n (𝑥 1 , … , 𝑥 n ) → V 𝑥 i ≠ 𝑥 j ) 1≤i Для каждого 𝑛 ≥ 3 и каждого 𝜏 ∈ 𝑆 n , где 𝑆 n — симметрическая группа, имеет место следующее: ∀𝑥 1 … ∀𝑥 n (𝑅 n (𝑥 1 , … , 𝑥 n ) → 𝑅 n (𝑥 c(1) , … , 𝑥 c(n) )) Схема аксиом 3 (транзитивность). Для каждого 𝑛 ≥ 3 имеет место: 1 k 1 k Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 16 ∀𝑥 1 … ∀𝑥 n ∀𝑥 n+1 (𝑅 n (𝑥 1 , … , 𝑥 n ) ∧ 𝑅 n (𝑥 2 , … , 𝑥 n+1 ) → 𝑅 n (𝑥 1 , … , 𝑥 n–1 , 𝑥 n+1 )) Таким образом, если предикат 𝑅 n истинен на двух разных с точностью до перестановок 𝑛 -ках из (𝑛 + 1) -элементного множества, то он истинен на всех 𝑛 -ках из этого множества. Иначе говоря, мы получаем кликуотносительно гиперграфа 𝑅 n , или 𝑅 n - клику. Пусть класс 𝐾 состоит из всех конечных структур сигнатуры Σ , которые удовлетворяют схемам аксиом 1, 2 и 3. Зададим теперь для каждого натурального числа 𝑛 ≥ 3 функцию аннулирования 𝑁 n (𝐵) . Пусть 𝐴 — это некоторая конечная структура из класса 𝐾 , а 𝐵 — максимальная в 𝐴𝑅 n -клика. Тогда 𝑁 n (𝐵) = |𝐵| − (𝑛 − 1) . Множество всех максимальных 𝑅 n -клик в структуре 𝐴 будем обозначать 𝑙 n (𝐴) . Зададим предразмерность структуры 𝐴 : ∞ ∞ 𝛿(𝐴) = |𝐴| − Σ Σ 𝑁 n (𝐵) = |𝐴| − Σ Σ (|𝐵| − (𝑛 − 1)) n=3 B∈l n (A) Определим следующий класс структур: n=3 B∈l n (A) 𝐾 0 = {𝐴 ∈ 𝐾 ∶ 𝛿(𝐶) ≥ 0 для любой подструктуры 𝐶 ⊆ 𝐴} Вспомним стандартное здесь определение 𝑘 -примитивного расширения. Определение. Расширение 𝐶 структуры 𝐴 называется 𝑘 -примитивным, если 𝛿(𝐶) − 𝛿(𝐴) = 𝑘 и для любой собственной подструктуры 𝐵 ⊂ 𝐶 , такой что 𝐴 является собственной подструктурой структуры 𝐶 , имеет место 𝛿(𝐶) − 𝛿(𝐵) > 𝑘 Мы скажем, что пара (𝐴/𝐵) является хорошей, если 𝐴 является 0 -примитивным расширением структуры 𝐵 и каждый элемент структуры 𝐵 удовлетворяет некоторому отношению 𝑅 n с некоторым элементом из 𝐴 ∖ 𝐵 . Пусть 𝐷 — некоторая структуры из 𝐾 0 , которая содержит хорошую пару (𝐴/𝐵) . Пусть 𝐴 1 , … , 𝐴 m — максимальное множествопопарно непересекающихся множеств, таких что 𝐴 1 ∪ 𝐵 ≅ 𝐴 и для всех 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑚 имеет место 𝐴 i ∪ 𝐵 ≅ B 𝐴 j ∪ 𝐵 Обозначим число 𝑚 как 𝜒 D (𝐴/𝐵) . Пусть 𝜇 — это функция из множества всех хороших пар в множество натуральных чисел, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) 𝜇(𝐴/𝐵) = 1 , если |𝐴 ∖ 𝐵| = 1 ; 2) 𝜇(𝐴/𝐵) ≥ 𝛿(𝐵) иначе. Как это было сделано в статьях [1] и [2] введем теперь класс 𝐾 μ : 𝐾 μ = {𝐷 ∈ 𝐾 0 ∶ 𝜒 D (𝐴/𝐵) ≤ 𝜇(𝐴/𝐵) для всех хороших пар (𝐴/𝐵)} Доказательство того, что данный класс обладает свойствами совместного вложения и амальгамирования полностью аналогично такому же факту из статьи [1]. Следовательно, как это было показано в работе [2] для данного класса 𝐾 μ существует генерическая модель. Повторяя доказательства из [2] (или [1]) легко показать, что генерическая модель будет насыщенной и минимальной, следовательно, элементарная теория генерической модели будет сильно минимальной. Поскольку в классе 𝐾 μ есть структуры, на которых все предикаты 𝑅 n , кроме 𝑛 = 𝑛 0 , ложны, очевидно, что система Штейнера 𝑆(𝑛 0 − 1, 𝑛 0 , ∞ ) будет содержаться в построенной генерической модели 𝑀 класса 𝐾 μ , причем, здесь не имеет значения, какое 𝑛 0 ≥ 3 мы возьмем. Итак, 𝑀 содержит все системы Штейнера вида 𝑆(𝑛 0 − 1, 𝑛 0 , ∞ ) . Докажем, что элементарная теория структуры 𝑀 допускает элиминацию воображаемых элементов. Поскольку сама структура 𝑀 является насыщенной, достаточно |