Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
13 
⋮ 
𝑛𝑓𝑊
n
(𝑔
1
, … , 𝑔
n
) = 
𝑊
n
(𝑓 𝑔
1
, 𝑔
2
… , 𝑔
n
) + 𝑊
n
(𝑔
1
, 𝑓 𝑔
2
… , 𝑔
n
) + … + 𝑊
n
(𝑔
1
, 𝑔
2
… , 𝑓 𝑔
n
). 
Theorem 5. 
Let L 
= 
K
[
x
] 
with n-Wronskian 
 
 
𝜔(𝑎
1
, 𝑎
2
, … , 𝑎
n
𝑎
1
) = 𝑑𝑒𝑡 [ 
𝜕(𝑎
1
)
𝑎
2
𝜕(𝑎
2
) 
⋮ 
… 
𝑎
n 
… 
𝜕(𝑎
n
) 
… 
⋮ 
𝜕
n–1
𝑎
1 
𝜕
n–1
(𝑎
2
) 
… 𝜕
n–1
(𝑎
n
) 
Then 
(𝐿, 𝜔) 𝑖𝑠 𝑕𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑝𝑦 𝑛 
-Lie and 
(𝐿, 𝜔,∙) 
is homotopy transposed n-Poisson. 
Theorem 6. 
Let 
3
-product in L 
= 
K
[
x
] 
is given by 
 
𝑎
1
𝜔(𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
) = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝜕𝑎
1 
𝜕
5
𝑎
1
𝑎
2
𝜕(𝑎
2
) 
𝜕
5
(𝑎
2
) 
𝑎
3
𝜕(𝑎
3
) ] + 
𝜕
5
(𝑎
3
) 
𝑎
1
2𝑑𝑒𝑡 [𝜕
2
𝑎
1 
𝜕
4
𝑎
1
𝑎
1
𝑑𝑒𝑡 [𝜕
2
𝑎
1 
𝜕
3
𝑎
1
𝑎
2
𝜕
2
(𝑎
2
) 
𝜕
4
(𝑎
2
) 
𝑎
2
𝜕
2
(𝑎
2
) 
𝜕
3
(𝑎
2
) 
𝑎
3
𝜕
2
(𝑎
3
)] + 
𝜕
4
(𝑎
3
) 
𝑎
3
𝜕
3
(𝑎
3
)] 
𝜕
3
(𝑎
3
) 
Then 
(
L, ω
) 
is homotopy 
3
-Lie. If p 
= 3
, then 
(
L, ω, ·
) 
is homotopy transposed 
3
-Poisson. 
 
List of literature: 
1.
Bai C., Bai R., Guo L., Wu Y., 
Transposed Poisson algebras, Novikov-Poisson 
algebras, and 3-Lie algebras, 
arXiv:2005.01110, 2021. 
2.
Patricia Damas Beites, Bruno Leonardo Macedo Ferreira, Ivan Kaygorodov, 
Transposed Poisson structures, 
arXiv:2007.00281v1, 2022. 
3.
A.S. Dzhumadil’daev, 
Identities and derivations for Jacobian algebras, 
Contemp. 
Math. v.315, 245-278, 2002. 
4.
A.S. Dzhumadil’daev, 
n-Lie Structures That Are Generated by Wronskians, 
Siberian 
Math. Journal, 46(2005), No.4, pp. 601 - 612. 
ГРНТИ 27.03.66 
О СИЛЬНО МИНИМАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ ШТЕЙНЕРА 
 
В. В. ВЕРБОВСКИЙ 
Казахский национальный исследовательский технический университет 
имени К. И. Сатпаева 
 
Определение. 
Система Штейнера 
𝑆(𝑡, 𝑘, 𝑛) 
— набор 
𝑘 
-элементных подмножеств 
(называемых блоками) в некотором 
𝑛 
-элементном множестве 
𝑋 
, такой, что любое 
𝑡 
- 
] 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
14 
элементное подмножество множества 
𝑋 
содержится в ровно одном блоке (подмножестве 
набора). 
Если 
𝑡 = 2
, то блоки называют прямыми. Тогда систему Штейнера 
𝑆(2, 𝑘, 𝑛) 
можно 
называть геометрией Штейнера, где вся геометрия состоит из 
𝑛
точек, а каждая прямая 
содержит ровно 
𝑘 
точек. Известно, что 
𝑛 
должно иметь вид 
6𝑘 + 1 
или 
6𝑘 + 3 
для 
некоторого 
𝑘
, это доказали Р. Бозе и Т. Сколем. 
Приведем простой пример конечной системы Штейнера 
𝑆(2, 3,7)
: 
Системы троек Штейнера первым определил В.С.Б. Вулхауз в 1844 году в журнале 
«Lady'sandGentlemen'sDiary». Опубликованную в этом журнале задачу решил Томас 
Киркман. Позже, в 1850 году, Киркман поставил вариант задачи, получивший название 
«задача Киркмана о школьницах», в которой спрашивается о системе троек с 
дополнительным свойством (разрешимость). Якоб Штейнер не знал работы Киркмана, он 
независимо от него определил систему троек, и его работа получила бо льшую известность, 
в связи с чем система получила его имя. 
Представляет интерес бесконечные системы Штейнера, такие системы были, 
практически, не изучены. В работе [1] Д. Балдвин и Г. Паолини на основе конструкции 
Фраиссе–Хрушовского [2] построили серию примеров сильно минимальных бесконечных 
геометрий Штейнера. Поскольку описание конструкции достаточно громоздкое, мы не 
будем приводить ее здесь и будем предполагать, что читатель уже с ней знаком.В работе 
[3]
Д. Балдвин совместно с автором данной статьи доказали, что построенные в работе [1] 
системы Штейнера не допускают элиминации воображаемых элементов в соответствии со 
следующим определением. 
Пусть 
𝑇
— полная теория логики предикатов первого порядка. 
Определение (Б. Пуаза). 
Говорят, что 
𝑇 
допускает элиминацию воображаемых 
элементов, если для каждой модели
𝑀 
теории
𝑇 
, для каждой формулы
𝜑(𝑥 , 𝑦¯) 
и для 
каждого кортежа элементов
𝑎¯ ∈ 𝑀
len(y
¯)
существует
𝑏¯ ∈ 𝑀
m
для некоторого числа 
𝑚 
, 
такой что 
{𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓|𝑏¯ = 𝑖𝑑
b¯ 
} = {𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓(𝜑(𝑀, 𝑎¯)) = 𝜑(𝑀, 𝑎¯)} 
Определение (Б. Пуаза). 
Говорят, что
𝑇
допускает слабую элиминацию 
воображаемых элементов, если для каждой модели 
𝑀 
теории 
𝑇 
, для каждой формулы 
𝜑(𝑥 , 𝑦¯) 
и для каждого кортежа элементов 
𝑎¯ ∈ 𝑀
len(y¯)
существует 
𝑏¯ , … , 𝑏¯ ∈ 𝑀
m
для 
некоторых чисел 
𝑚 
и 
𝑘
, такие что 
{𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓({𝑏¯ , … , 𝑏¯ }) = {𝑏¯ , … , 𝑏¯ }} = {𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓(𝜑(𝑀, 𝑎¯)) = 𝜑(𝑀, 𝑎¯)} 
Определение (А. Цубой).
Говорят, что 
𝑇 
обладает свойством конечного множества, 
если для каждой модели 
𝑀
теории 
𝑇
, для каждой конечной последовательности кортежей 
𝑏¯ , … , 𝑏¯ ∈ 𝑀
m
существует кортеж элементов 
𝑐 ∈ 𝑀
len(y¯)
, такой что 
1 
k 
1 
k 
1 
k 
1 
k 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
15 
n 
n 
n 
{𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓({𝑏¯ , … , 𝑏¯ }) = {𝑏¯ , … , 𝑏¯ }} = {𝑓 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝑀) ∶ 𝑓|𝑐 = 𝑖𝑑
c 
} 
Вполне очевидно, что теория допускает элиминацию воображаемых элементов 
тогда и только тогда, когда она допускает слабую элиминацию воображаемых элементов и 
обладает свойством конечного множества. 
Это уже фольклор, что сильно минимальная теория с бесконечным определимым 
замыканием пустого множества допускает слабую элиминацию воображаемых элементов. 
Поскольку мы будем рассматривать только сильно минимальные геометрии Штейнера, 
вопрос элиминации воображаемых элементов сводится к вопросу обладания свойством 
конечного множества. 
Цель данной работы — построить вариацию конструкции Д. Балдвина и Г. 
Паолини сильно минимальной геометрии Штейнера, так чтобы элементарная теория 
построенной генерической модели обладала бы свойством конечного множества, была бы 
сильно минимальной, а стало быть, и допускала элиминацию воображаемых элементов. 
Напомним, что в соответствии с определением Д. Балдвина и А. Лахлана 
алгебраическая структура называется минимальной, если любое ее формульное 
подмножество либо конечно, либо коконечно, то есть, его дополнение конечно; а теория 
называется сильно минимальной, если каждая ее модель является минимальной 
алгебраической структурой. 
Рассмотрим счетную сигнатуру Σ 
= {=, 𝑅
n
} 
n≥3 
, где верхний индекс в записи 
𝑅
n
говорит, что предикат 
𝑅
n
является 
𝑛
-местным, то есть, зависит от 
𝑛
переменных. Хотя в 
конструкции Фраиссе–Хрушовского предполагается, что сигнатура конечная, чтобы класс 
изоморфизмов конечных структур был счетным, здесь возможно ослабить требование 
конечности сигнатуры на локальную конечность. Действительно, поскольку мы будем 
рассматривать только такие структуры, где из 
𝑅(𝑥
1
, … , 𝑥
n
) 
будет следовать, что все 
элементы 
𝑥
1
, … , 𝑥
n
попарно различны, на конечных структурах мощности 
𝑘
все предикаты 
арности хотя бы 
𝑘 + 1 
будут ложными, то есть на таких структурах можно ограничиться 
конечно сигнатурой Σ
k
= {=, 𝑅
n
} 
3≤n≤k 
. Тогда понятно, что класс типов изоморфизма всех 
конечных структур будет счетным, как и требуется для построения генерической модели. 
Как известно из [1], можно построить сильно минимальную геометрию Штейнера 
𝑆(2, 𝑘, 
∞
)
для любого 
𝑘 ≥ 3
, используя только трехместный предикат. Легко понять, что, 
используя 
(𝑡 + 1) 
-местный предикат, можно построить сильно минимальную систему 
Штейнера 
𝑆(𝑡, 𝑘, 
∞
) 
для любого 
𝑘 ≥ 𝑡 + 1
. 
Чтобы построить сильно минимальный вариант системы Штейнера, мы сделаем 
следующее. Мы объединим в одной алгебраической структуре 
𝑆(𝑡, 𝑡 + 1, 
∞
)
для каждого 
числа 
𝑡 ≥ 2
. Это будет уже не совсем система Штейнера, это будет объединение система 
Штейнера разного вида ( 
𝑡 
везде разное), но полученная система будет сильно 
минимальной и будет допускать элиминацию воображаемых элементов. 
Для того, чтобы задать класс конечных структур в конструкции Фраиссе– 
Хрушовского, необходимо сперва написать аксиомы, а затем определить предразмерность 
конечного множества. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: