Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 5 α 2 получен критерий распространения непрерывных отображений с таких подмножеств ( теорема Тайманова о продолжении непрерывных отображений ): Теорема 1 [1]. Пусть A - плотное подмножество топологического пространства X и пусть f: X → Y - непрерывное отображение A в компактное хаусдорфово пространство Y. Тогда f распространяется до непрерывного отображения всего пространства X в Y тогда и только тогда, когда для любых двух замкнутых и непересекающихся подмножеств B 1 и B 2 в Y замыкания их прообразов относительно отображения f не пересекаются в X. Это утверждение важно само по себе, но в статье [1] показано, как из него выводятся многие другие ранее доказанные теоремы. В известной монографии польского матема-тика Р. Энгелькинга [2], переведенной и на русский язык, этот результат приведен как теорема 3.2.1 и с его изложения начинается параграф 3.2 со звучным названием ―Операции над компактами‖. В частности, как немедленное следствие этой теоремы в этой книге приведена знаменитая теорема П.С. Александрова (теорема 3.2.2) о том, что каждый компакт бесконечного веса α является непрерывным образом канторова куба D α . Полученная теорема о распространении отображений была применена А.Д. Таймановым к проблеме Хаусдорфа о сохранении классов борелевских множеств. Это понятие хорошо известно из курсов математического и функционального анализа, однако определение классов следует напомнить. Пусть X – топологическое пространство, то есть множество, в котором выбрано такое се-мейство его подмножеств, называемых открытыми, что 1) объединение любого числа от-крытых подмножеств тоже открыто; 2) пересечение конечного числа открытых подмно-жеств открыто; 3) само множество X и пустое подмножество, не содержащее никаких элементов, тоже открыты. Рассмотрим теперь минимальное семейство B(X) подмножеств в X , которое содержит все открытые подмножества и замкнуто относительно операций объединения счетного числа его элементов и операции дополнения, которое подмножест-ву A сопоставляет подмножество X\A , образованное всеми элементами из X, которые не входят в A. Все борелевские подмножества стратифицируются с помощью понятия ранга. Обозначим через жүктеу/скачать 12,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|