Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
| Теорема 2
[3]. Пусть f: X → Y - замкнутое отображение полных сепарабельных метрических пространств. Тогда оно переводит борелевские множества в борелевские. Уточнение этой теоремы было получено уже во время работы в Ивановском текстильном институте, хотя, судя по тому, что статья [3] уже в 1954 году при подаче в печать была указана как первая часть работы, этот результат планировался в те же годы. Теорема 3 [4]. Пусть f: X → Y - замкнутое отображение полных сепарабельных метрических пространств. Тогда, если борелевское подмножество A в X имеет ранг, равный α, то ранг его образа в Y не превосходит α, если α – бесконечный ординал, и α+1, если α – конечный ординал. Впоследствии Сент-Раймон [5] доказал, и для конечных ординалов. Полученный результат о неповышении ранга борелевского множества при замкнутых отображениях называется теоремой Тайманова-Сент-Раймона [6]. Если отображение f компактно, то есть прообраз каждой точки компактен в X , то, как показал И.А. Вайнштейн, ранг борелевского множества не понижается. Поэтому при замкнутых компактных отображениях теорема Тайманова-Сент-Раймона утверждает сохранение классов борелевских множеств. Вопрос Хаусдорфа о сохранении классов борелевских множеств при открытых отображениях может быть поставлен шире: при каких открытых отображениях эти классы сохраняются. Ответ на него был получен А.Д. Таймановым. Он ввел понятие изолированного отображения: непрерывное отображение f: X → Y называется изолированным, если прообраз f -1 (y) каждой точки y Y содержит точку, изолированную в f -1 (y). В [7] был установлен следующий результат. |