Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 390 ∗ ∗ - вычислены обычные когомологии простых ограниченных модулей классических алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики старшие веса которых принадлежат альковам, расположенные вдоль и близи стенки доминантных камер Вейля; - полностью описаны когомологии простых модулей классической алгебры Ли типа 𝐴 2 (алгебра Ли 𝔰𝔩 3 (𝑘) ); - в качестве приложения когомологии алгебры Ли 𝔰𝔩 3 (𝑘) получены полное описание соответствующих когомологии редуктивной алгебры Ли 𝔤𝔩 3 (𝑘) , когомологии алгебры Ли 𝔰𝔩 3 (𝑘) с коэффициентами в модулях Вейля и когомологии ограниченной алгебры Джекобсона – Витта 𝑊 1 (𝟏) с коэффициентами в алгебре разделенных степеней. Пусть 𝔤 – классическая алгебра Ли над полем 𝑘 характеристики 𝑝 > 0, 𝐺 – ее алгебраическая группа, 𝐺 1 – ядро отображения Фробениуса для 𝐺, 𝑉(𝜆) – модуль Вейля со старшим весом 𝜆 , 𝐻 0 (𝜆) – индуцированный модуль над 𝐺, 𝐿(𝜆) – простой модуль со старшим весом 𝜆. Для получения основных результатов мы используем следующие известные факты: - когомология 𝐻 m (𝔤, 𝐿(𝜆)) и когомология 𝐻 m (𝐺 , 𝐿(𝜆)) эквивалентны; * 1 - структура когомологии 𝐻 m (𝐺 1 , 𝐻 0 (𝜆)) и структура модуля 𝐻 0 (𝜆) ; - спектральную последовательность (Фридландер-Паршалл, 1988), устанавливающая связи между обычными и ограниченными когомологиями, обобщающая пятичленную точную последовательность Хохшильда: Hom k (𝛬 i (𝔤), 𝐻 j (𝔤, 𝐿(𝜆))) ⇒ 𝐻 m (𝔤, 𝐿(𝜆)) . На основе этих фактов ограниченные и обычные когомологии классических алгебр Ли вычисляются по следующему алгоритму: 1) вычисление когомологии 𝐻 m (𝐺 1 , 𝐻 0 (𝜆)) ; 2) вычисление когомологии 𝐻 m (𝔤, 𝐿(𝜆)) ≅ 𝐻 m (𝐺 , 𝐿(𝜆)), используя длинную * 1 когомологическую точную последовательность, соответствующую короткой точной последовательности 0 → 𝐿(𝜆) → 𝐻 0 (𝜆) → H 0 ( ఒ ) → 0 ; L( ఒ ) 3) вычисление когомологии 𝐻 m (𝔤, 𝐿(𝜆)) , используя спектральную последовательность Hom k (𝛬 i (𝔤), 𝐻 j (𝔤, 𝐿(𝜆))) ⇒ 𝐻 m (𝔤, 𝐿(𝜆)) . Для описания когомологии классической алгебры Ли типа 𝐴 2 (алгебра Ли 𝔰𝔩 3 (𝑘) ) также использованы явные реализации простых модулей над 𝐴 2 . Когомологии алгебры Ли 𝔤𝔩 3 (𝑘) получены с помощью использования спектральной последовательности Хохшильда – Серра. Связи между когомологиями классических модулярных алгебр Ли и соответствующими когомологиями их алгебраических групп очень мало изучены. В работах [27], [28] получены необходимые и достаточные условия изоморфности первой и второй когомологии с коэффициентами в простых модулях классических модулярных алгебр Ли и соответствующими когомологиями их алгебраических групп соответственно с некоторыми ограничениями на характеристику основного поля. Другие исследования в данном направлений специалистами не проводились. Нами сформулированы и доказаны теоремы о связи между обычными и ограниченными когомологиями классических модулярных алгебр Ли с коэффициентаим в простых модулях. Получены все нетривиальные изоморфизмы между обычными и ограниченными когомологиями с коэффициентами в простых модулях с старшими весами 𝜆 1 , 𝜆 2 , ⋯ , 𝜆 s , 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 s–1 . А также получены необходимые и достаточные условия изоморфности когомологии простых модулей более высокого порядка алгебр Ли и соответствующих |