Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 459 ∫ ∫ ∫ 3. Егер f(x) функциясының [a, b] кесінді аралығында интегралы бар болса, ал k – тұрақты шама болса, онда kf(x) функциясы да осы [a, b] кесінді аралығында интегралы бар және ∫ b 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ b 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 теңдігі орындалады. a a 4. Егер f(x) функциясының [a, c] және [c, b] кесіндіаралықтарында интегралы бар болса, мұндаaондабұлфункцияның [a, b] кесіндіаралығында интегралы бар және ∫ b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ c 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ b 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 теңдігі орындалады. a a c Енді анықталған интегралға мысал қарастырайық: Есеп 3. 2 (3𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 интегралды есептеңіз. –3 Шешуі: ∫ 2 (3𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = (3 ∙ x 2+1 + 𝑥) | 2 = (𝑥 3 + 𝑥) | 2 = (2 3 + 2) − –3 ((−3 3 ) − 3) = 10 − (−30) = 40 2+1 −3 −3 Белгісіз функциялар интегралдардың астында кездесетін тендеулер интегралдық тендеулер деп аталады. Егер белгісіз функция интегралдык тендеуге сызыктық түрде қатынасса, онда тендеуді сызықтык деп атайды θ(x)=λ b 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 + 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 a (1) түріндегі теңдеу Фредгольмның 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп аталады. Мұндағы 𝜑(𝑥) -нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз функция, 𝑓(𝑥) функциясы [𝑎, 𝑠] кесіндісінде, 𝐾[𝑥, 𝑠] функциясы 𝐷 = {𝑎 < 𝑥, 𝑠 < 𝑏} жиынында аныкталған белгілі функциялар: 𝑓(𝑥) пен 𝐾[𝑥, 𝑠] сәйкес интегралдык теңдеудің бос мүшесі мен ядросы деп аталады, ал Л - параметр. Интегралдың жоғарғы және тӛменгі шектері ( а мен b ) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар шектелгенде, шектелметенде болуы мүмкін. Егер 𝑓(𝑥) = 0 болса, онда жоғарыдағы (1) интегралдық тендеу біртекті, ал 𝑓(𝑥) ≠ 0 болған жағдайда – біртекті емес деп аталады. Фредгольмнің І-текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция интегралдық мүшеде ғана қатысады, долірек айтқанда, ол теңдеу –b ƒ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥) a түрінде жазылады. Вольтерраның 2-текті интегралдык тендеуі деп 𝜑(𝑥) = 𝜆 x 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 + 𝑓(𝑥) a түріндегі, ал І-текті интегралдық тендеуі деп (2) x ƒ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥) a түріндегі тендеуді айтады. Егер 𝜑(𝑥) функциясын интегралдық тендеуге қойғанда тендеу тепе-теңдікке айналса, онда 𝜑(𝑥) функциясы интегралдық тендеудің шешімі деп аталады. Фредгольмнің біртекті интегралдық b 𝜑(𝑥) = 𝜆 ƒ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 a тендеуінің 𝜆 параметрінің кез келген мәндерінде 𝜑(𝑥) = 0 шешімі бар болады, ал нӛлден ерекше шешімдер әрқашан бар бола бермейді. |