Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
| Теорема 1.
Айталық , 𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 n оң сандары берілсін. Сонда бұл сандар үшін мынадай теңсіздік орындалады: y 1 +y 2 +⋯+y n ≥ n √𝑦 𝑦 … 𝑦 және бұл теңсіздік n 1 2 n y 1 +y 2 +⋯+y n = n √𝑦 … 𝑦 теңдігіне тек 𝑦 = 𝑦 = ⋯ = 𝑦 болған жағдайда ғана n айналады. 1 2 n 1 2 n Коши теңсіздігінің геометриялық мағынасын кӛрсетейік. Бізге тік бұрышты үшбұрыш берілсін, ал тік бұрышынан түскен h биіктігі, гипотенузаны a және b кесінділеріне бӛледі. Геометрияда мынадай теңдік дәлелденген h = √𝑎𝑏 . Ал енді a+b нені 2 білдіреді? Бұл гипотенузаның ұзындығының жартысын береді. Геометриядан бізге тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан түсірілген медианасы гипотенузаның жартысына тең екендігі белгілі. Сонымен, Коши теңсіздігін геометриялық талдауы - гипотенузаға түсірілген медиананың ұзындығы гипотенузаға түсірілген биіктіктен кем болмайды. Сурет1. Коши теңсіздігінің үшбұрыштағы геометриялық талдауы Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 395 n о 2 Берілген n , яғни а 1 , а 2, ....., а n оң сандарының геометриялық а n = а 1 а 2 … а n теңдікті қанағаттандыратын а оң саны айтылады ртасы деп мынадай да оны мына түрде белгілейді: а = n √𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 . = √𝑎 c 𝑏 c , 𝑎 = √𝑐𝑎 c , 𝑏 = √𝑐𝑏 2 Тамаша теңсіздіктерді кӛптеген есептерге қолдануға болады. Мысалы: - теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде; - функцияларды зерттеу мен олардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға есептер шығару кезінде; - теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу кезінде; - геометриялық есептерді шығаруда; - қолданбалы сипаты бар есептер мен мәтіндік - физикалық мазмұндағы есептерді шығаруда; - олимпиада есептерін шығару кезінде [1]. есептерді шешуде; Тамаша теңсіздіктердің есеп шығаруда пайдаланылуын қарастырайық. Мысал 1 . Мынадай функцияның ең үлкен мәнін есептеңіздер 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 2 + 25 + 4√16 − 𝑥 2 ; Шешуі. Алдымен функцияның (AO) анықталу облысын тауып алайық : {𝑥 2 + 25 ≥ 0 16 − 𝑥 2 ≥ 0 ⇒ [−4; 4] Мынадай векторларды қарастырайық: вектордың скаляр кӛбейтіндісін табайық: ¯с{ 5; 4}; 𝑑¯¯¯¯{ √𝑥 2 + 25; √16 − 𝑥 2 }. Екі 𝑐 ∙ 𝑑 = 5√𝑥 2 + 25 + 4√16 − 𝑥 2 ; Векторлардың ұзындықтарын табатын болсақ: |𝑐 | = √5 2 + 4 2 = √25 + 16 = √41; |𝑑 | = √(√𝑥 2 + 25) + (√16 − 𝑥 2 ) 2 √𝑥 2 + 25 + 16 − 𝑥 2 = √41 |𝑐 | ∙ |𝑑 | = √41 ∙ √41 = 41 ; Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша 𝑎 ∙ 𝑏¯ ≤ |𝑎 | ∙ |𝑏¯ | болғандықтан, 5√𝑥 2 + 25 + 4√16 − 𝑥 2 ≤ 41 . Енді қандай да бір 𝑥 ∈ [−4; 4] мәні үшін берілген функция 𝑓(𝑥) = 5√𝑥 2 + 25 + 4√16 − 𝑥 2 41-ге тең мәні болатынына кӛз жеткізейік. Ол үшін [−4; 4] аралығында 5√𝑥 2 + 25 + 4√16 − 𝑥 2 = 41 теңдеуінің шешімі бола ма, соны тексеру қажет. Сонымен қатар, басқаша да жасауға болады, яғни 𝑥 айнымалының қандай мәнінде 𝑐 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 векторлары бірдей бағытталғандығын анықтау қажет. [2]. |