Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 396 Ол мынадай теңдік дұрыс болғанда орындалады: √x 2 +25 = √16–x 2 5 4 Осыдан пропорция қасиеті бойынша 4√𝑥 2 + 25 = 5√16 − 𝑥 2 ⇒ 16(𝑥 2 + 25) = 25(16 − 𝑥 2 ) ⇒ 16𝑥 2 + 400 = 400 − 25𝑥 2 ⇒ 41𝑥 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 0; 𝑥 ∈ [−4; 4] Демек функцияның ең үлкен мәні 𝑓(𝑥) ең үлкен = 41. Жауабы: функцияның ең үлкен мәні 𝑓(𝑥) ең үлкен = 41. Мысал 2. Тік бұрышты параллелепипедтің 𝑎, 𝑏, 𝑐, ӛлшемдері 3𝑎 + 4𝑏 + 10с = 500 қатынасын қанағаттандырсын, ал диагоналы 𝑑 = 20√5 -ке тең болсын. Тік бұрышты параллелепипедтің кӛлемін анықтаңыз, Шешуі . Тік бұрышты параллелепипед үшін 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑑 2 . 𝑑 = 20√5 болғандықтан, 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2000 . Коши-Буняковский теңсіздігін қолдансақ, онда (3𝑎 + 4𝑏 + 10𝑐) 2 ≤ (9 + 16 + 100)(𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) = 125 ∙ 2000 = 250000 Есептің шарты бойынша 3𝑎 + 4𝑏 + 10𝑐 = 500 болғандықтан, жоғарыда қолданылған Коши-Буняковский теңсіздігі теңдікке айналады, сондықтан a = b = c = 𝑘 3 4 10 теңдіктер тізбегі орындалады. Осыдан 𝑎 = 3𝑘, 𝑏 = 4𝑘, 𝑐 = 10𝑘 аламыз. Бұл жағдайда 3𝑎 + 4𝑏 + 10𝑐 = 500 теңдігінен 9𝑘 + 16𝑘 + 100𝑘 = 500 немесе 𝑘 = 4 болатыны шығады. Демек, 𝑎 = 12, 𝑏 = 16, 𝑐 = 40 және параллелепипедтің кӛлемі 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 = 7680 болады. Жауабы : 7680. в) тригонометриялық теңдеулерді шешу кезінде: 1-есеп. 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 3 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 теңдеуін шешіңіз. Шешім. Берілген теңдеу 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 3 тең. Ары қарай, екі бұрыштың синусы арасындағы айырмашылық формуласын қолданып, мына теңдеуді аламыз: 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 немесе 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 .(1) 2 Коши-Буняковский теңсіздігін (1) теңдеудің сол жағына қолданамыз, содан кейін (𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2 ≤ (1 + (𝑠𝑖𝑛𝑥) 2 )((𝑠𝑖𝑛2𝑥) 2 + (𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2 + (𝑐𝑜𝑠2𝑥) 2 ) ≤ 2 . Осыдан 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ≤ √2 , яғни 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 < 3 болатыны шығады, сондықтан 2 теңдеудің түбірі жоқ. Жауабы: түбірлері жоқ Мысал 3 . Мынадай 𝑎, 𝑏, 𝑐 - үшбұрыштың қабырғалары үшін тӛмендегі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіздер 𝑎 2 𝑏(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 2 𝑐(𝑏 − 𝑐) + 𝑐 2 𝑎(𝑐 − 𝑎) ≥ 0 Шешуі. 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 тӛмен қарайғы дӛңес функцияны қарастырайық. Үшбұрыштың нүктелерін мынадай 𝑥 1 = 𝑎, 𝑥 2 = 𝑏, 𝑥 3 = 𝑐 деп есептейікғ ал салмақтары мына түрде болсын: 𝛼 1 = a+c–b , 𝛼 a+b+c = b+c–a , 𝛼 a+b+c = a+b–c a+b+c және Йенсен теңсіздігін қолданайық, және 𝛼 1 + 𝛼 2 + 𝛼 3 = 1 және 𝛼 1 > 0, 𝛼 2 > 0, 𝛼 3 > 0 екендігі белгілі. Сонда 𝑐 2 ∙ a+c–b + 𝑏 2 ∙ b+c–a + 𝑎 2 ∙ a+b–c ≥ ( ac+c 2 –bc+b 2 +bc–ab+a 2 +ab–ac ) 2 , осыдан a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c 𝑐 2 (𝑎 + 𝑐) 2 − 𝑏 2 ) + 𝑏 2 ((𝑏 + 𝑐) 2 − 𝑎 2 ) + 𝑐 2 ((𝑎 + 𝑏) 2 − 𝑐 2 ≥ (𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) 2 немесе 𝑎 2 𝑏(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 2 𝑐(𝑏 − 𝑐) + 𝑐 2 𝑎(𝑐 − 𝑎) ≥ 0 . 2 3 |