Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
90 
Егер қысқаша математикалық түрде жазсақ, онда 
1, 
(
n
) 
=
егер n 
= 1, 
2 
0,
егер p
| 
n
, 
(
1
)
k 
, 
егер n 
=
p p 
... 
p 
– канондық жіктеу. 
Теорема. 
1 2 
k 
d 
|
n 
(
d 
) 
= 
1,
0, 
егер n 
= 1, 
егер n 
> 1. 
Мѐбиус функциясы 
n 
аргументінің тек қана бүтін оң мәндерінде анықталған, атап 
айтқанда, 
(
1
) 
= 1 , 
μ
(
n
) = 1 егер 
n 
бірінші дәрежелі саны жұп әр түрлі жай сандардың кӛбейтіндісіне 
тең болса,
μ
(
n
) = −1 егер 
n 
бірінші дәрежелі саны тақ әр түрлі жай сандардың кӛбейтіндісіне 
тең болса,
μ
(
n
) = 0 егер 
n 
–нің екінші дәрежелі бӛлгіші болса. 
Мысал. 
1) 
(
720
) 
= 
(
2
4
3
2
5
1
)
= 0
,
ал
(
2 3 5
) 
= 
(
30
) 
= 
(
1
)
3
= 1 
2) 
(2) = 
,
(3) 
, 
(4) = (2
2
) = 0 
, 
(5) = 
, 
(6) = (2 3) = 1
. 
3) 
(350) = (14) (25) = 0 , себебі 
(25) = 0 . 
Антье функциясы. 
Сандар теориясында нақты аргументтен табылатын мәндері бүтін сан болып 
келетін функциялар да кездеседі. Осындай функция ретінде «Антье 
x 
» функциясын 
қарастырайық. 
Анықтама. 
Нақты 
x 
санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды осы 
x 
санының 
бүтін бӛлігі деп атайды және оны 
[
x
] 
түрінде белгілейді. 
Анықтама бойынша, х-тің антье функциясы х-тен аспайтын ең үлкен бүтін санға 
тең. 
х-тің антье функциясы Е(х) деп белгіленеді, бұл белгіні енгізген Лежандр (1752- 
1833) болатын. 
Егер 
a 
x 
a 
+ 1 
және 
a 
Z 
болса, онда 
[
x
] 
= 
a 
, ал 
x
= 
x 
[
x
] 
саны 
x 
нақты 
санының бӛлшек бӛлігі деп аталады, мұндағы 0
x
1 . 
Осы 
[
x
] 
функциясының кейбір қасиеттерін келтірейік. 
1.
Нақты 
x 
санынан аспайтын және 
n 
натурал санына бӛлінетін барлық натурал 
сандардың саны 
x 
n 
функциясының мәніне тең болады. 
2.
 
x 
R 
(
x 
> 0
) 
және 
n 
N 
үшін 
[
x
]
= 
x 
n 
n 
теңдігі орындалады. 
3.
n
! 
санының канондық жіктеуіне 
p 
жай саны мына 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
91 
 
= 
n 
+ 
n 
+ ... + 
n 
p 
p
2 
p
s 
дәрежеге кӛрсеткішімен кіреді, мұндағы 
p
s
 
n 
p
s
+1
. 
Енді қолданылуын қарастырайық. Оны мына теорема арқылы кӛрсетуге болады: 
Теорема (*). 
Жай 
р 
саны 
n!=1*2*3*…*n 
санына бӛлгіш ретінде 
n 
+ 
n 
+ ... + 
n
 
+
p 
p 
2 
p
s
рет енеді. 
Мұны кӛрсету үшін 
n!=1*2*3*…*n 
санынан 
р
-ге бӛлінетін барлық кӛбейткіштерді 
бӛліп алады. 
Мысал. 
1. 
Егер 
x 
= 
болса, онда 
[
4,8
] 
= 
және 
{
x
}
= 
{
4,8
}
= 
(
5
) 
= 0,2. 
2.
19
= 6 ,
7
= 4 
3
2
3. Егер 
100
! 
= 5
 
m, 
мұндағы 
5 
m, 
болса, онда 
 
= 
100
+ 
100
+ 
100
= 20 + 4 + 0 = 24
. 
5
5
2
5
3
π(х) функциясы. 
х 
санына дейінгі барлық жай сандардың саны - π
(х) 
деп белгіленеді. 
1000 
π
(35) = 11, 
π 
( 
) = 14, 
π
(10
7
) = 664 579, 
23 
π
(10
9
) = 50 847 478, 
π
(p
n
) = n, 
мұнда 
𝒑
𝒏
саны
𝒏 
– 
ші жай сан. 
Эйлер ӛз тұсында жай сандардың қолда бар таблицаларын қарап отырып, жай 
сандар тізбегінің барған сайын сирей түсетіндігін, яғни 
𝜋(
х
) 
х 
қатынасы, атап айтқанда , жай сандардың 1-ден 
х-ке дейінгі кесіндісіндегі 
орташа тығыздығы ылғи кеміп отыратынын байқаған. 
Эйлер мынаны далелдеп берді: 
𝑥 → 
∞ жағдайға 
𝜋(𝑥) 
𝑥 
→ 0. 
2)
π
(1000) 
= 0,168, 
π(100 000) 
= 0, 09592, 
1000 
100 000 
𝜋(1 000 000) 
1 000 000 
= 0, 078 498, 
𝜋(10 000 000) 
10 000 000 
= 0, 066 4579 
𝜋(100 000 000) 
100 000 000 
= 0,057 614 55, 
𝜋(1 000 000 000) 
1 000 000 000 
= 0,050 847 478. 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
92 
i 
i 
Эйлер функциясы. 
Анықтама. 
Мәні 
n 
натурал санынан аспайтын және 
n 
мен ӛзара жай барлық 
натурал сандардың санына тең болатын 
функциясы деп аталады, мұндағы 
 
(
1
) 
= 1 . 
 
(
n
) 
натурал аргументті функция Эйлер 
Яғни, 
кӛрсетеді. 
1
m 
n 
және 
(
n
, 
m
) 
= 1 болатын барлық 
m 
N 
сандардың санын 
Теорема.
Егер
n 
=
p
1
p
2
... 
p
k
 
ӛрнегі 
n 
> 1 
санының канондық жіктеуі болса, 
онда 
1 
2 
k 
 
 
k
 
1
(
n
) 
= 
n
1
p
. 
i 
=1 
i 
Бұл теореманың дәлелдеуі санның бүтін бӛлігі функциясының қасиеттеріне және 
n 
мен ӛзара жай, 
n
нен үлкен емес натурал сандардың санын есептеуге сүйенеді. 
Жоғарыдағы формулаға 
n 
нің канондық жіктеуін қою арқылы 
k 
(
n
) 
= 
p
i 
1 
( 
p
1
) 
i
=1 
түріне келтіруге болады. 
Екі формуланы да қолдана беруге болады. 
Мысал. 
1) 
 
(
720 
) 
? 
 
(
720
) 
= 
 
(
2
4
3
2
5
1
)
= 2
3
5
(
2 
)(
3 
)(
5 
) 
= 
= 8 3 1 1 2 4 = 192 
2) 
(360) = ? 
360 = 2
3
3
2
5 
. 
 
(360) = (2
3
)
 
(3
2
)
 
(5) = 360 1
1
1
1
1
1
= 360
1 
2 
4 
= 96 
(360) = 96 
2
3
5
2 3 5 
. 
 
Сандық функциялардың қолданысы 
Аңдатпа 
Зерттеу жұмысында қарастырылатын функциялар секірмелі түрде ӛзгереді және де 
аргументтің ӛзгеру тәсіліне тәуелсіз тек қана бүтін сандарға ие болады. Кей жағдайда 
аргументтің ӛзгеру облысы тек қана бүтін сандар да, екінші бір жағдайда – нақты сан 
болуы мүмкін. Біз бұл зерттеу жұмысында аса маңызды сандық функциялардың 
математиканың тарауларында кеңінен қолданыста екендігін қарастырамыз. 
Использование числовых функций 
Аннотация 
В исследовательской работе рассматриваемые функции изменяются скачкообразно 
и имеют только целые числа, независимо от способа изменения аргумента. В некоторых 
случаях область изменения аргумента может быть как целыми числами, так и в другом 
случае – действительным числом. В этой исследовательской работе мы рассматриваем 
наиболее важные численные функции, широко используемые в разделах математики. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: