В. И. Тара у облыстық Қатарлар кешені
жүктеу/скачать 23,56 Kb.
|
Esen Akerke (копия)
|
В. И. Т А Р А У ОБЛЫСТЫҚ ҚАТАРЛАР КЕШЕНІ § 1. МУШЕЛі САНДАР қатары кешені ЖЭНЕ ОНЫН ЖИНАҚТЫҒЫ Облыстық қатарлар теориясы математикалық Ана кешені- лиз курсындагы қатарлар теориясы жарқын құрастырады. Сондык- тан қатарлар теориясының кейбір маглуматтарын кыскаша шо- лып этейік. Erep {2n)n=1 = {xntiynin = 1 шектеусі3 сандар isberi болса, онда мың ернекті 21+22t...+2nt… (6.1) мушелі сандар қатары кешені (кыскаша с. к.) деп аталады да, бул (6.1) сандар қатарының дербес қосылыстарының Sn =21+224...+2n (6.2) белгілі шектеуі тиісті шегінінбір lim Sm = S 1-> (6.3) (мунде СН =Ан + ибн ал х1 + х2+... +хп = в > А, 1У, у1,...+ >В, с=а| ЖБ) (6.1) с. к. косындысы деп аталады да, болған белгісін: 2п =С. Егер с. к. дербес қосылыстарының, (6.2) - нын, белгілі тиісті шектеуі weri бір бар болса, онда с. к. (6.1)-ги жинақты қатар деп атады да, ал егер дербес ко- сынды (6.2)-нын белгілі бір шегі болмаса немесе дербес жаг- дайда шегі шексіздікке тен болу, онда с. к. (6.1) - ги жинақсызсыз катар деп аталады. Сейтіп (6.1) туралы кептен мэселелер оган сэйкес сандар тизбери немесе бары бір ол катардын дербес ко- сыңарлары (6.2) шешілді. Қорықшы с. к. (6.1) жинақты болса, онда (6.3) иә, (6.1) - ги былай жазуга болады: S=Sn+ Rn. (6.4) 138 мундагы Rn z сандар катарынын калдыты, п--+00 нольге k-nt умтылады, Kepiciнше, сандар катарынын калдыгы Rnn > 0, онда (6.4)-тен (6.3) орындалатыны корiнедi. Сейтiп, (6.1) с. к. калды- гы Rn жинакты болса, онда ол катардын езi де жинакты болады екен. Эрине, (6.3)-тен Sn-Sn-1=2n- >0, яfни (6.1) жалпы муше- ci za нольге умтылады екен, бiрак бул белгi с. к. (6.1)-дiц жи- нактылыты ушiн жеткiлiктi емес екенi белгiлi. Сандар тiзбeri жайында (1 тарау, § 5) дэлелденген уйгарy- лар бойынша с. к. (6.1) жинакты болу ушiн 2n мушелерiнiн накты xn жэне жорамал уп белiктерiнен куралган катарлар жэне Уn жинакты болуы кажеттi жэне жеткiлiктi. Сондай-ак сандар тiзbеriнiн жинактылыгынын кажеттi жэ- не жеткiлiктi шарты (Кошидiц критетиi): | Sn+p - Snl = \Zn+1+ Zn+2 … + 2n+p| < e (6.1) с. к, жинактылыты ушiн де дурыс болады. Егерде (6.1) с. к. мушелерiнiн абсолют шамасы (модулi) | 2n] бойынша курылган катар | 2n| =| 21 | +| 22|+…+| 2n|+… (6.5) жинакты болса, онда (6.1)-дi абсолют жинакты катар деп атай- ды. Коши критерийi бойынша абсолют жинакты катарлар арка- шан дагдылы магынада да жинакты болады. Шынында да, (6.5) жинакты болса, онда | Sntp -Sn|=|2n+1| 2n+2t…| 2ntp|<|2nt1l| F2n+2] F…2ntp| катарынын адеттеri магынадагыдай жинакты екенiн керсетедi. Абсолют жинакты катарларды кез келген санга кебейтуге, екi абсолют жинакты катарды мушелеп косуга, мушелеп алу- Fа болады жэне катарларды кобейту туралы Коши теоремасы да [17,6[ орындалады; абсолют жинакты катарлардын муше- лерiнiн орнын алмастырганнан онын жинактылыты да, косын- дысы да озгермейтiнi мэлiм. Ендеше сандар катарынын жи- нактылыгында абсолют жинактылык ен тиiмдi, ен керектi жи- нактылык. Сондыктан да комплекс мушелi катардын абсолют жинактылыгын бiлуге тырысады. Ол ушiн практикада кобiнесе математикалык анализ курсындагы мушелерi он катарлардын жинактылытынын жеткiлiктi белгiлерi болып саналатын са- лыстыру белгiсiн, Коши жане Даламбер белгiлерiн колданады. Салыстыру белгici. Eгер (6.1) катарынын жалпы мушесi- нiн модулi белгiлi бip номерiнен (n>n.)бастап, мушелерi он жинакты катардын an сэйкес мушелерiнен артык болмаса, 139 ягни |2n |"a,(n п. ) болса, онда (6.1) абсолют жинакты. 2°. Даламбер белгiсi. Егерде катардын мушелерi ушiн D болса, онда D< 1 жагдайында (6.1) абсолют |Intel-Dan0 жинакты, ал D>1 жагдайында (6.1) жинаксыз. 3°. Коши белгici, Егер катардыц мушелерi ушiнV21| = =КнпК болса, онда К<1 жагдайында (6.1) абсолют жинак- ты, К>1 жагдайында (6.1) жинаксыз. in Мысалдар 1° л катарынын жинактылыгын бiлу ein ушiн салыстыру белгiciн колданган тиiмдi: | 2nl=n22 = an жалпылама жинакты гармоникалык катардын жалпы мушесi. Демек, берiлген катар абсолют жинакты. 2°. Ал мына n! (e катардын жинактылытын Даламбер белriciмен табу тиimдi: 2n41 (n-[1)"+1 Dn|2n| (n|1)!|eipnti ae in (e2 +1) 2(1+ e Ve2-1 n-Ve? (e2 |-1) 3° Мына 2i' катардын жинактылыгын Кошидйн белriciмен табу тиimдi: Кn=1+V2i V2i |"＿|141/2i \" 37 0=K<1. Демек, берiлген катар абсолют жинакты. Бул мысалдардан берiлген катардын табигатына карай жи- нактылык белгiciн алдын ала тандап алып, колдану керек екенi байкалады. жүктеу/скачать 23,56 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|