В. И. Тара у облыстық Қатарлар кешені
§ 3. бірҚалыпты жИНақтЫ ҚАтаРлАРДЫҢ НЕГІЗГі
жүктеу/скачать 23,56 Kb.
|
§ 3. бірҚалыпты жИНақтЫ ҚАтаРлАРДЫҢ НЕГІЗГі қасиеттері. вейерштрасс теоремасы Бірқалыпты жинақты комплекс айнымалылы функционалдық қатардың кейбір қасиеттерін (олар нақты аргументті қатардың қасиеттеріндей және дәлелдеуі де сондағыдай) тек атап өтейік: 1 -теорема. Үзіліссіз функциялардан în (z) (п=1,2,…) кү- ралған қатар (6.6) D облысында (L доғасында) бірқалыпты жи- нақты болса, онда ол функционалдық қатардың S(z) қосындысы D облысында (L доғасының бойында) үзіліссіз болады. 2- теорема. Осы жоғарыдағы теореманың шарттары орын- далғанда (6.6)-ны ол D облысында түгелдей жаткан L сызығы- ның бойымен мүшелеп интегралдауға болады, яғни in(2) dz =n(2) dz. n 3-теорема. Жоғарыдағы 1-теореманың шарттары орын- далғанда және (6.6)-ның мүшелерінің туындыларынан кұралған қатарF, (2) бірқалыпты жинақты болса, онда (6.6)-ны мүше- леп дифференциялауға болады, яғниIn(2)f, (2) 4-теорема. Бірқалыпты жинақты (6.6) қатарының бар- лық fn(z) (n=1,2…) мүшелерін модуль бойынша шектелген ф(z) функциясына көбейткеннен шыққан қатар да Ф(2) fn(2) бірқа- n - лыпты жинақты болады да, оның қосындысы ф(z) • S(z) болады. Айталық, vzeD. (|p(z) | «М болсын, онда бұл теореманың ұйғаруын дәлелдеу үшін (6.7) теңсіздігінің орындалатынын тек- серуіміз керек: 9(z)S(z)- 4(z)Sn(z)| = | P(z) | - [S(z)- Sn(z)| < M - M - e. 5 -теорем а. (Вейерштрасс теоремасы). Егер D облысында берілген аналитикалық функциялардан құралған (6.6) қатары D'cD облысында бірқалыпты жинақты болса, онда D' облысын- 144 да: 1) ол қатардың қосындысы S(2) аналитикалық функция бо- лады, 2) қатардың қосындысының кез келген ретті туындысын S(k)(z) (k = 1,2…) берілген қатарды мүшелеп дифференциалдап алуға болады, яғни SU(z)=(z) (k=1,2, ); 3) D'cD облысында мүшелеп дифференциалдаганнаи алынган қатардың өзі де бірқалыпты жинақты болады. Алдымен теореманың бірінші үйғаруын дәлелдейік, (6.6)- ның кез келген fn (z) (n= 1,2,…) мүшелері D облысында анали- тикалық функциялар болғандықтан олар D облысында үзіліссіз болады да, ал үзіліссіз функциялар қатарының S (z) қосындысы ол облыста үзіліссіз болатыны мәлім (1-теорема). Олай болса, D'cD облысының ішінде жатқан L контурын алсақ (99-сурет), онда ол тұйық контур бойынша алынған интегралS(2)dz = in(z)dz= Фfn(z)dz үшін Қошидің интегралдық теоремасы n = бойынша фfn (z)dz= 0 (n=1, 2,…) болғандықтанф S(z)dz=0 екені шығады да, Морер теоремасы бойынша S(z)- аналитикалық функция екені көрінеді. Сөйтіп, теореманың бірінші бөлігі дәлелденді. Енді екінші бөлігін дәлелдеуге кірісейік. Айталық, z0eD'c D, ал D облысында түгелдей жатқан L контурын алсақ, v ze EL үшін min|2-Z0| = d (100-сурет) болса, онда мына қатар S (z) f1 (z) fa(z) In (2) (z-za)(z-za) (z-z0)(z-2) теореманың шарты бойынша L контурының бойында бірқалып- ты жинақты болады да, оны L бойымен мүшелеп интегралдауға болады және кез келген аналитикалық функцияның Қоши ин- 100-сурет 145 99-сурет тегралымен өрнектелетін туындысының (5.12) формуласын пай- даланайық klf S (z) dz kl 2л, In(2) 2ni' (z za)4%7 " 2. (z z,)4+7 dz, бұдан St)(za)fth)(za), (6.10) ал бұл теореманың 2-ұйғаруы. Енді теореманың соңғы 3) ұйғаруын дәлелдейік, яғни (6.10) бірқалыпты жинакты екенін дәлелдеу керек. Ол үшін D облысы- ның ішінен D облысын түгел коршап жатқан тұйық L контурын алайық. Сонда | 2-20|> болады да, (6.6) қатары бірқалып- ты жинақты болғандықтан L контурында алдын ала қалауымыз- ша алынған кез келген в"0 саны үшін п, саны табылып, п"п. болғанда -2x.87+1 |Ra(z)I=|S(2)-Sn(2)|<-RS(n>n., S=mes L) етіп алуға болғандықтан S(z) f, (z) k! |R)(z) |=|S(z))S4)(e)| kl f | S(z)-Sn(z)1 | dz | ал бұл 3) ұйғарудың дұрыс екенін көрсетеді. Ескертулер. 1°. Бұл теореманың дәлелдеуіндегі «D'cD деген» D облысының ішінде түгелдей жататын облысты көрсетеді. 2°. Осы түсінікке байланысты ф. қ. (6.6)-ның D облысында бір- қалыпты жинақтылығынан оның туындыларынан құралған (6.10) қатарды да сол D облысында бірқалыпты жинақты болады деп ұйғаруға болмайтынын кейбір жай мысалдардан байқауға бола- ды. Мысалы,ф. қ. D={zeC: |z| <1} облысында бірқалып- n ты абсолют жинақты, ал бұл қатардың туындыларынан құрал- z ған қатар n көрсетілген облыста жинақсыз, тіпті zn n2 - 1 (r- -1) гn-25үкіл мына шеңбердің |z| = 1 бойында 146 жинақсыз, үйткені бұл қатардың жалпы мүшесі і (г) = (1 г"-0. Сөйтіп, теореманың 3) ұйғаруындағы Б' (Б'D) облысын D облысына дейін кеңейтуге болмайды. 3°. Әрине, теореманың 1) ұйғаруын дәлелдегенде ф. к. (6.6) Б облысында бірқалыпты жинақы деп алуға болады (онда L оның тұйық контуры болар еді). Шынында да, (6.6)-ның дербес қосын- дыларының айырымы Sntp(20)-Sn(20) шектеулі аналитика- лык функциялардың қосындысы болғандықтан vzD нүктесін- де аналитикалык функция болады, ал D облысының контуры L бойында ф. қ. (6.6) бірқалыпты жинақы болғандықтан | Sn+p(2) S.(2) | = | inti(2) ten+2(2) tIntp(2) | =1,2,…) орындалады да аналитикалық функцияның модулінің максимумдік принципі (V тарау, § 3 п. 2) бойынша zoeD нүктесінде де | Sntp(z)-S (z0) | «ғ. Демек, ф. қ. (6.6) D облы- сында бірқалыпты жинақты болады. жүктеу/скачать 23,56 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|