«Вітчизнянанаука: сучаснийстан,актуальніпроблемитаперспективирозвитку»
жүктеу/скачать 8,82 Mb. Pdf көрінісі
|
Литература: 1.
Уринов А.К., Каримов К.Т.
Задача на собственные значения для трехмерного эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом . Научный вестник ФерГУ. №1 . 2014 г. –
С. 10
-14. 162 «Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»
2.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. –
М.: Наука, 1973. – 296 c. Камолиддин Каримов, Элдор Бутаев (Фергана, Узбекистан) ПАРАБОЛИК ТЕНГЛАМАНИНГ ЕЧИМИНИ MAPLE ДАСТУРИДА ЎЗГАРУВЧИЛАРНИ АЖРАТИШ УСУЛИ БИЛАН ТОПИШ Maple
дастурининг янги замонавий версияси хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг айрим синфини аналитик ечимини топа олади. Шу мақсадда pdesolve ( тенгламалар, ўзгарувчилар ) буйруғи киритилган. Мисол сифатида хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалардан бўлган параболик типдаги иссиқлик ўтказувчанлик тенгламасини кўриб чиқамиз.
Биринчи қадамда иссиқлик ўтказувчанлик тенгламасини Maple дастурида тасвирлаб оламиз:
> restart;heat:=diff(u(x,t),t)-k*diff(u(x,t),x,x)=0; , бу ерда
,
- номаълум функция, k
эса ихтиёрий ўзгармас сон. Иккинчи
қадамда pdesolve буйруғидан фойдаланиб, гарчи у тенгламанинг ечимини топмаса ҳам қуйидагича ёзиб оламиз:
> pdesolve(heat,u(x,t)); . Тенгламанинг ечимини топишда ўзгарувчиларни ажратиш усулини қўллаймиз, яъни қидирилаётган функцияни
, u x t X x T t
кўринишда тасвирлаб оламиз.
> eq:=subs(u(x,t)=X(x)*T(t),heat); . Сўнгра тенгламанинг иккала томонини
кўпайтмага бўламиз . > expand(eq/X(x)/T(t)); . Бу ердан x
ва t
ўзгарувчиларга боғлиқ бўлган ифодаларни тенгликнинг иккала томонида тасвирлаб оламиз. > sep:=(%)+(k*diff(X(x),x,x)/X(x)=k*diff(X(x),x,x)/X(x)); . Бу ифоданинг чап ва ўнг томонлари бир - бирига боғлиқ бўлмаганлиги сабабли унинг қийматини қандайдир С
сонга тенг деб олишимиз мумкин. > lhs(sep)=C; . Охирги ёзилган ифода бу T t
функцияга нисбатан оддий дифференциал тенглама ҳисобланади ва унинг ечимини топамиз.
> T_sol:=dsolve(%,T(t)); бу ерда _ 1
ихтиёрий ўзгармас сон . «Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»
163
X удди шу йўл билан иккинчи тенгламани тасвирлаб оламиз.
> rhs(sep)=C; . Охирги ёзилган оддий дифференциал тенгламанинг ечими қуйидагича бўлади:
> X_sol:=dsolve(%,X(x),explicit=true); бу ерда _ 1
ва _ 2
лар ихтиёрий ўзгармас сонлар. Энди ечимни ҳосил қилиш учун
кўпайтмани тасвирлаб олишимиз керак: > map(subs,[X_sol],T_sol,X(x)*T(t)); .
> sol:=map(simplify,%); . Соддалаштириш мақсадида ўзгармаслар учун аниқ қийматлар тақдим қиламиз. Жумладан, 1, _ 1 1, _ 2 1 C k C C
бўлсин.
> subs(C=k,k=1,_C1=1,_C2=1,sol); . > evalc(%); . Охирги ифодада қатнашган t e
экспонентани тригонометрик шаклда тасвирлаб оламиз > convert(%,trig);
ва бу ифодани соддалаштирамиз > S:=evalc(%); . Энди ўзгарувчиларнинг маълум бир интервалида ечимнинг графиги қандай бўлишлигини кўриб чиқамиз. Фараз қилайлик x
ўзгарувчи 5;5
оралиқда ва t
ўзгарувчи 0;5
оралиқда бўлсин. У ҳолда Maple дастурида буйруқ қуйидагича ёзилади:
> plot3d(op(S),x=-5..5,t=0..5); Бу ечим ҳақиқатан ҳам тўғрилигини текшириш учун қуйидаги буйруқдан фойдаланилади: > simplify(subs(u(x,t)=sol[1],heat)); .
: 1.
Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.
2. Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.
164 «Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»
3.
Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple.: Учебное пособие –
Белгород: Изд. Белаудит, 2001. –
116 с . 4. www.maplesoft.com – Maplesoft firmasi maxsus sayti. 5. www.twt.mpei.ac.ru – zamonaviy matematik paketlar uchun maxsus sayt. 6. www.exponenta.ru – matematik o`quv sayti.
(Фергана, Узбекистан) О ЗАКОНЕ КОМПОЗИЦИИ ОБОБЩЕННОГО ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Следуя работе [1], в ведем обобщенные
операторы дробного порядка l
от функции по другой функции в следующем виде:
1 0 0, ; ( ) 1 ( 1) 0, ; ( ) 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) , 0, ( )
( ) , 0, 1 . [ ( )]
x l l x g x n l n x g x n g x g t t g t dt l l D x d D x l n l n d g x
1 0 0 1 0 1 1 ( )
( ) , ( ) ( ) , ,
; ( ) ( ) , 0, ; ( )
( ) 1, [ ( )] [ ( )] , 0. 1; ( ) [ ( )]
x l x n b b x n g x g t l a b g x g t F x F a b l t g t dt l l g x g x a n b d g x g x F x l l n g x d g x
Здесь
( ) g x - монотонная функция, имеющая непрерывную производную, и ( ) 0
( ) z
–
Гамма функция Эйлера [2], ( , , ; ) F a b l z
– гипергеометрическая функция Гаусса [2]; , ,
– действительные числа, n
– целая часть l .
Имеет место
Лемма. Пусть ( ) (0,1)
x L , 0
c
, 0
. Тогда почти всюду на (0,1)
выполняется соотношение 2 1 0 0, ;
0 , ( ) ( ) ,
x l b c nl c b x x x a b D x F x n x y y c x
2 , 0 2 , 2 1 2 1 2 1 , ,..., , , ,..., ,1 1
1 2 , ,..., , , ,..., n n n n n a b a b n a b n l y n n n n n n G dy c b c b n c b a a n a x n n n n n n
, (3)
где , , m n p q G
– функция Мейера.
Доказательство. В силу определению (1) и (2) имеем 0 0, ; , ( )
( ) ,
l b x x x a b J x D x F x c x
1 0 0 1 ( ) ( ) , , ; ( )
( 1) (
) x t n n l l c n d t y x t t dt x t F a b c y dy l c dx t
. (4)
После некоторых преобразований из (4) получим
0, ; 0 , , b l n n n x x x n a b J x D x F x c x . (5)
Для вычисления выражение (5) воспользуемся преобразованием Меллина [3]
1 0 ( ); ( ) s M f x s x f x dx . (6) Легко показать, что
«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»
165
0, ; 1 ( );
*( ) 1 l x x l s M D x s s l s , Re 1 s l
, (7)
0 , 1 ,1 ; *( ) 1 , 1 , b n n x n a b c b ns a ns M x F x s n ns c b a b ns ns c x
, (8) где
Re Re(1
), Re(1 )
b c a . Тогда учитывая (7) и (8) из (5), находим
1 ,1 ,1 ; *( ) 1 , 1 , 1 n l s c b nl ns a nl ns M J x s n ns c b nl s a b nl ns nl ns
, (9) Отсюда применяя формулу [2] 2
1 1 1 ( ) ( ) ... (2 )
2 np n n n np p p p n , (10) из (9) имеем
1 1 2 , ,..., 1 ; 1 2 , ,...,1 c n c b c b c b l s l s l s n n n n n n n n M J x s n a b a b a b l s l s l s n n n n n n n n
1 2 , ,...,1 *( ) 1 2 1 , ,....,
a a a l s l s l s n n n n n ns c b nl n l s l s l s n n n
, (11) В силу формулы [1]
1 2 1 2 , ,..., ; , ,..., p m n p q q a a a M G z s b b b
1 2 1 2 1 2 1 1 , ,..., ,1 ,1 ,...,1 , ,...,
,1 ,1 ,...,1 m n n b p m m q s b s b s b a s a s a s s a s a s a b s b s b s , (12) 1 min Re 1 Re , , , ( ) 0 n k j j j i b s a p q m n p a b .
* * 1 2 1 2 0 ; u x dt M K K t s K s K s t t
, (13)
из (11), после некоторых преобразований, имеем
2 1 0 ( ) ( ) x c c b nl J x n y y
2 , 0 2 , 2 1 1 ,..., , ,..., 1 1 1 ,..., , ,..., , 0 n n n n n n c b c b n a a l l l l x n n n n n n n n G dy n a b a b n y l l l l n n n n n n n
. (14)
Если применяя к выраженную (14) формулы симметрии и сдвига
1 1 1 q p q p b a mn n m pq q p b a G z G z , (15)
p q q a a mn mn pq pq b b z G z G z , (16)
получим соотношение (3), что и требовалась доказать.
жүктеу/скачать 8,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|