«Вітчизнянанаука: сучаснийстан,актуальніпроблемитаперспективирозвитку»

166 

«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»

 

 

 

 

Литература:

 

1. 

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения.  –

 

Минск: 

«Наука и техника», 1987. –

 

688с.

 

2. 

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. –

 

Москва: Наука, 1966. –

 

296 с.

 

3. 

Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. –

 

М.: Наука, 1969. Т. 

I.-

344 с.

 

4. 

Маричев О.И. Методы вычисления интегралов от специальных функций. Минск: Наука и техника. 1978. 312 с.

 

 

 

Абдурасул Рафиков, Дилдора Махмудова

 

(Фергана, Узбекистан)

 

 

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДВУМЯ 

ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

 

 

Рассмотрим уравнение

 

(

)

0,

0

m

n

y

U

x U

m

n

yy

xx







 

. (1) 

Пусть 



 

–

 

конечная односвязная область плоскости переменных 

( , )

x y

, ограниченная характеристиками

 

 

 

АС: 

 

1

1

0

q

p

x

y

q

p







, ВС: 

 

1

1

1

q

p

x

y

q

p







 

уравнения (1), выходящими из точек 

1

(0, 0), (

, 0)

q

A

B q

 

и отрезками 

AB

 

прямой 

0

y



, где 

2

2, 2

2

p

m

q

n

 

 

. 

Введем обобщенное операторы дробного интегродифференцирования порядка 

l

 

от функции по другой 

функции в следующим виде [1]

 





1

0

0 ; ( )

1

(

1)

0 ; ( )

1

[ ( )

( )]

( ) ( ) ,

0

( )

( ),

0

( ) ,

0;

[ ( )]

x

l

l

x g x

n

l

n

x g x

n

g x

g t

t g x dt

l

l

D

x

t

l

d

D

x

l

d g x









 



 



 







 



















 (2) 

 

  







 

1

0

0x

1

0

1

1

( )

( )

, , ;

( ) ( ) ,

0

,

( ),

0

, ( )

,

1

[ ( )]

[ ( )]

,

0.

1, ( )

[ ( )]

x

l

n

b

b

x

n

F

g x

g t

F a b l x

t g t dt l

l

a

b

x

t

l

l g x

a b

n

d

g x

g x

F

x

l

l

n

g x

d g x



















































 















 









 (3) 

Здесь 

( )

g x

 

–

 

монотонная функция, имеющая непрерывную производную; 

 

[ , ]

x

L A B





; 

 

z



 

–

 

гамма функция Эйлера [2], 





, , ;

F a b c x

 

–

 

гипергеометрическая функция Гауса [2]; 

, ,

a b l

-

действительные числа; 

n

-

целая част 

l

. 

Задача 1. Найти функцию 

 

,

u x y

 

обладающую следующими свойствами:

 

1) 

 

 

,

(

)

u x y

C

C

AB





 

 

, 





1

1

0

,0 [ (1

)]

q

y

u

q

x

x

dx







 



; 

2

(

2)

m m







 

2) 

 

,

u x y

 

регулярное решение уравнения (1) в области 



; 

3) 

 

,

u x y

 

удовлетворяет условиям

 

( , 0)

( ),

u x

x





 

x

AB



, (4) 





2

1

1

0 ;

( )

( )

( ,0)

( )

l

y

x x

D

u

x

a x u x

b x







, 

x

AB



, (5) 

«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»

 

 

167 

 

 

где 

l

 

–

 

действительные  число; 

( )

x



, 

1

( )

a x

, 

1

( )

b x

 

известные  функции; 

( )

x



 

–

 

аффикс  точки 

пересечения характеристики уравнения (1) выходящей из точки 

( , 0)

x

AB



 

с характеристикой 

AC

. 

Имеет места следующая

 

Теорема.

 

Пусть 

1

2

l



 

, 

 

1

1

1

( ), ( )

a x b x

C

AB



, 

 

2

( )

[

]

x

C AB

C

AB







.  Тогда 

существует единственные решение задачи 1.

 

Доказательства.

 

Известно, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области 



 

с данными на отрезке 

AB 

представимо виде [3]

 









 



 















 



 















1

1

1

1

1

2

,

2

, 1

,

,

2

2

, 1

, 1

,

2

t

t

t t

u

F

dt

t

t t

t

t

t t

F

dt

t

t t



























 







 





 

 

 



















 

 



























































































 

(6) 

 

где 

 

 

 

 

 

 

,

2

,

,

2

1

1

1

1

1

















































q

q

qt

t

qt

t









2

2

1 2

1

4

2

2

1

m











 





 













 

 

   

 

   

 

2

2

,0

0,1

0,1 ,

,0

(0,1),

y

x

u x

C

C

x

u

x

C















 

причем 

 

x



 

на  концах 

AB 

может обращаться в бесконечность порядке ниже 



 



.

2

1

/

2

1









 

Решение  подставленной  задачи  ищем  в  виде  (6), 

 

x



 

–

 

заданная  в  (4)  функция, 

 

x



 

–

 

неизвестная 

функция, которая подлежит определению. Функция (6) удовлетворяет условию (4). Потребуем, что она удовлетворяла 

и условию (5).

 

 

Пользуясь формулой (6), находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

3

,

2

2

2

2

2

2

0

1

0

2

1

1

,

2

2

2

2

2

2

2

0

2

1

q

q

x

q

q

q

x

q

u

x

x

F

x

x

x

x

F

x

x

x

   

 

 

   

 

 

















 

 

 

 





 











 



































 (7) 

 

Подставляя (7) в краевое условие (5), после несложных преобразования имеем

 

 

1 1

2 2

1

1

( )

( )

( ) ( )

( )

J x

J x

a x

x

b x













, 

x

AB



, (8) 

где

 

 

2

1

2

3

2

,

2

2

2

2

1

0

0 ;

( )

l

x

x x

J x

D

x

F

x

x

x

   

 

 







 

 

 



















, (9) 

 

2

1

1

,

2

2

2

2

2

0

0 ;

( )

1

l

x

x x

J x

D

x

F

x

x

x

 

 

 

 





 





 





















, (10) 

Равенств (9) и (10) можно переписать в виде

 

 

 

 

 

1

2

3

2

,

2

2

2

2

1

0 ;

0

l

x x

x

J

x

D

x

F

x

x

x

   

 

 







 

 

 



















, (11) 

168 

«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

,

2

2

2

2

2

0 ;

0

1

l

x x

x

J

x

D

x

F

x

x

x

 

 

 

 





 





 





















. (12) 

Для вычисления выражении (11) и (12) воспользуемся преобразованием Меллина [4]

 





1

0

( ),

( )

s

M f x s

x

f x dx









. (13) 

Легко показать, что

 





0 ;

1

( ),

(

)

1

l

x x

l

s

M D

x s

s

l

s







 





 













, 

1

s

l

 

 (14) 

 

 

0

,

1

2 , 1

2

;

2

(2

)

1

2 , 1 2

,

b

x

a

b

c

l

s

a

s

M

x

F

x s

s

c

b

a

b

s

s

c

x

















  

 







  

 













  



















, (15) 

где 

2

1

, 1

s

c

b

a

  



. Тогда учитывая (14) и (15) из (12), находим

 

 





1

2

2

3

,

,

4

4

4

;

2

2

1

2

1

1

1

,

,

,

4

4

2

l

s

l

s

l

s

M J

x

s

s

l

s

l

s

l

s



 

 

 









 

 





 

 

 

























 

 

 









 

2

2

2

2

s

l

 





 



















; 

 

 

1

2

( )

x

x

x

 





 



. (16) 

В силу формулы 

[4] 

1

2

1

2

,

,...,

;

,

,...,

p

m n

p q

q

a a

a

M G

z

s

b b

b











 

























 

1

2

1

2

1

2

1

1

,

,...,

,1

,1

,...,1

,

,...,

,1

,1

,...,1

m

n

n

b

p

m

m

q

s

b s

b

s

b

a

s

a

s

a

s

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s















 













  

















 





, (17) 

0

min Re

1 Re

,

,

(

)

n

k

j

j

j

j

b

s

a

m

n

p

a

b





  

 





 

и

 

*

*

1

2

1

2

0

( )

;

( )

( )

x

dt

M

K

K t

s

K s K s

t

t







 







 

 







 (18) 

Из (16) имеем

 

 

 

2

4

2

0

2

x

l

J

x

y

y

 



















 

0,4

4,4

4

2

3

1

,

,

,

,

4

4

4

4

3 2

1 2

1

0,

,

,

4

4

2

l

l

l

x

G

dy

y

l

l

l

 

 

 

 





 

 

 

 











































. (19) 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»

 

 

169 

 

 

Применяя к выражению (19) формулы симметрии и сдвига

 

 

 

 

 

 

1

1

1

q

p

q

p

b

a

mn

n m

pq

q p

b

a

G

z

G

z























, (20) 

 

 

 

 

 





p

p

q

q

a

a

mn

mn

pq

pq

b

b

z G

z

G

z













, (21) 

получим

 

 

 

2

4

2

0

2

x

l

J

x

y

y

 



















 

4,0

4,4

1 2

3 2

1

1

,

,

,

2

2

2

2

1 4

3 4

,

,

,

4

4

4

4

l

y

G

dy

x





 

 



























 

















. (22) 

Аналогично вычисляется

 

 

 

2

1

2

4

1

0

2

x

J

x

y

y

















 

5,0

5,5

1

1 2

3 2

1,

,

,

,

2

2

4

4

2

1

3 4

1

,

,

,

,

4

4

4

4

y

G

dy

x

l

 

 





 

 

 





 





















 

 

















. (23) 

Подставляя (22) и (23) в (6) получим

 

интегральный уравнений Вольтера второго рода

 

0

( )

( , ) ( )

( )

x

x

R x y

y dy

x







 



, 

x

AB



 (24) 

где

 

1 2

2

2

2

4,0

2

2

4,4

2

1

1 2

3 2

1

1

,

,

,

2

2

2

2

( , )

2

1 4

3 4

( )

,

,

,

4

4

4

4

l

l

y

R x y

x

y

G

dy

a x

x











 

 



































 

















, (26) 

 

2

1

2

2

2

2

0

1

2

( )

( )

x

l

x

x

y

y

a x























 

2

5,0

1

5,5

2

1

1

1 2

3 2

1,

,

,

,

( )

2

2

4

4

2

1

3 4

( )

1

,

,

,

,

4

4

4

4

y

b x

G

dy

a x

x

l

 

 





 

 

 





 























 

 

















 (27) 

В силу условия теоремы нетрудно показать, что

 

1

2

2

2

3

( , )

(

)

l

R x y

x

x

y









 





, 

3

const





 (28) 

2

1

2

2

4

( )

l

x

x







 





, 

4

const





. (29) 

Из  теории  интегральных  уравнений  Вольтерра  [5]  следует,  что  интегральные  уравнения  (24)  однозначно 

разрешима. Следовательно задача 1 однозначно

 

разрешима.

 

Аналогично исследуется

 

Задача 2. Определить функцию 

 

,

u x y

 

со следующими свойствами:

 

170 

«Проблеми та перспективи розвитку науки на початку третього тисячоліття у країнах Європи та Азії»

 

 

 

 

1) 

 

,

( )

u x y

C D



; 

2) 

 

,

u x y

 

регулярное решение уравнения (1) в области 

D

; 

3) 

 

,

u x y

 

удовлетворяет условиям

 

 

,0

( )

y

u

x

x





, 

x

AB



 

 





2

2

2

1

2

2

2

2

0 ;

(

)

( )

( )

( ,0)

( )

q

l

q

y

x x

D

x

u

x

a x u

x

b x











, 

x

AB



 

где 

( )

x



, 

2

( )

a x

 

и 

2

( )

b x

 

–

 

заданные функции, 

l

 

–

 

действительной число.

 

 

жүктеу/скачать 8,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: