Вопросы и задачи
-3. Радиус-вектор частицы М относительно неподвижной точки О меняется со временем по закону r
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.3. Вопросы и задачи
| 1-3. Радиус-вектор частицы М относительно неподвижной точки О меняется со временем по закону r = Asinωt +Bcosωt, А и В – постоянные векторы, причем А ┴ В; ω – положительная постоянная. Найти ускорение а частицы и уравнение ее траектории y(x), взяв оси X и Y совпадающими по направлению с векторами А и В соответственно и имеющими начало в точке О.
Решение: Продифференцировав r по времени дважды, получим: т.е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропорционален расстоянию частицы до этой точки. Найдем теперь уравнение траектории. Спроецировав r на оси X и Y, получим: откуда Это уравнение эллипса с полуосями А и В соответственно. 1-4. Частице в момент времени t = 0 сообщили скорость v0, после чего ее скорость стала меняться со временем t по закону v = v0(1 – t/τ), где τ – положительная постоянная. Найти за первые t секунд движения: 1) вектор перемещения ∆r частицы; 2) пройденный ею путь s. Решение: Так как dr = vdt = v0(1 – t/τ)dt, то после интегрирования по времени от 0 до t, получим: ∆r = v0t(1 – t/2τ). Путь s, пройденный частицей за время t, равен где v – модуль вектора v. В соответствии с условиями задачи Отсюда следует, что при t > τ интервал интегрирования необходимо разбить на две части: от 0 до τ и от τ до t. Интегрирование приводит к следующим результатам: 1-5. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей остановки В с ускорением, изменяющимся по закону a = a0 –bs, где a0 и b – положительные постоянные, s - расстояние от остановки А до трамвая. Найти расстояние между этими остановками и максимальную скорость трамвая. Решение: Найдем сначала зависимость скорости от расстояния s. По определению dv = adt. С другой стороны, можно записать, что dt = ds/v, откуда vdv = (a0-bs)ds. Проинтегрировав это выражение (от 0 до v слева и от 0 до s справа), получим Отсюда видно, что расстояние между остановками, т.е. значение s0, при котором v = 0, есть s0 = 2a0/b. Максимальную скорость найдем из условия dv/ds = 0, из которого следует, что при sm = a0/b. 1.3. Вопросы и задачи 1.01. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте A. Через τ = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии l = 6 км ниже пункта A. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал одинаково. 1.02. Точка прошла половину пути со скоростью v0. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v1, а последний участок – со скоростью v2. Найти среднюю за все время движения скорость точки. жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|