Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

3.  сложение и умножение  числовых неравенств
21
П р и м е р    2   
 Докажите, что  24
47
12
+
<
.
Р е ш е н и е. Поскольку  24
5
<  и  47 7
< ,  то 
24
47
5 7 12
+
< + =
.
◄
1.  сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.
2.  Поясните, какие неравенства называют неравенствами одного знака, 
а какие — неравенствами противоположных знаков.
3.  сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств.
4. сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении нера-
венств.
Упражнения
3.1.°
 Запишите неравенство, которое получим, если:
1)  сложим почленно неравенства 10 > –6 и 8 > 5;
2)  умножим почленно неравенства 2 < 7 и 3 < 4;
3)  умножим почленно неравенства 1,2 > 0,9 и  5
1
3
> .
3.2.°
 Запишите неравенство, которое получим, если:
1)  сложим почленно неравенства –9 < –4 и –6 < 4;
2)  умножим почленно неравенства 
1
6
1
3
<  и 24 < 27.
3.3.° Дано: –3 < a < 4. Оцените значение выражения:
1) 2a; 
3) a + 2; 
5) 3a + 1; 
7) –4a;
2) 
a
3
;  
4) a – 1; 
6) –a; 
8) –5a + 3.
3.4.°
 Дано: 2 < b < 6. Оцените значение выражения:
1) 
1
2
b;  
2) b – 6; 
3) 2b + 5; 
4) 4 – b.
3.5.° Известно, что  2 6
7
2 7
,
, .
<
<
 Оцените значение выражения:
1)  3 7;  
2) 
−2 7;  
3)  7 1 3
+ , ;  
4)  0 1 7 0 3
,
, .
+
3.6.° Дано: 5 < a < 6 и 4 < b < 7. Оцените значение выражения:
1) a + b; 
2) ab; 
3) a – b.

§ 1.  НераВеНстВа
22
3.7.°
 Известно, что 2 2
5
2 3
,
,
<
<
 и 1 7
3 1 8
,
, .
<
<
 Оцените значение 
выражения:
1)  5
3
+
;  
2)  5
3
−
;  
3)  15.
3.8.° Дано: 2 < x < 4. Оцените значение выражения 
1
x
.
3.9.° Оцените среднее арифметическое значений a и b, если известно, 
что 2,5 < a < 2,6 и 3,1 < b < 3,2.
3.10.° Оцените периметр равнобедренного треугольника с основа-
нием a см и боковой стороной b см, если 10 < a < 14 и 12 < b < 18.
3.11.°
 Оцените периметр параллелограмма со сторонами a см и b см, 
если 15
19
m m
a
 и  6
11
m m
b
.
3.12.
•
 Верно ли утверждение:
1) если a > 2 и b > 7, то a + b > 9;
2) если a > 2 и b > 7, то a + b > 8;
3) если a > 2 и b > 7, то a + b > 9,2;
4) если a > 2 и b > 7, то a – b > –5;
5) если a > 2 и b > 7, то b – a > 5;
6) если a > 2 и b > 7, то ab > 13;
7) если a > 2 и b > 7, то 3a + 2b > 20;
8) если a > 2 и b < –7, то a – b > 9;
9) если a < 2 и b < 7, то ab < 14;
10) если a > 2, то a
2
 > 4;
11) если a < 2, то a
2
 < 4;
12) если a > 2, то 
1
1
2
a
< ;
13) если a < 2, то 
1
1
2
a
> ;
14) если –3 < a < 3, то 
− < <
1
3
1
1
3
a
?
3.13.
•
 Дано: a > 2,4 и b > 1,6. Сравните:
1)  a
b
+
3
4
 и 3,6; 
3) (a – 0,4) (b + 1,4) и 6.
2) (a + b)
2
 и 16;
3.14.
•
 Известно, что a > 3 и b > –2. Докажите, что 5a + 4b > 7.
3.15.
•
 Известно, что a > 5 и b < 2. Докажите, что 6a – 7b > 16.
3.16.
•
 Дано: 5 < a < 8 и 3 < b < 6. Оцените значение выражения:
1) 4a + 3b; 
2) 3a – 6b; 
3) 
a
b
;  
4) 
2
3
b
a
.

3.  сложение и умножение  числовых неравенств
23
3.17.
•
 Дано: 
1
3
1
2
< <
x
 и 
1
7
1
4
< <
y
.  Оцените значение выражения:
1) 6x + 14y; 
2) 28y – 12x; 
3) 
y
x
.
3.18.
•
 Сравните значения выражений:
1) 2
24
 и 9
8
; 
2) 0,3
20
 и 0,1
10
; 
3) 0,0015
10
 и 0,2
40
.
3.19.
•
 Докажите, что периметр четырехугольника больше суммы 
его диагоналей.
3.20.
•
 Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырехуголь-
ника меньше его полупериметра.
3.21.
•
 Докажите, что сумма двух противолежащих сторон выпуклого 
четырехугольника меньше суммы его диагоналей.
3.22.
•
 Докажите утверждение:
1) если a < b < 0, то a
2
 > b
2
;
2) если a > 0, b > 0 и a
2
 > b
2
, то a > b.
3.23.
•
 Докажите, что если a < b < 0, то 
1
1
a
b
> .
3.24.
•
  Известно,  что  b > 0  и  a > b.  Является  ли  верным  при  всех 
указанных значениях a и b неравенство:
1) a
2
 + a > b
2
 + b; 
3) 2 – a
2
 < 2 – b
2
;
2) a
2
 – a > b
2
 – b; 
4)  a
b
a
b
+ > +
1
1
?
3.25.
••
 Докажите, что:
1)  27
65 13
+
> ;  
3)  65
35
2
−
> ;
2)  14
15
8
+
< ;  
4)  99
82 1
−
< .
3.26.
••
 
Докажите, что:
1)  55
35
120
+
>
;  
2)  119
67
3
−
< .
3.27.
••
 Сравните:
1)  10
6
+
 и  11
5
+
;  
3)  15
5
−
 и  2;
2)  2
11
+
 и  5
10
+
;  
4)  21
20
+
 и 9.
3.28.
••
 
Сравните:
1)  6
3
+
 и  7
2
+
;  
2)  26
2
−
 и  14.
Упражнения Для пОвтОрения
3.29. Упростите выражение:
1) 
x
x
x
x
x
−
+
−
+




3
3
3
2
æ
;  
2) 
a b
a b
a b
a b
ab
a
b
+
−
−
+
−
−



 :
.
2
2

§ 1.  НераВеНстВа
24
3.30. Упростите выражение:
1)  6 3
27 3 75
+
−
;    
3)  2
3
2
−
(
)
.
 2) 
50 3 2
2
−
(
)
;  
3.31. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) 
x
x
2
4
+
;  
2) 
x
x
−
−
4
4
2
;  
3) 
x
x
2
2
4
4
−
+
;  
4) 
4
4
1
x
x
−
+ ?
3.32.  В  саду  растут  яблони  и  вишни,  причем  вишни  составляют 
20 % всех деревьев. Сколько процентов составляет количество 
яблонь от количества вишен?
гОтОвимся к изУЧению нОвОй темы
3.33. Равносильны ли уравнения:
1) 4x + 6 = 2x – 3 и 4x + 3 = 2x – 6;
2) 8x – 4 = 0 и 2x – 1 = 0;
3) x
2
 + 2x – 3 = 0 и x
2
 + x = 3 – x;
4) 
x
x
2
1
1
0
−
+
=  и x
2
 – 1 = 0;
5) 
x
x
2
1
1
0
−
+
=  и x – 1 = 0;
6) x
2
 + 1 = 0 и 0x = 5?
УЧимся Делать нестанДартные шаги
3.34. Докажите, что для нечетных чисел a, b, c, d, e и f не может 
выполняться равенство 
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
d
e
f
+ + + + + = .
О  некоторых  способах  доказательства 
неравенств
В п. 1 было доказано несколько неравенств. Мы использовали 
такой прием: рассматривали разность левой и правой частей не-
равенства и сравнивали ее с нулем.
Однако  существует  и  ряд  других  способов  доказательства  не-
равенств. Ознакомимся с некоторыми из них.

25
О некоторых способах доказательства неравенств
рассуждения «от противного»
Название этого метода отражает его суть.
П р и м е р    1   
 Для любых чисел a
1
, a
2
, b
1
, b
2
 докажите неравенство
 
(
)
.
a b
a b
a
a
b
b
1 1
2 2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
+
+
(
)
+
(
)
m
 
(*)
Р е ш е н и е.  Предположим,  что  доказываемое  неравенство  не-
верно. Тогда найдутся такие числа a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, что будет верным 
неравенство
(
)
.
a b
a b
a
a
b
b
1 1
2 2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
+
>
+
(
)
+
(
)
Отсюда
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
1
2
1
2
1 1 2 2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
+
+
>
+
+
+
;
2
1 1 2 2
1
2
2
2
2
2
1
2
a b a b
a b
a b
>
+
;
a b
a b a b
a b
1
2
2
2
1 1 2 2
2
2
1
2
2
0
−
+
< ;
(a
1
b
2
 – a
2
b
1
)
2
 < 0.
Последнее неравенство неверно. Полученное противоречие озна-
чает, что неравенство (*) верно. 
◄
Неравенство  (*)  является  частным  случаем  более  общего  не-
равенства
 
(
...
)
...
...
.
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
n n
n
n
1 1
2 2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
(
)
+
+
+
(
)
m
  (**)
Неравенство (**) называют неравенством Коши—Буняковского. 
С его доказательством вы можете ознакомиться на занятиях мате-
матического кружка.
метод использования очевидных неравенств
П р и м е р    2   
 Для любых чисел a, b и c докажите неравенство
a
b
c
ab bc ac
2
2
2
+
+
+
+
l
.
Огюстен Луи Коши 
(1789–1857)
Выдающийся французский математик,  
автор более 800 научных трудов.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: