Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

7.  Повторение и расширение сведений  о функции
63
7.7.°
 На рисунке 7.2 изображен график функции y = f (x), опреде-
ленной на промежутке [–4; 4]. Пользуясь графиком, найдите:
1)  f (–4); f (–1); f (1); f (2,5);
2)  значения x, при которых f (x) = –1; f (x) = 0; f (x) = 2;
3)  область значений функции.
7.8.° Найдите область определения функции:
1) f (x) = 7x – 15; 
5)  f x
x
( )
;
=
−
1
1
2)  f x
x
( )
;
=
+
8
5
 
6)  f x
x
( )
;
=
−
10
4
2
3)  f x
x
( )
;
=
− 10
6
 
7)  f x
x
x
x
( )
;
=
+
−
6
11
2
2
4)  f x
x
( )
;
=
− 9  
8)  f x
x
x
( )
.
=
+ +
−
6
4
7.9.°
 Найдите область определения функции:
1)  f x
x
x
( )
;
=
+
−
3
4
 
4)  f x
x
x
( )
;
=
− +
−
1
3
2)  f x
x
( )
;
=
+
9
16
2
 
5)  f x
x
x
( )
;
=
− +
−
5
5
3)  f x
x
x
x
( )
;
=
+
−
+
5
1
6
8
2
 
6)  f x
x
( )
.
=
+
2
1
7.10.° Постройте график функции:
1) f (x) = –2x + 3; 
3) f (x) = 3;
2)  f x
x
( )
;
= −
1
4
 
4)  f x
x
( )
.
= −
6
7.11.°
 Постройте график функции:
1)  f x
x
( )
;
= −
4
1
3
 
2)  f x
x
( )
.
=
8
7.12.° Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями 
координат графика функции:
1)  f x
x
( )
;
=
−
1
6
7  
3) g (x) = 9 – x
2
;
2)  f x
x
x
( )
;
=
+
−
20 4
3
5
 
4) 
ϕ ( )
.
x
x
x
=
+
−
2
2
3
7.13.°
 Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями 
координат графика функции:
1) h (x) = 9 – 10x; 
3)  s x
x
x
( )
.
=
−
+
2
2
2
2
2) p (x) = 4x
2
 + x – 3; 

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
64
7.14.
•
 Дана функция  f x
x
x
x
x
x
( )
,
,
,
,
,
.
=
−
−
−
− < <





3
1
1
5
1
4
11
4
2
если
если
если
m
l
Найдите: 1) f (–3); 2) f (–1); 3) f (2); 4) f (6,4).
7.15.
•
 Постройте график функции  f x
x
x
x
x
x
( )
,
,
,
,
,
.
=
−
− < <





6
3
3
1
1
2
если
если
если
m
l
7.16.
•
 Постройте график функции  f x
x
x
x
x
x
x
( )
,
,
,
,
,
.
=
−
< −
−
−
>







4
2
2
0
0
если
если
если
m m
7.17.
•
 Найдите область определения функции:
1)  f x
x
x
x
( )
;
=
− +
+
−
2
2
5
 
3)  f x
x
x
( )
;
=
+ +
−
3
1
9
2
2)  f x
x
x
( )
;
=
− 7
 
4)  f x
x
x
x
x
x
( )
.
=
+
−
+
−
−
+
4
2
4
3
7
6
2
7.18.
•
 Найдите область определения функции:
1)  f x
x
x
( )
;
=
+ +
+
4
2
1
 
2)  f x
x
x
x
( )
.
=
− +
−
8
4
8
2
7.19.
•
 Найдите область значений функции:
1)  f x
x
( )
;
=
− 1  
4) f (x) = | x | + 2; 
2) f (x) = 5 – x
2
; 
5)  f x
x
( )
;
= −
2
 
3) f (x) = –7;  
6)  f x
x
x
( )
.
=
− +
−
2
2
7.20.
•
 Найдите область значений функции:
1) f (x) = x
2
 + 3; 
2)  f x
x
( )
;
= −
6
 
3)  f x
x
x
( )
.
=
æ
7.21.
•
 Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью опреде-
ления которой является:
1)  множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;
2) множество всех чисел, которые не меньше 5;
3) множество всех чисел, которые не больше 10, кроме числа –1;
4) множество, состоящее из одного числа –4.
7.22.
••
 Найдите область определения функции и постройте ее график:
1)  f x
x
x
( )
;
=
−
+
2
16
4
 
2)  f x
x
x
x
( )
;
=
−
−
12
72
6
2
 
3)  f x
x
x
( )
.
=
−
−
2
2
9
9

65
из истории развития понятия функции
7.23.
••
 
Найдите область определения функции и постройте ее график:
1)  f x
x
x
x
( )
;
=
+
+
+
2
4
4
2
 
2)  f x
x
x
( )
.
=
3
Упражнения Для пОвтОрения
7.24. Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) x
2
 – x – 12; 
3) 6x
2
 + 11x – 2;
2) –x
2
 + 2x + 35; 
4) 
2
3
2
3
6
x
x
+
− .
7.25. Вычислите значение выражения:
1)  (
)
;
10
10
3 2
8
æ
−
     2) 
25
5
5
3
3
5
−
−
æ
;      3) 
81
3
9
2
5
2
−
−
æ
;      4) 
0 125
32
0 5
3
2
2
,
,
.
æ
−
7.26. Цена двух шкафов была одинаковой. Цену первого шкафа сна-
чала повысили на 20 %, а потом снизили на 10 %. Цену второго 
шкафа, наоборот, сначала снизили на 10 %, а потом повысили 
на 20 %. Какой из шкафов теперь стоит больше?
7.27. Расстояние между городами A и B составляет 120 км. Через 
2 ч после выезда из города A грузовой автомобиль задержался 
у железнодорожного переезда на 6 мин. Чтобы прибыть в город B 
в  запланированное  время,  он  увеличил  скорость  на  12  км/ч. 
С какой скоростью двигался автомобиль после задержки?
УЧимся Делать нестанДартные шаги
7.28. Натуральное число n имеет ровно 100 различных натуральных 
делителей (включая 1 и n). Найдите их произведение.
из  истории  развития  понятия  функции 
Определение функции, которым вы пользуетесь на данном этапе 
изучения математики, появилось сравнительно недавно — в первой 
половине ХІХ в. Оно формировалось более 200 лет под влиянием 
бурных споров выдающихся математиков нескольких поколений.
Исследованием  функциональных  зависимостей  между  величи-
нами начали заниматься еще ученые древности. Этот поиск нашел 
отражение в открытии формул для вычисления площадей и объемов 
некоторых фигур. Примерами табличного задания функций могут слу-
жить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и арабов.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
66
Пьер Ферма́
(1601–1665)
Рене Декарт
(1596–1650)
Однако лишь в первой половине ХVІІ в. своим открытием ме-
тода координат выдающиеся французские математики Пьер Ферма
́ 
 
и Рене Декарт заложили основы для возникновения понятия функ-
ции. В своих работах они исследовали изменение ординаты точки 
в зависимости от изменения ее абсциссы.
Важную роль в формировании понятия функции сыграли работы 
великого английского ученого Исаака 
Ньютона. Под функцией он понимал 
величину, которая изменяет свое зна-
чение с течением времени.
Термин    «функция»    (от    латин. 
functio — совершение,  выполнение) 
ввел  немецкий  математик  Готфрид 
Вильгельм Лейбниц. Он и его ученик, 
швейцарский  математик  Иоганн  Бер-
нулли,  под  функцией  понимали  фор-
мулу, связывающую одну переменную 
с  другой,  то  есть  они  отождествляли 
функцию с одним из способов ее задания.
Дальнейшему  развитию  понятия 
функции во многом способствовало вы-
яснение истины в многолетнем споре 
выдающихся  математиков  Леонарда 
Эйлера  и  Жана  Лерона  д’Аламбера, 
Исаак Ньютон
(1643–1727)

67
из истории развития понятия функции
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646–1716)
Иоганн Бернулли
(1667–1748)
одним из предметов которого было выяснение сути этого понятия. 
В  результате  был  сформирован  более  общий  взгляд  на  функцию 
как зависимость одной переменной величины от другой, в котором 
это понятие жестко не связывалось со способом задания функции.
Леонард Эйлер
(1707–1783)
Жан Лерон д’Аламбер
(1717–1783)

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: