Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

109
О некоторых преобразованиях  графиков функций
О  некоторых  преобразованиях   
графиков  функций
как построить график функции 
y
 = 
f
 (–
x
), 
если известен график функции 
y
 = 
f
 (
x
)
Заметим, что если точка (x
0
; y
0
) принадлежит графику функции 
y = f (x), то точка (–x
0
; y
0
) принадлежит графику функции y = f (–x). 
Действительно, f (–(–x
0
)) = f (x
0
) = y
0
.
Поэтому все точки графика функции y = f (–x) можно получить, 
заменив каждую точку графика функции y = f (x) на точку с такой 
же ординатой и противоположной абсциссой.
1
На рисунке 11.10 показано, как с помощью графика функции 
y
x
=
 построен график функции  y
x
= − .
x
y
0
1
1
y =
x
−
x
y =
Рис. 11.10
Упражнения
1.  Используя  график  функции  y = f (x),  изображенный  на  рисун-
ке 11.11, постройте график функции y = f (–x).
0
2
1
1
x
y
–2
–2
0
1
x
y
1
–2
2
–1
0
x
y
1
1
–2
3
–3
а
б
в
Рис. 11.11
1
  На уроках геометрии вы узнаете, что описанное преобразование гра-
фика функции y = f (x) называют осевой симметрией.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
110
2.
 Постройте график функции  y
x
=
− 2.  Используя полученный 
график, постройте график функции  y
x
= − − 2.
как построить график функции 
y
 = 
f
 (| 
x 
|), 
если известен график функции 
y
 = 
f
 (
x
)
Воспользовавшись определением модуля, запишем:
y = f (|
 
x
 
|) = 
y f x
f x
x
f
x
x
=
=
−
<



(
)
( ),
,
(
),
.
если
если
l 0
0
 
Отсюда делаем вывод, что график функции y = f (|
 
x
 
|)  при  x l 0  
совпадает с графиком функции y = f (x), а при x < 0 — с графиком 
функции y = f (–x).
Тогда построение графика функции y = f (|
 
x
 
|) можно проводить 
по такой схеме:
1) построить ту часть графика функции y = f (x), все точки кото-
рой имеют неотрицательные абсциссы;
2) построить ту часть графика функции y = f (–x), все точки ко-
торой имеют отрицательные абсциссы.
Объединение  этих  двух  частей  и  составит  график  функции 
y = f (|
 
x
 
|).
На рисунке 11.12 показано, как с помощью графика функции 
y = (x – 2)
2
 построен график функции y = (|
 
x
 
| – 2)
2
.
0
x
y
1
1
4
2
–2
Рис. 11.12
Упражнения
1.  Используя  график  функции  y = f (x),  изображенный  на  рисун-
ке 11.11, постройте график функции y = f (|
 
x
 
|).
2. Используя график функции y = x + 2, постройте график функции 
y = |
 
x
 
| + 2.

111
О некоторых преобразованиях  графиков функций
3. Постройте график функции:
1) y = |
 
x
 
| – 3; 
5) y = 
4
|
|
;
x
2) y = x
2
 – 4 | x |; 
6)  y
x
=
−
4
2;
3) y = x
2
 + 2 | x | – 3; 
7)  y
x
=
−
4
2
;
4) y = 2 | x | – x
2
; 
8)  y
x
=
.
как построить график функции 
y
 = | 
f
 (
x
) |, 
если известен график функции 
y
 = 
f
 (
x
)
Для функции y = | f (x) | можно записать:
y
f x
f x
f x
f x
f x
=
=
−
<



( )
( ),
( )
,
( ),
( )
.
если
если
l 0
0
Отсюда следует, что график функции y = | f (x) | при всех x, для 
которых  f x
( )
,
l 0   совпадает  с  графиком  функции  y = f (x),  а  при 
всех x, для которых f (x) < 0, — с графиком функции y = –f (x).
Тогда построение графика функции y = | f (x) | можно проводить 
по такой схеме:
1) все точки графика функции y = f (x) с неотри цательными ор-
динатами оставить без изменений;
2) точки с отрицательными ординатами заменить на точки с теми 
же абсциссами, но с противоположными ординатами.
На рисунке 11.13 показано, как с помощью графика функции 
y = x
2
 – x – 2 построен график функции y = | x
2
 – x – 2 |.
x
y
0 1
1
Рис. 11.13

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
112
П р и м е р    1   
 Постройте график функции  y
x
=
+ −
1 2 .
Р е ш е н и е.  Построение  искомого  графика  можно  провести  по 
такой схеме:
y
x
y
x
y
x
y
x
=
+ →
→
→
=
+
=
+ −
=
+ −
1
1
1 2
1 2
 
(рис. 11.14). 
◄
x
y
0
1
1
x + 1
y =
а
x
y
0
1
1
x 
 
+
 
1
y =
|
|
б
x
y
0
x 
 
+
 
1
y =
|
|
x 
 
+
 
1
 
–
 
2
y =
|
|
–1
3
–3
в
1
x
y
0
3
–3
x 
 
+
 
1
 
–
 
2
y =
|
|
г
Рис. 11.14

113
О некоторых преобразованиях  графиков функций
П р и м е р    2   
 Постройте график функции  y
x
=
+
−
1
1 .
Р е ш е н и е.  Построение  искомого  графика  можно  провести  по 
такой схеме:
y
x
y
x
y
x
y
x
=
→
→
→
=
+
=
+
−
=
+
−
1
1
1
1
1
 
(рис. 11.15). 
◄
x
y
0
1
1
y
x
=
а
x
y
0
1
1
–1
y
x
=
1
y
x
=
+
б
x
y
1
–1
–1
–2
0
1
y
x
=
+
=
+
−
1
1
y
x
в
x
y
0 1
–2
1
1
1
y
x
=
+
−
г
Рис. 11.15

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
114
Упражнения
1.  Используя  график  функции  y = f (x),  изображенный  на  рисун-
ке 11.11, постройте график функции: 
1) y = | f (x) |;  
2) y = | f (| x |) |.
2. Используя график функции y = x + 2, постройте график функции 
y = | x + 2 |.
3. Постройте график функции:
1) y = | x – 3 |; 
4) y = | 2x – x
2
 |;
2) y = | x
2
 – 4x |; 
5)  y
x
=
−
4
2 ;
3) y = | x
2
 + 2x – 3 |; 
6)  y
x
=
−
4
2
.
4. Постройте график функции:
1) y = | | x | – 3 |; 
4) y = | 2 | x | – x
2
 |;
2) y = | x
2
 – 4 | x | |; 
5)  y
x
=
−
4
2 ;
3) y = | x
2
 + 2 | x | – 3 |; 
6)  y
x
=
−
4
2
.  
5. Постройте график функции:
1)  y
x
=
−
4
;  
4)  y
x
=
−
4
;
2)  y
x
= −
−
3
4
;  
5)  y
x
= −
−
3
4
;
3)  y
x
=
−
−
3
4
;  
6)  y
x
=
−
−
3
4
.

115
Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме
заДание № 2 «прОверьте себя» в тестОвОй фОрме
1. Чему равно значение функции f (x) = 2x
2
 – 1 в точке x
0
 = –3?
А) –19; 
В) 11;
Б) –13; 
Г) 17.
2. Среди приведенных функций укажите квадратичную.
А) y = 2x – 5;     
В) y = 2x
2
 – 5; 
Б)  y
x
=
−
2
5;  
Г)  y
x
=
−
2
2
5.
3.  Областью  определения  какой  из  функций  является  промежу-
ток  (
; )?
−
×
6
А)  y
x
=
+
6
;     
В)  y
x
=
+
1
6
;
Б)  y
x
=
−
1
6
;    
Г)  y
x
=
−
6
.
4. Как надо параллельно перенести график функции  y
x
=
7
,  чтобы 
получить график функции  y
x
=
−
7
5
?
А) На 5 единиц вверх вдоль оси ординат;
Б) на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс;
В) на 5 единиц вправо вдоль оси абсцисс;
Г) на 5 единиц вниз вдоль оси ординат.
5.
 График функции  y
x
=
 параллельно перенесли на 2 единицы 
влево и на 7 единиц вниз. График какой функции получили?
А)  y
x
=
+ −
2 7;  
В)  y
x
=
− +
2 7;
Б)  y
x
=
− −
2 7;  
Г)  y
x
=
+ +
2 7.
6. На каком из рисунков изображен график функции y = –x
2
 + 2?
0
1
x
y
1
–2
0 1
x
y
1
2
0
1
x
y
1
–2
0 1
x
y
1
2
А)
Б)
В)
Г)

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: