Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

11.  Квадратичная функция,  ее график и свойства
103
11.11.
•
  Постройте  график  функции  f (x) = 3x
2
 – 6x.  Используя  гра-
фик, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) при каких значениях x выполняется неравенство  f x
( )
.
l 0
11.12.
•
 Решите графически уравнение  x
x
x
2
3
1
3
−
− = − .
11.13.
•
 Решите графически уравнение  
−
+ + =
1
4
2
2
x
x
x.  
11.14.
•
  Постройте  в  одной  системе  координат  графики  функций 
y = f (x)  и  y = g (x)  и  определите  количество  корней  уравнения 
f (x) = g (x):
1) f (x) = –x
2
 + 6x – 7,  g x
x
( )
;
= −
2) f (x) = 4x – 2x
2
,  g x
x
( )
.
= −
4
11.15.
•
  Построив  в  одной  системе  координат  графики  функций 
y = x
2
 + 4x + 1 и  y
x
=
6
,  определите количество корней уравнения 
x
x
x
2
4
1
6
+
+ = .
11.16.
•
  Найдите  координаты  точки  параболы  y = –x
2
 + 9x + 9,  у  ко-
торой:
1) абсцисса и ордината равны;
2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.
11.17.
•
 Найдите координаты точки параболы y = 2x
2
 – 3x + 6, у которой 
ордината на 12 больше абсциссы.
11.18.
•
 Найдите область значений и промежутки возрастания и убы-
вания функции:
1) f (x) = 4x
2
 – 8x + 3; 
3) f (x) = 4 – 12x – 0,3x
2
;
2)  f x
x
x
( )
;
= −
+
−
1
5
2
2
6  
4) f (x) = 7x
2
 + 21x.
11.19.
•
 Найдите область значений и промежутки возрастания и убы-
вания функции:
1) f (x) = 2x
2
 – 12x + 8; 
2) f (x) = 9 + 8x – 0,2x
2
.
11.20.
•
  Постройте  график  данной  функции,  укажите  ее  область 
значений и промежутки возрастания и убывания:
y
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−
− < <
−





3
2
2
3
2
2
3
2
2
,
,
,
,
,
.
если
если
если
m
l

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
104
11.21.
•
  Постройте  график  данной  функции,  укажите  ее  область 
значений и промежутки возрастания и убывания:
y
x
x
x x
x
x
x
=
−
< <
−





,
,
,
,
,
.
если
если
если
m
l
0
4
0
5
10
5
2
11.22.
•
 Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, 
которая:
1) убывает на промежутке  (
; ]
−
×
1  и возрастает на промежутке 
[ ;
);
1
+
×
2) возрастает на промежутке (
;
]
−
−
×
2  и убывает на промежутке 
[ ;
).
− +
2
×
11.23.
•
 Найдите наименьшее значение функции y = 3x
2
 – 18x + 2 на 
промежутке:
1) [–1; 4]; 
2) [–4; 1]; 
3) [4; 5].
11.24.
•
 Найдите наибольшее значение функции y = –x
2
 – 8x + 10 на 
промежутке:
1) [–5; –3]; 
2) [–1; 0]; 
3) [–11; –10].
11.25.
•
  При  каких  значениях  p  и  q  график  функции  y = x
2
 + px + q 
проходит через точки M (–1; 4) и K (2; 10)?
11.26.
•
 При каких значениях a и b нулями функции y = ax
2
 + bx + 7 
являются числа –2 и 3?
11.27.
•
 При каких значениях a и b парабола y = ax
2
 + bx – 4 проходит 
через точки C (–3; 8) и D (1; 4)?
11.28.
•
 Пусть D — дискриминант квадратного трехчлена ax
2
 + bx + c. 
Изобразите  схематически  график  квадратичной  функции  y = 
= ax
2
 + bx + c, если:
1) a > 0, D > 0, c > 0, 
−
>
b
a
2
0;  
3) a < 0, D < 0, 
−
>
b
a
2
0;
2) a > 0, D = 0, 
−
<
b
a
2
0;  
4) a < 0, c = 0, 
−
<
b
a
2
0.
11.29.
•
 Пусть D — дискриминант квадратного трехчлена ax
2
 + bx + c. 
Изобразите  схематически  график  квадратичной  функции  y = 
= ax
2
 + bx + c, если:
1) a > 0, D < 0, 
−
<
b
a
2
0;  
 
2) a < 0, D > 0, c < 0, 
−
>
b
a
2
0;
3) a < 0, D = 0, 
−
<
b
a
2
0.

11.  Квадратичная функция,  ее график и свойства
105
11.30.
•
 При каком значении b промежуток  (
; ]
−
×
2  является про-
межутком возрастания функции y = –4x
2
 – bx + 5?
11.31.
•
 При каком значении b промежуток  (
;
]
−
−
×
3  является про-
межутком убывания функции y = 3x
2
 + bx – 8?
11.32.
•
 При каком значении a функция  y
ax
a
x
=
+
−
+
2
2
1
4
(
)
 явля-
ется квадратичной и ее график имеет с осью абсцисс одну общую 
точку?
11.33.
••
 При каких значениях a функция y = 0,5x
2
 – 3x + a принимает 
неотрицательные значения при всех действительных значени-
ях x?
11.34.
••
 
При каких значениях a функция y = –4x
2
 – 16x + a принимает 
отрицательные значения при всех действительных значениях x?
11.35.
••
  При  каком  значении  c  наибольшее  значение  функции 
y = –5x
2
 + 10x + c равно –3?
11.36.
••
 
При  каком  значении  c  наименьшее  значение  функции 
y = 0,6x
2
 – 6x + c равно –1?
11.37.
••
 На рисунке 11.5 изображен график квадратичной функции 
y = ax
2
 + bx + c. Определите знаки коэффициентов a, b и c.
0
x
y
0
x
y
0
y
x
0
x
y
а
б
а
б
Рис. 11.5
Рис. 11.6
11.38.
••
 
На рисунке 11.6 изображен график квадратичной функции 
y = ax
2
 + bx + c. Определите знаки коэффициентов a, b и c.
11.39.
••
 При каких значениях p и q вершиной параболы y = x
2
 + px + q 
является точка A (2; 5)?
11.40.
••
 
Парабола  y = ax
2
 + bx + c  имеет  вершину  в  точке  C (4;  –10) 
и проходит через точку D (1; –1). Найдите значения коэффици-
ентов a, b и c.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
106
11.41.
••
 Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой 
изображен на рисунке 11.7.
0 1
x
y
1
–4
5
0
1
x
y
1
5
–5
а
б
Рис. 11.7
11.42.
••
 
Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой 
изображен на рисунке 11.8.
0
1
x
y
1
–1
3
90°
B
A
13 êì 
Рис. 11.8
Рис. 11.9
11.43.
••
 Сумма двух чисел равна 10. Найдите:
1)  какое наибольшее значение может принимать произведение 
этих чисел;
2)  какое наименьшее значение может принимать сумма квадра-
тов этих чисел.
11.44.
••
 Из пункта B в пункт A, расстояние между которыми равно 
13 км, вышел турист со скоростью 6 км/ч. Одновременно с ним 
из пункта A в перпендикулярном направлении (рис. 11.9) вы-

11.  Квадратичная функция,  ее график и свойства
107
шел  со  скоростью  4  км/ч  другой  турист.  Через  какое  время 
после  начала  движения  расстояние  между  туристами  будет 
наименьшим?
11.45.
••
 
Участок земли прямоугольной формы надо огородить за-
бором длиной 160 м. Какую наибольшую площадь может иметь 
этот участок?
11.46.
••
 Постройте график функции:
1)  y
x
x
x
x
=
+
−
8
2
2
3
;  
3)  y
x
x
=
−
−
4
2
16
4
;
2)  y
x
x
=
−
−
−
3
8
2
3;  
4)  y
x
x
x
=
+
−
−
4
2
2
4
5
1
.
11.47.
••
 
Постройте график функции:
1)  y
x
x
=
+
+
(
)
;
3
3
3
 
3)  y
x
x
=
−
−
4
2
1
1
.
2)  y
x
x
x
x
=
−
+
3
2
6
8
;  
11.48.
••
 Постройте график функции:
1) y = x | x |; 
3) y = x
2
 – 4 | x | + 3;
2)  y
x
x
x
x
=
− −
(
);
2
6  
4)  y
x
x
x
x
=
+
−
−
−
2
3
4
3
3
æ
.
11.49.
••
 
Постройте график функции:
1) 
y
x
x
x
=
+
3
4 ;  
2) y = 6 | x | – x
2
.
11.50.
••
 Постройте график функции y = x
2
 + 2x – 3. Пользуясь постро-
енным графиком, установите, при каких значениях a уравнение 
x
2
 + 2x – 3 = a:
1) имеет два корня;   
2) имеет один корень;   
3) не имеет корней.
11.51.
••
 
Постройте график функции y = –x
2
 – 4x + 5. Пользуясь постро-
енным графиком, установите, сколько корней имеет уравнение  
–x
2
 – 4x + 5 = a в зависимости от значения a.
11.52.
*
  Пусть  x
1
  и  x
2
 — нули  функции  y = –3x
2
 – (3a – 2) x + 2a + 3. 
При  каких  значениях  a  выполняется  неравенство  x
1
 < –2 < x
2
?
11.53.
*
 Известно, что x
1
 и x
2
 — нули функции y = 2x
2
 – (3a – 1) x + a – 4, 
x
1
 < x
2
. При  каких значениях a число 1 принадлежит проме-
жутку [x
1
; x
2
]?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: