Закон для функционала. Например, 40) Где -дифференцируемая при функция. Например, 41) Тогда 42) Для обычной функции под приращением функции понимается
Лекция 4. Формализм Лагранжа. Принцип наименьшего действия
жүктеу/скачать 104,92 Kb.
|
28-38 бет
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение 1
- Определение 3 .
- Определение 5
- Определение 6
| Лекция 4. Формализм Лагранжа. Принцип наименьшего действия.
Механическая система степенями свободы. В прошлый раз мы получили уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы из принципа наименьшего действия. В этот раз рассмотрим систему с степени свободы. Она характеризуется обобщенными координатами . Пусть – функция Лагранжа данной системы. Будем считать, что в некоторый начальный момент времени координата частицы фиксирована (4.1) В некоторый конечный момент времени координата также фиксирована (4.2) Далее для упрощения будем обозначать функцию Лагранжа ) (вектор-функция) . Определение 1. Функционал (4.3) называется действием системы. Определение 2. Отображение заданного множества функций в множество действительных чисел называется функционалом. В нашем случае множество функций это (4.4) Кроме того, эти функции принимают заданные фиксированные величины на краях отрезка (4.5) (4.6) При это функции дважды непрерывно дифференцируемы . Итак, действие есть функционал, которое ставит в соответствие число некоторому набору функций (4.7) Определение 3. Функционал называется линейным, если выполняются следующие равенства 1. 2. Определение 4. Пусть – некоторая функция из области распределения рассматриваемого функционала. Рассмотрим функцию которая отличается от очень мало. Тогда разность (4.8) называется приращением функции. Для нашей системы эта запись эквивалентна (4.9) Можно получить, что (4.10) Определение 5. Приращением функционала называется разность (4.11) В нашем случае эта запись эквивалентна (учитываем, что речь идет о вектор-функции) (4.12) Определение 6. Пусть приращение функционала можно представить в виде суммы двух функционалов (4.13) где - линейный по функционал, а (4.14) Последнее равенство означает, что если (4.15) то (4.16) причем (4.17) Тогда линейная часть (4.18) называется вариацией функционала. Отметим, что в данном случае норму можно ввести как (4.19) Найдем вариацию . По определению (4.20) Здесь мы разложили подынтегральную функцию в ряд Тейлора. Отметим, что первый член разложения сокращается с последним членом в (4.20). Второй член разложения линеен по . Рассмотрим последний интеграл отдельно. Будем считать, что (4.21) Тогда (4.22) (4.23) Поэтому получаем, что линейная часть разложения и есть вариация функционала (4.24) Преобразуем (4.25) Отметим, что в точках и положение системы строго задано, поэтому (4.26) Итак, получаем (4.27) Замечание. В прошлый раз мы рассмотрели величину . Для задачи, где функционал имеет вид (4.28) Для такого функционала под производной можно понимать (4.29) А произведение (4.30) Заметим также, что под величиной в скобках понимают величину (4.31) Это градиент функционала. Замечание. Вариацию функционала мы определили как производную по параметру (4.32) Теорема. Пусть функционал достигает минимума на какой-то вектор-функции . Тогда удовлетворяет уравнению (4.33) Отметим, что данное условие является необходимым условием минимума функционала. жүктеу/скачать 104,92 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|