7 дәріс Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі. Негізгі ұғымдар және анықтамалар. Кронекер-Капелли теоремасы. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісi
жүктеу/скачать 60,02 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Кронекер-Капелли теоремасы.
|
№ 7 дәріс Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі. Негізгі ұғымдар және анықтамалар. Кронекер-Капелли теоремасы. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісi. Сызықтық теңдеулер жүйесiн қарастырайық: Мұнда – белгiсiздер, – белгiсiздердiң коэффициенттерi, – бос мүшелер, m – теңдеулер саны, n – белгiсiздер саны, жалпы жағдайда . элементтерi белгiсiздердiң коэффициенттерiнен құралған матрицаны берiлген теңдеулер жүйесiнiң матрицасы дейдi. Бағана матрицалар енгiзiп, оларды бегiсiздер матрицасы және бос мүшелер матрицасы деймiз. Осы матрицалар арқылы берiлген теңдеулер жүйесiн мына матрицалық түрде AX=B жазамыз. (1) теңдеулер жүйесiнiң шешiмi деп бағана матрицаны айтады, егер оның элементтерiн орнына қойғанда, теңдеулер тепе-теңдiкке айналса, немесе АС=В болса, яғни А матрицасын С матрицаға көбейткенде В матрицасы шығатын болса. Мысал. берiлсiн, матрицасы жүйенiң шешiмi болады, өйткенi. . Сонымен Анықтама. Егер (1) жүйенiң кемiнде бiр шешiмi болса, онда оны үйлесiмдi теңдеулер жүйесi деп, ал оның шешiмi жоқ болса – үйлесiмсiз деп атаймыз. Егер үйлесiмдi жүйенiң бiр ғана шешiмi болатын болса, онда оны анықталған, ал шешiмдерi шексiз көп болатын болса, онда анықталмаған теңдеулер жүйесi деп атаймыз. Егер теңдеулер жүйесiнiң шешiмдерi бiрдей болса, онда оларды мәндес (өзара пара-пар) жүйелер деймiз. Кейбiр жағдайларда (1) теңдеулер жүйесiнiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiз екендiгiн оны шешпей тұрып анықтау керек болады. Сондықтан (1) жүйеге зерттеу жүргiземiз. Мына матрицаны (1) жүйенiң кеңейтiлген матрицасы деп атайды. Ол негiзгi А матрицасына бос мүшелер тiк жолын жалғастырып жазу арқылы шығады. (1) жүйенiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiздiгiн зерттеуде нәтижесiн Кронекер-Капелли теоремасы бередi. Теореманы дәлелдеусiз келтiрейiк. Кронекер-Капелли теоремасы. Жалпы түрде берiлген (1) теңдеулер жүйесiнiң үйлесiмдi болуы үшiн оның негiзгi А және кеңейтiлген Ар матрицасының рангiлерi өзара тең болулары, яғни RA =RAp қажеттi және жеткiлiктi. Егер RA =RAp =r және n=r болса, онда жүйенiң бiр ғана шешiмi бар болады. Мұнда n белгiсiздер саны. болса, онда жүйе анықталмаған болады. Егер болса, онда (1) теңдеулер жүйесi үйлесiмсiз болады, өйткенi жүйенiң шешiмi бар болуының қажеттi шарты орындалмайды. Ендi теңдеулер жүйесiн шешудiң Гаусс тәсiлiн қарастырайық. Бұл тәсiл ең көп қолданылатын (1) жүйенi шешу тәсiлi. Гаусс тәсiлiн қолданғанда жүйенiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiз екендiгiн бiрден анықтаймыз және үйлесiмдi жүйенiң барлық шешулерiн таба аламыз. Екi үйлесiмдi жүйелердiң бiрiнiң шешiмi оның екiншiсiнiң шешiмi болса, немесе керiсiнше болса, онда ондай жүйелердi өзара мәндес жүйелер деймiз. Мына түрлендiрулер: Жүйенiң кез келген екi теңдеуiнiң орынын ауыстыру; Қайсыбiр теңдеудi нөл емес санға көбейту; Жүйенiң қайсыбiр теңдеуiне басқа теңдеудi нөл емес санға көбейтiп қосу – жүйенiң элементар түрлендiруi деймiз. Берiлген теңдеулер жүйесiне элементар түрлендiрулер қолдансақ, одан шыққан теңдеулер жүйесi берiлген жүйеге мәндес болады. Гаусс тәсiлiн қолданғанда берiлген жүйенiң кеңейтiлген матрицасын құраймыз да, оған элементар түрлендiрулер қолданып, трапеция формасына келiремiз. Матрицаға қолданылған элементар түрлендiрулер берiлген теңдеулер жүйесiне элементар түрлендiрулер қолданғанмен пара-пар болады. Егер Ар үшбұрыш түрiне келтiрiлсе, онда берiлген жүйе үйлесiмдi анықталған болады. Ар арқылы қайта теңдеулер жүйесiн жазып, ең соңындағы теңдеуден белгiсiз табамыз. Осылай жоғары қарай жүрiп, барлық белгiсiздердi табамыз. Егер болса, онда жүйе үйлесiмсiз. Егер трапеция формада болса, онда жүйе анықталмаған болады, яғни оның шексiз көп шешiмдерi бар. Оларды табу үшiн, кез келген саны n-r болатын белгiсiздердi бос белгiсiздер деп атаймыз. Оларға кез келген нақты мәндер бере аламыз. Қалған r белгiсiздердi жоғарыда келтiрiлген тәсiлмен бос белгiсiздер арқылы табамыз. Оларды базис белгiсiздерi деп атайды. Мысалдар: №1. Мына жүйенi шешейiк. Кеңейтiлген Ар матрицасын жазайық. жүйе үйлесiмдi, n=3, r=n, сондықтан берiлген жүйе анықталған, оның бiр ғана шешiмi бар. Сонғы матрица арқылы теңдеулер жүйесiн жазайық: осыдан жүйенiң шешiмi болады. №2. Сондықтан жүйе анықталмаған, яғни жүйенiң шексiз көп шешiмдерi бар. Теңдеулер жүйесi былай жазылады. , деп алып, осы бос белгiсiздерге кез келген а және в мәндерiн беремiз. Сонда Егер а=0, в=1 болса, онда яғни теңдеудiң шешiмi болады. №3. жүйе үйлесiмсiз. Шындығында соңғы теңдеу былай жазылатындықтан теңдеудiң мағынасы жойылады. жүктеу/скачать 60,02 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|