8. 3 Жылуөткiзгiштiк теңдеуді шешу үшiн айырымдық схемалар Жылуөткізгіштік теңдеуін қарастырайық

8.3 Жылуөткiзгiштiк теңдеуді шешу үшiн айырымдық схемалар 

Жылуөткізгіштік теңдеуін қарастырайық 

Еспеп қойылымы 





T

t

x









0

,

1

0

 облысындакелесі теңдеудің шешімін табу керек  

 

 

)

,

(

2

2

t

x

f

x

u

t

u













, 

(7) 

 

Шешім бастапқы шартқа  

 

 

)

(

)

0

,

(

0

x

u

x

u



 

(8) 

 

Және шеттік шартқа сәйкес болуы қажет 

 

 

)

(

)

,

1

(

),

(

)

,

0

(

2

1

t

t

u

t

t

u









 

(9) 

 

Мында 

)

(

),

(

),

(

),

,

(

2

1

0

t

t

x

u

t

x

f





 - берілген функциялар.  

 

8.3.1 Айқын схема.  

x

айнымалмен тор құрылсын: 





1

,

,

,

1

,

0

,









hN

N

i

ih

x

i

h





, және 

t

 

айнымалымен,  



қадамды тор: 





T

K

K

n

n

t

n

















,

,

,

1

,

0

,



. 

K

n

N

i

t

x

n

i

,

,

1

,

0

,

,

,

1

,

0

),

,

(









  нүктелер  тордың  түйіндерын  құрады 















h

h ,

, сурет 1. 

 

 

 

1 – сурет. Кенестік-уақыттық тор. 

 





,

h

  торда  анықталған

)

,

(

t

x

y

-  функция 

)

,

(

n

i

n

i

t

x

y

y



  белгіленеді. 

Дифференциальное теңдеу (7) аппроксимациаланады:  

 

 

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

f

h

y

y

y

y

y

















2

1

1

1

2



, 

(10) 

 

аппроксимация реті

)

(

2

h

O





. 

0 

t

n

 

T 

1 

x

i

 

 

h 

 

Есептің айырымдық схемасы: 

 

 

N

i

x

u

y

K

n

t

y

t

y

T

K

hN

K

n

N

i

f

h

y

y

y

y

y

i

i

n

n

N

n

n

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

,

,

1

,

0

),

(

,

,

1

,

0

),

(

),

(

,

1

,

1

,

,

1

,

0

,

1

,

,

2

,

1

2

0

0

2

1

0

2

1

1

1























































. 

  (11) 

 

Нөлінші  қабаттағы  шешім  бастапқы  шартымен  анықталады 

N

i

x

u

y

i

i

,

,

1

,

0

),

(

0

0







.  Егер  шешім 

N

i

y

n

i

,

,

1

,

0

,

1







  n  қабатта табылса, 

онда шешім 

N

i

y

n

i

,

,

1

,

0

,

1







 n+1 қабатта айқын формуламен табылады: 

 

 

1

,

,

2

,

1

),

2

(

2

1

1

1





















N

i

f

h

y

y

y

y

y

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i





, (12) 

 

ал 

)

(

),

(

1

2

1

1

1

1

0













n

n

N

n

n

t

y

t

y





 шеткі шарттан анықталады. 

 

(11)  схеманың  аппроксимация  қателігі    тең

)

(

2

h

O





.  Айқын  схеманы 

(11) тек қана 

2

5

,

0

h





 шарт орындался қолдануға болады. 

 

8.3.2 Айқын емес схема.  

Жылуөткізгіштік теңдеуінің айқын емес схемасы 

 

 

N

i

x

u

y

K

n

t

y

t

y

T

K

hN

K

n

N

i

f

h

y

y

y

y

y

i

i

n

n

N

n

n

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

,

,

1

,

0

),

(

1

,

,

1

,

0

),

(

),

(

,

1

,

1

,

,

1

,

0

,

1

,

,

2

,

1

2

0

0

1

2

1

1

1

1

0

2

1

1

1

1

1

1







































































(13) 

 

Аппроксимация  схемсының  реті 



  бойынша  1, 

h

  бойынша  2.  (13) 

жүйнең  шешімі 

1



n

  басталады. 

-  арқылы 

  табу  үшін  келесі  жүйне 

шешу керек 

 

 

),

(

),

(

,

1

,

,

2

,

1

,

)

2

1

(

1

2

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1





































n

n

N

n

n

n

i

n

i

n

i

n

i

t

y

t

y

N

i

F

y

y

y













    (14) 

 

мында  

n

i

n

i

n

i

f

y

F

h













,

2

. 

 

Бул жүйені қуалау әдісімен шешуге болады. 

n

i

y

1



n

i

y

Бірпараметрлік  схема.  σ  параметрін  алсақ  келесі  айырымдық  схема 

арқылы табылады 

 

 

N

i

x

u

y

K

n

t

y

t

y

T

K

hN

K

n

N

i

f

y

y

y

y

i

i

n

n

N

n

n

n

i

n

i

x

x

n

i

x

x

n

i

n

i

,

,

1

,

0

),

(

1

,

,

1

,

0

),

(

),

(

,

1

,

1

,

,

1

,

0

,

1

,

,

2

,

1

)

1

(

0

0

1

2

1

1

1

1

0

,

1

,

1



































































    (15) 

 

мұнда 

2

1

1

,

2

1

1

1

1

1

1

,

2

,

2

h

y

y

y

y

h

y

y

y

y

n

i

n

i

n

i

n

i

x

x

n

i

n

i

n

i

n

i

x

x





























. 

 

0





  болған  жағдайда  (15)  айқын  схема, 

1





  -  айқын  емес.  Егер 

5

,

0





 болса схеманың аппроксимация реті

)

(

2

2

h

O





.  

 

8.3.3 Айнымалыларды бағыттау әдісі.  

Көпөлшемді  есептерді  шешуге  арналған  әдістердің  бірі,  көпөлшемді 

әдістер бірөлшемдіге қатысты сипатқа негізделген, сонымен қатар ол өзіне оң 

мәнді  айқын  және  айқын  емес  схемаларды  сипаттайды:  абсолютті 

тұрақтылық  және  қарапайым  шешім.  Бұл  әдістің  ішінде  айырымдылық 

схемасына  бір  мысал  келітсек,  ол  көбіне  көлденең  бойлай  айырымдылық 

схемасы  немесе  Писмен-Рэчфорд  схемасы  деп  аталады.  Бұл  схемада  n 

қабатынан n+1 қабатына дейін екі кезеңде орындалады. Бірінші кезеңде жүйе 

теңдеуінен 

2

1



n

ij

y

 аралық мәндері алынған.

 

 

,

,

2

2

5

,

0

2

2

1

,

,

1

,

2

1

2

1

,

1

2

1

,

2

1

,

1

2

1

h

ij

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

ij

n

ij

x

h

y

y

y

h

y

y

y

y

y





































(22) 

 

Ал екінші кезеңде 

2

1



n

ij

y

 табылған мәнін  жүйе теңдеуінен

1



n

ij

y

 табамыз 

 

 

,

,

2

2

5

,

0

2

2

1

1

,

1

,

1

1

,

2

1

2

1

,

1

2

1

,

2

1

,

1

2

1

1

h

ij

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

j

i

n

ij

n

ij

x

h

y

y

y

h

y

y

y

y

y













































(23) 

 

 (22)  теңдеуі 

1

x

айнымалысына қатысты айқын емес, ал (23) теңдеуі 

2

x

 

айнымалысы  бойынша  болып  келеді.  Сондықтан  (22),  (23)  теңдеулерін 

бірөлшемді қуалау  әдісінің жүйелі қолданысымен шешуге болады, алдымен 

1

x

 бағыты бойынша, ал сосын 

2

x

 бағыты бойынша. 

(22)-(23)  схемалары  абсолютті  тұрақты  және   



  және 

h

  бойынша 

екінші ретті суммарлы аппроксимацияға ие. Яғни, толық қабаттан жартылай 

қабатқа  өту  кезінде  әрбір  кеңістіктегі  айырым  уақытқа  байланысты 

симметриялы болмайды және 

)

(

2

h

O





 қателігіне тең. Бірақ қабаттың екінші 

бөлігіндегі  қателік  біріншіні  компенсирлейді,  нәтижесінде  толық  қабаттан 

толық  қателігі  локалды  аппроксимацияда  бірқалыпты  торларда  болады 

)

(

2

2

2

1

2

h

h

O







. 

 

1 мысал. Бірінші есеп жылуөткізгіштік теңдеуін шешу: 

;

1

0

;

1

0

;

125

,

1

)

(

)

,

1

(

;

125

,

0

)

(

)

,

0

(

;

125

,

0

)

(

)

0

,

(

;

2

1

0

2

2





































t

x

t

t

u

t

u

t

t

u

t

u

x

x

u

x

u

x

u

t

u

 

 

Шешуі: 

Уақытқа  байланысты  τ=0,1  қадамына  тең  торын  қарастырайық  және 

h=0,1 қадамы x кеңістік қадамы бойынша алынады.  

 

Аппроксимациялық 

теңдеуге 

қатысты 

айқын 

емес 

схеманы 

қолданамыз. 

2

1

1

1

1

1

1

2

h

u

u

u

u

u

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i























; 

)

2

(

)

(

1

1

1

1

1

1

2





















j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

u

u

u

u

u

h



; 

;

)

2

(

2

1

1

2

1

1

1

j

i

j

i

j

i

j

i

u

h

u

h

u

u



























 

 

Бастапқы шартты аппроксимациялаймыз. 

;

125

,

0

;

125

,

0

)

(

)

0

,

(

0

0











i

i

x

u

x

x

u

x

u

 

 

Келесі шарттын аппроксимациялаймыз. 

;

125

,

1

;

125

,

1

)

(

)

,

1

(

;

125

,

0

;

125

,

0

)

(

)

,

0

(

10

2

0

1

j

j

j

j

t

u

t

t

u

t

u

t

u

t

t

u

t

u





















 

 

Осының нәтижесінде айырым есебі қойылды: 

;

125

,

1

;

125

,

0

;

125

,

0

;

)

2

(

10

0

0

2

1

1

2

1

1

1

j

j

j

j

i

i

j

i

j

i

j

i

j

i

t

u

t

u

x

u

u

h

u

h

u

u







































 

Бұл  есеп  қуалау  әдісімен  есептеледі.  Қулаудың  сәйкестілік  шарты 

орындалды: 

;

2

)

2

(

2









h

 

j=0  үшін  функцияның  мәні  бастапқы  шарттан  табылады,  j=1,  …,  10 

үшін функция мәні қуалау әдісінің көмегімен табылады. Қуалаудың нәтижесі 

j=1, 

1

,

0



t

 үшін 1 кестеде көрсетілген. 

 

1 кесте. Қуалау әдісінің жүзеге асуы. 

 

i 

x

i

 

a

i

 

b

i

 

c

i

 

α

i

 

β

i

 

y

i

 

f

i

 

0 

0,00  0,10  0,10  0,21    

  

0,225  0,001 

1 

0,10  0,10  0,10  0,21 

0,00  0,23  0,301  0,002 

2 

0,20  0,10  0,10  0,21 

0,48  0,12  0,384  0,003 

3 

0,30  0,10  0,10  0,21 

0,62  0,09  0,473  0,004 

4 

0,40  0,10  0,10  0,21 

0,67  0,09  0,567  0,005 

5 

0,50  0,10  0,10  0,21 

0,70  0,10  0,665  0,006 

6 

0,60  0,10  0,10  0,21 

0,71  0,12  0,767  0,007 

7 

0,70  0,10  0,10  0,21 

0,72  0,14  0,873  0,008 

8 

0,80  0,10  0,10  0,21 

0,73  0,16  0,984  0,009 

9 

0,90  0,10  0,10  0,21 

0,73  0,18  1,101 

0,01 

10 

1,00  0,10  0,10  0,21 

0,73  0,21  1,225  0,011 

 

j=1,  …,  10  үшін  функция  мәні  қуалаудың  көмегімен  табылады,  олар 

келесі 2 кестеде көрсетілген. 

 

2 кесте. Есептеудің нәтижесі. 

 

10 

1  1,13  1,18  1,25  1,32  1,41  1,50  1,61  1,72  1,85  1,98  2,13 

9  0,9  1,03  1,08  1,15  1,22  1,31  1,40  1,51  1,62  1,75  1,88  2,03 

8  0,8  0,93  0,98  1,05  1,12  1,21  1,30  1,41  1,52  1,65  1,78  1,93 

7  0,7  0,83  0,88  0,95  1,02  1,11  1,20  1,31  1,42  1,55  1,68  1,83 

6  0,6  0,73  0,78  0,85  0,92  1,01  1,10  1,21  1,32  1,45  1,58  1,73 

5  0,5  0,63  0,68  0,75  0,82  0,91  1,00  1,11  1,22  1,35  1,48  1,63 

4  0,4  0,53  0,58  0,65  0,73  0,81  0,91  1,01  1,13  1,25  1,38  1,53 

3  0,3  0,43  0,49  0,55  0,63  0,72  0,82  0,92  1,03  1,15  1,29  1,43 

2  0,2  0,33  0,39  0,46  0,55  0,64  0,73  0,84  0,95  1,06  1,19  1,33 

1  0,1  0,23  0,30  0,38  0,47  0,57  0,66  0,77  0,87  0,98  1,10  1,23 

0 

0  0,13  0,23  0,33  0,43  0,53  0,63  0,73  0,83  0,93  1,03  1,13 

  

t/x 

0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

0,6 

0,7 

0,8 

0,9 

1 

j/i    

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10