8 тапсырма Қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау

жүктеу/скачать 115 Kb.

Дата	05.04.2023
өлшемі	115 Kb.
	#79745

Есеп шешімі

8 тапсырма
Қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау

Материалық М нүкте ху жазықтықта қозғалады. Нүктенің қозғалыс заңдары х = f₁(t), y = f₂(t), қайда х пен у сантиметрлерде берілген, t – секундтарда, теңдеулер арқылы берілген.

Нүктенің траектория теңдеулерін анықтау керек; уақыт t = t₁ (с) мезетіндегі нүктенің траекториядағы орнын, оның жылдамдығы мен үдеуін анықтау керек.
Есеп шешіміне керек шамалардың мағыналары 1-кестеде берілген.

1-кесте – ЕГЖ-нің шарттары

Варианттың №

Қозғалыс теңдеулері

t₁ , сек.

х = х (t), см

y = у (t), см

-2 t² + 3

-5 t

1/2

4cos²(πt/3) + 2

4sin²(πt/3)

-cos(πt² /3) +3

Sin(πt/3) -1

4 t +4

-4/(t+1)

2sin(πt/3)

-3cos(πt/3)

3 t² –t+1

5t² -5t/3 – 2

3t² + 2

-4t

1/2

7sin(πt²/6) + 3

2 – 7cos (πt²/6) – 3

-3/(t + 2)

3t +6

-4cos(πt²/3)

-2sin(πt/3) – 3

-4t² + 1

-3t

1/2

5sin²(πt/6)

-5cos²(πt/6) – 3

5cos (πt²/3)

-5sin(πt²/3)

-2t – 2

-2/(t + 1)

4сos (πt/3)

-3sin(πt/3)

4t² +1

1/2

7sin²(πt/6) – 5

-7cos²(πt/6)

1 + 3cos (πt/3)

3sin(πt/3) + 3

-5t² – 4

2 – 3t – 6t²

3 – 3t/2 – 3t²

6sin (πt²/6) – 2

6cos (πt²/6) + 3

7t² – 3

1/4

3 – 3t² + 1

4 – 5t² + 5t/3

- 4cos (πt/3) – 1

- 4sin(πt/3)

- 6t

- 2t² – 4

8cos²(πt/6) + 2

-8sin²(πt/6)

- 3 – 9sin(πt²/6)

- 9cos(πt²/6)

- 4t² + 1

- 3t

5t² + 5t/3 – 3

3t² + t + 3

2cos (πt²/3) – 2

- 2sin(πt²/3 + 3

ЕГЖ-нің шығару үлгісі.
Материялық нүктенің ху жазықтықтағы қозғалыс теңдеулері:
x = - 2 cos ( t) + 3, y = 2 sin ( t) - 1
(x, y өлшемдері - сантиметр, t өлшемі - секунда).
Нүкте траекториясының теңдеуін анықтау керек; уақыт мезеті t = 1c үшін нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау керек, сонымен қатар оның траекторияның сәйкес нүктесіндегі жанама мен нормаль үдеулерін және қисықтық радиусын анықтау керек.
Есеп шешімі :
1. Нүкте траекториясының теңдеуін анықтау үшін берілген қозғалыс теңдеулерінен t уақытты алып тастау керек. t - тригонометриялық теңдеулердің аргументтерінде болған соң, мынадай формулаларды қолданамыз:
Cos 2α = 1 – 2 sin²α
немесе
cos ( t) = 1 – 2 sin² ( t). (2.1)
Қозғалыс теңдеулерінен тиісті функцияларды тауып алып, оларға (2.1) теңдікті қоямыз. Сонда
cos ( t) = , sin ( t) = ,
сонымен,
.
Осыдан нүкте траекториясының мынадай теңдеуін табамыз (бұл теңдеу парабола қисығы болып келеді, 2.1-сурет):
x = (y + 1)² + 1. (2.2)

2. Нүктенің жылдамдығын оның координаталық осьтердегі проекциялары арқылы табамыз. Жылдамдық проекцияларының жалпы түрі:

V_x = = sin ( t),

V_y = = cos ( t);

V = v_x² + v_y² .

Уақыттың t = 1c мезетінде

V₁_x = 1,11см/с, V₁_y = 0,73 см/с, V₁ = 1,33 см/с. (2.3)

3. Нүктенің үдеуін анықтаймыз:

а_x = = cos ( t),

а_y = = - sin ( t);

а = a_x² + a_y² .

Уақыттың t₁ = 1c мезетінде

a_1`_x = 0,87 см/с², a₁_y = - 0,12 см/с², a₁ = 0,88 см/с². (2.4)

4. V² = V_x² + V_y² теңдеуді дифференциялап нүктенің жанама үдеуін табамыз:

2V dV/dt = 2V_xdV_x/dt + 2V_ydV_y/dt,

осыдан

a_x = dV/dt = (V_x·a_x + V_y·a_y)/V. (2.5)
(2.5) формуладағы барлық шамалардын сан мағыналары белгілі де (2.3) және (2.4) теңдеулермен берілген. Сол сандарды (2.5) қойып алып, уақыт t₁ = 1с мезетіндегі жанама үдеуді табамыз: a₁_τ = 0,66 см/с^ә.
5 . Нүктенің нормаль үдеуі а_n = a² - a_τ² . Осыған a₁ мен a₁_τ шамаларын қойып уақыт t₁ = 1с мезетіндегі нормаль үдеуді анықтаймыз: a_1n = 0,58 см/с^ә.
6. Нүкте траекториясының қисықтық радиусы ρ = V²/a_n . Осыған V₁ және a_1n шамалардың мағынасын қойып, уақыт t₁ = 1с мезетіндегі қисықтық радиусын табамыз: ρ₁ = 3,05 см.
Ескеру. Траекторияның қисықтық радиусы жалпы түрде уақыттқа тәуелді шама, өйткені қисық сызық әртүрлі қисықтық радиусы бар көптеген шеңберлер доғаларынан құрастырылған деп түсінеміз. Сонда қисықтың бойымен қозғалып тұрған материялық нүкте траекторисының қисықтық радиусы да өзгеріп тұрады.
7. Қозғалыстағы материялық нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіндегі траектория бойындағы орнын х пен у координаталары нұсқайды: х₁ = 1,6 см, у₁ = -0,2 см.
8. 2.2-кестесінде нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіндегі барлық кинематикалық сипаттамаларының (жылдамдық және оның проекциялары, үдеу және оның проекциялары, жанама, нормаль үдеулер, траекторияның қисықтық радиусы) сан мағыналары көрсетілген. Осы шамалар және траекторияның (2.2) теңдеуі бойынша материялық нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіндегі кинематикалық қозғалыс графигін саламыз.

2.2-кесте – Нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіндегі кинематикалық сипаттамалары.

Координата,

см

Жылдамдық, см/с

Үдеу, см/с^ә

Қисықтық радиусы, см

х₁

у₂

V_1x

V_1y

V₁

a_1x

a_1y

a₁

a_1τ

a_1n

ρ₁

1,6

- 0,2

1,11

0,73

1,33

0,87

-0,12

0,88

0,66

0,58

3,05

9. Алдымен Оху координаталық осьтерді қабылдаймыз да, оған қолайлы масштаб кіргіземіз. Осы осьтерге тиімді траекторияның қисық сызығын суретке түсіреміз (2.1-сурет). Материялық нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіне траекторияның бойындағы М₁(х₁, у₁) орнын х₁, у₁ координаталар арқылы табамыз. Жылдамдық векторын оның бөлшектері арқылы сызамыз: V₁ = V_1x + V_1y. Оның үстіне V₁ вектордың траектория жанамасында орналасуы қажет. Дәл солай үдеуді де көрсетеміз: а₁ = а_1х +а_1у.

2.1-сурет.

Содан кейін а₁_τ жанама үдеуді суретке саламыз. Оның шама таңбасы V₁ жылдамдықтың таңбасымен бірдей (екеуі де плюс), сондықтан нүкте қозғалысы үдемелі болып келеді. a₁ = a₁_τ + a_1n екенін ескере отырып нормаль үдеуді суретте көрсетеміз.

Жылдамдық пен толық үдеудің векторлары бір жаққа қарай бағытталғаны материялық нүктенің қозғалыс түрі үдемелі екенін нұсқайды да жоғарыда осы туралы айтылғанды құптайтын дәлел болып келеді.

жүктеу/скачать 115 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

8 тапсырма Қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау

2.2-кесте – Нүктенің уақыт t1 = 1с мезетіндегі кинематикалық сипаттамалары.

2.2-кесте – Нүктенің уақыт t₁ = 1с мезетіндегі кинематикалық сипаттамалары.