Эйлер-Лагранж теңдеуін 1750 жылдары Эйлер мен Лагранж олардың зерттеуге байланысты жасаған
жүктеу/скачать 38,86 Kb.
|
Эйлер
- Бұл бет үшін навигация:
- Клеро теңдеуі
|
Эйлер-Лагранж теңдеуін 1750 жылдары Эйлер мен Лагранж олардың зерттеуге байланысты жасаған таутохрон проблема. Бұл салмақталған бөлшек бастапқы нүктеге тәуелсіз, белгіленген уақыт аралығында белгіленген нүктеге түсетін қисықты анықтау мәселесі. Лагранж бұл мәселені 1755 жылы шешіп, шешімді Эйлерге жіберді. Екеуі де Лагранж әдісін одан әрі дамытып, оны қолданды механикатұжырымдамасына алып келді Лагранж механикасы. Олардың сәйкестігі, сайып келгенде, әкелді вариацияларды есептеу, Эйлердің өзі 1766 жылы енгізген термин.
түріндегі теңдеу Лагранж теңдеуі деп аталады, мұндағы және -функциялары
-тен тәуелді белгілі функциялар. деп көмекші параметр енгіземіз. Сонда (2.7.1) теңдеу келесі түрге келеді:
x бойынша дифференциалдап, алатынымыз:
Яғни
немесе
(2.7.6) теңдеуі белгісіз функцияға қатысты сызықтық теңдеу. Оны шешіп, келесі теңдікті аламыз:
(2.7.3) және (2.7.7) теңдеулерінен р параметрін алып тастап, (1) теңдеуінің жалпы интегралын түрінде аламыз. (2.7.6) теңдеуге көшкенде біз ке бөлгенімізді ескереміз. Сол кезде үшін шешуін жоғалтып алуымыз мүмкін болды, яғни . мәні теңдеуінің түбірі. (2.7.1) теңдеуі үшін шешімі ерекше болады Клеро теңдеуі
түріне келеді және оны Клеро теңдеуі деп атайды. деп алып, төмендегі теңдеуді аламыз:
х бойынша дифференциалдап, алатынымыз:
немесе
Егер болса, онда р=с. (2.7.9) теңдеуін есепке ала отырып, (2.7.8) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешуі:
Егер
болса, онда теңдеудің дербес шешуі параметрлік түрде аламыз:
Бұл шешу Клеро теңдеуінің ерекше шешуі: ол теңдеудің жалпы шешуінде болмайды. жүктеу/скачать 38,86 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|