Лекция Клеро және Лагранж теңдеулері Туындысына қатысты шешілмейтін дифференциалдық теңдеулерді қарастырайық. Оларға Лагранж және Клеро теңдеулері жатады. Лагранж теңдеуі (1)
жүктеу/скачать 23,45 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Клеро теңдеуі
|
8-лекция Клеро және Лагранж теңдеулері Туындысына қатысты шешілмейтін дифференциалдық теңдеулерді қарастырайық. Оларға Лагранж және Клеро теңдеулері жатады. Лагранж теңдеуі (1) түріндегі теңдеу Лагранж теңдеуі деп аталады, мұндағы және функциялары -тен тәуелді белгілі функциялар. деп көмекші параметр енгіземіз. Сонда (1) теңдеу келесі түрге келеді: (1 ) (1 ) теңдеуді бойынша дифференциалдап аламыз және параметрі -тен тәуелді функция болатыны ескере отырып: (1 ) Соңғы теңдеуден кеібір шешімдерін табуға болады. Егер кез келген мәні үшін келесі шартты қанағаттандыратын болса онда соңғы теңдеуі тепе-тендікке айналады. Егер параметрі тұрақты шама болса, оның туындысы болады және (1 ) теңдеуінің екі жағы нөлге тең болады. мәніне сәйкес теңдеуі -тен тәуелді сызықты функция болады. Осы функцияны табу үшін мәнін (1 ) теңдеуіне қоямыз. (1) теңдеуі үшін және шешімі ерекше болады. Енді жалпы шешімін табайық. Ол үшін (1 ) теңдеуін келесі түрде жазайық: Бұл біртекті емес 1-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеу болады, мұнда p айнымалысын тәуелді x функциясын қарастыру керек. Оны шешіп (2) параметрінің орнына (1 ) және (2) теңдеулерінде кері алмастыру жасап, (1) теңдеуінің жалпы инегралы шығады: Клеро теңдеуі (1) түріндегі дифференциалды теңдеу Клеро теңдеуі деп аталады, мұндағы функциясы -тен тәуелді белгілі функция. деп көмекші параметр енгіземіз. Сонда (1) теңдеу келесі түрге келеді: (1 ) (1 ) теңдеуді бойынша дифференциалдап аламыз және параметрі -тен тәуелді функция болатыны ескере отырып: Соңғы теңдеу екі теңдеуге бөлінеді: (2) және (3) 1) Егер болса, онда интегралғанда шығады. (1 ) теңдеуін есепке ала отырып, (1) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешуі: (4) 2) Егер болса, онда теңдеудің дербес шешуі параметрлік түрде аламыз (5) Бұл шешу Клеро теңдеуінің ерекше шешуі: ол теңдеудің жалпы шешуінде болмайды. жүктеу/скачать 23,45 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|