Екінші ретті дифференциалды теңдеулері ii-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер



Дата07.01.2022
өлшемі58,69 Kb.
#18543

Екінші ретті дифференциалды теңдеулері

II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер  

II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз



  ,                                     (5.4)

.                                           (5.1)

5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады

                                                 (5.5)

 – (5.4)-тің шешімі, – (5.1)-дің шешімі, – (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі.

Дәлелдеуі.  функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып

,

яғни тепе-теңдікке келдік: .



 функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген  шешімін алайық, онда  біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады

.

 функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны  түрінде жазуға болады, яғни  , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) – сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді.

Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен  табу жолын көрсетейік.  – (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі



                                          (5.6)

түрінде жазылсын.



 туындысын есептейміз: .  және  функцияларын

                                                (5.7)

теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз: 

, яғни

.                                             (5.8)

Сонымен, егер де  мен  функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда



                                           (5.9)

жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады



 мен  сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы  болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз ,  шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған  мен  функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз. 

Тұрақты коэффициентті II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер  

II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулерді қарастыра-мыз



,                                             (5.10)

мұндағы  мен  – тұрақты шамалар.



                                              (5.11)

теңдеуі (5.10)-ға сәйкес келетін сипаттауыш теңдеу болады. 



5.3 теорема 1) Егер (5.11) теңдеуінің нақты  түбірі бар болса, онда  функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады. 2) Егер (5.11)-дің комплекс  түбірлері бар болса, онда  және  функциялары (5.10)-ға қанағаттандырады.

Дәлелдеуі. 1)  – (5.11) теңдеуінің түбірі болсын.  функциясын жазып алып, оның туындыларын есептеп, (5.10)-ға орындарына қоямыз. Онда , , , , яғни  функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады.

2) Дәлелдеуі теореманың бірінші бөлімінің дәлелдеуіне ұқсас.

5.4 теорема Егер (5.11) сипаттауыш теңдеудің түбірлері: а) нақты () және әртүрлі () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі  болады; б) нақты () және өзара тең () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі  функциясы болады; в) комплексті түйіндес (, ) болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі .

Дәлелдеуі. а)  болсын, онда ,  – (5.10)-ның дербес шешімдері болады. Оларды сызықтық тәуелділікке зерттейміз:  себебі , яғни  мен  сызықтық тәуелсіз, сондықтан .

б)  болсын, онда  – (5.10) теңдеуінің кейбір дербес шешімі болады. Остроградский-Лиувилль формуласы бойынша -ні есептейміз: , демек, .

в) ,  болсын, онда 5.3 теормасы бойынша ,  – дербес шешімдері болады. ,  функцияларын сызықтық тәуелділікке зерттейміз: , осы қатынастан  мен  сызықтық тәуелсіз екені көрінеді, онда

.

 теңдеуінің шешімін табу алгоритмі

1. (5.4)-ке сәйкес біртекті дифференциалдық теңдеуді жазамыз: ;

2. оның сипаттауыш  теңдеуін шешеміз;

3.  жалпы шешімін жазып аламыз;

4. еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен -ді табамыз, ол үшін (5.9) жүйесінен  функцияларын анықтап аламыз;

5.  теңдеудің шешімін жазамыз.






Достарыңызбен бөлісу:




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет