І. Тарау евклидтік кеңістіктегі сызықтар мен беттер

І. ТАРАУ

ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ СЫЗЫҚТАР мен беттер

1. Жиындар. Структуралар. Кеңістіктер.

Орта мектепте жиын ұѓымы, жиынѓа амалдар қолдану қарастырылады. Жиын анықталмайтын ұѓым болып, ол сипатталу арқылы түсіндіріледі. Мысалы әріптер жиыны, натурал сандар жиыны, студенттер жиыны. Жиынның элементінің табиѓатына мән берілмейді. Жоѓары математикада нүктелік жиындар, сандық жиындар жиі кездеседі. R нақты сандар жиыны.

АВ кесіндісін анықтаймыз. [АВ]  d, . АВ кесіндісінің шамасы деп АВ_ш=2-(-3)=5>0 аламыз.

2.
АВ кесіндісінің ұзындыѓы дегеніміз АВ кесіндісінің шамасының модулі. AB=|AB_ш| болып, A(a), B(b) нүктелері үшін AB=|b-a|. (1)
Евклидтік кеңістікте (А, В) метрика болып, метрлік геометриялардың негізгі инварианты болады.
Түзудегі аналитикалық геометрияда кездесетін ұѓымдар, формулалар төмендегіше болады. M₁(x₁), M₂(x₂), M(x) нүктелерін алсақ, онда
(2)

Жазықтықтаѓы аналитикалық геометрияда бір түзуде жатқан М₁(х₁,у₁), М₂(х₂,у₂), М(х,у) нүктелерін алсақ, онда
реперде
(3)

Кеңістіктегі аналитикалық геометрияда дәл сондай формулаларды жазуѓа болады.

(4)

Жиындарды бейнелеу математиканың барлық салаларында қолданылады.

Анықтамалар.
1.Берілген X, Y сандық нүктелік жиындар арасында орнатылѓан f сәйкестік Xэх болѓан әрбір х ке Yэу болѓан у ті сәйкестендірсе, онда f X жиынды Y жиынѓа бейнелейді дейді, ол бейнелеу төмендегіше жазылады.
f:XY (6) X тің бейнесі f(X) болады. f(X)Y, х нүктесі оригинал (түп нұсқа) делінеді, у нүктесі х тің бейнесі (образы) делінеді. X түпнұсқа жиын, f(X) бейне жиын болады.
2. f бейнелеу үш түрлі болады.
а) инъективті (инъекция) б) сюръективті (сюръекция)
в) әрі инъективті, әрі сюръективті болѓан бейнелеу биективті бейнелеу делінеді (биекция).
f^-1 кері бейнелеу. уY болѓан у нүктеге оригинал Х тен хХ болѓан х сәйкес келсе f^-1(у)=x болѓан f^-1 бейнелеу f бейнелеуге кері бейнелеу делінеді.
3. Y тегі f(х) нүктесінің кезкелген аймаѓы V үшін
f(U) V, яѓни f(у)V, yV болатындай Х тегі х нүктесінің U аймаѓы бар болса, онда f : XY бейнелеуі хХ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Егер Х тен алынѓан әрбір нүктеде f бейнелеуі үзіліссіз болса, онда ол X те үзіліссіз деп аталады. Басқаша айтқанда, егер Y тегі f(х) нүктесінің кезкелген аймаѓының f^-1(V) Х тегі х нүктесінің аймаѓы болып табылса, онда хХ нүктесінде
f : XY бейнелеу үзіліссіз болады.
Үзіліссіз бейнелеудің мысалдарын қарастырудың аса қажеті жоқ, өйткені біздер мұндай бейнелеумен көп рет анализ бен геометрияда кездескенбіз.
4. f : XY (1) бейнелеуі а) f биекция болса (сондықтан f^-1 бар); б) f пен f^-1 бейнелеулері үзіліссіз болса, онда f бейнелеуі гомеоморфизм (немесе топологиялық бейнелеу) деп аталады. Бұл жайѓдайда Х пен Y кеңістіктері гомеморфты деп аталады және Х Y деп жазылады.
5. Айталық, Х пен Y жиындары және f: ХY бейнелеуі берілсін. Сонда f(X)Y жиыны анықталѓан және f₁(x)=f(x), хХ болатындай f₁: Xf(X) (8) бейнелеуін қарастыра аламыз. Ал, f₁ бейнелеуі f бейнелеуінің келтірілуі деп аталады.
6. Егер f бейнелеуінің келтірілуі f₁ гомеоморфизм болса f₁: Xf(X), онда f бейнелеуі Y тегі Х енгізу (вложение) деп аталады.
7. Егер әрбір хХ, x нүктесінің U аймаѓы болып, және f бейнелеуінің f/U тарылымы осы аймақтың енгізуі болса, онда f: ХY (1) бейнелеуі Y тегі Х матыруы (погружение) деп аталады.
Бұл анықтамадан кез келген енгізу сонымен бірге матыру да болатыны шыѓады. Керісінше қате: енгізу болып табылмайтын матыру бар.
Евклид геометриясында болса фигураларды беттестіруде үш түрлі шарт қойылады.

1. 
   Нүктелер арасында өзара бірмәнді сәйкестік бар болады.
   
2. 
   Сол сәйкестікте түзудің кесіндісі түзудің кесіндісіне өтеді.
   
3. 
   Сәйкестік екі нүкте ара қашықтыѓын сақтайды.
   

Түзу сызықты нүктелер жиынының ерекшеліктері жиынтыѓы сызықты структураны анықтайды.
Түзу сызықта кесінділердің ұзындыѓының берілуі метрлік структураны анықтайды. Сол аталѓан екі структура математикада евклид геометриясын анықтайды. Аффиндік геометрия болса сызықты структурамен анықталады. Бұл жаѓдайлар сол облыстардаѓы структураларды ежіктеп үйренбейінше, оқымайынша түсініксіз болады. Дәл солай сызықты, метрлік структураларды түсінбей тұрып геометриялардың түрлерін (әр түрлі геометрияларды) түсіну қиын.
Мысалы E=(E,) метрлік кеңістік, X=(Х, Г) топологиялық кеңістік, бұл жерде Г ашық жиын.

жүктеу/скачать 128,19 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: