Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог


ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008



жүктеу 5.31 Mb.
Pdf просмотр
бет6/48
Дата27.03.2017
өлшемі5.31 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
32
критической  нагрузке  -
2
2
w
P


>0.  Для  шарнирно  опертой  оболочки  хорошая 
сходимость  наблюдается  уже  при M=N=3 /11/. Данный  алгоритм  использовался  для 
расчета упругих пологих оболочек на устойчивость. Рассматривались квадратные в плане 
(18х18м)  оболочки  покрытия,  шарнирно  закрепленные  по  всем  краям.  Оболочки 
подкреплены  в  двух  направлениях  дискретно  расположенными  ребрами  жесткости. 
Срединная  поверхность  оболочки  составлена  из  панелей  с  кривизной  меньше,  чем 
кривизна  срединной  поверхности  собственно  оболочки,  т.е.  из  вспарушенных  панелей, 
которые вписываются в круговую поверхность. Углы перелома определялись по формуле: 
2
2

arcSin
i
=
θ
,  где i –количество  переломов, a –размер  оболочки  в  плане,  к-  кривизна 
оболочки. 
Данный алгоритм позволяет учесть наличие переломов кривизны поверхности покрытий с 
помощью функции Хевисайда
Полученные численные результаты для оболочек 18х18 м в плане, находящихся на 
поверхности  земли,  с  учетом  ребер  и  переломов  кривизны  показывают,  что  внешние 
нагрузки  меньше  нижних  критических  нагрузок,  что  говорит  об  устойчивости 
равновесных форм. Для заглубленных оболочек (глубина заложения Н=3м) с учетом ребер 
и  переломов  кривизны  внешняя  нагрузка  превышает  значения  нижних  критических 
нагрузок,  что  говорит  о  возможной  потери  устойчивости  рассматриваемых  равновесных 
форм. Для сохранения устойчивости необходимо увеличить либо толщину, либо кривизну 
оболочки.  
         Были  рассмотрены  различные  виды  закрепления  оболочек.  Если  рассмотреть 
другие варианты закрепления оболочки, то данные расчета следующие: для оболочки с 
защемлением  вдоль  одного  края  критические  нагрузки  возрастают  на 7,5%, а  для 
защемления  двух  краев  критические  нагрузки  возрастают  на 10%.Влияние  несущих 
стен увеличивают значения нижних критических нагрузок на 12,5%. 
Выводы 
1.  Для  тонкостенных  конструкций  при  рассмотрении  устойчивости  необходимо 
учитывать геометрическую нелинейность. 
2.  Для  предотвращения  потери  устойчивости  необходимо  помимо  верхних 
критических нагрузок знать значения нижних критических нагрузок. 
3.  Конструктивные  особенности,  такие,  как  ребра  жесткости,  контурные  элементы, 
переломы  кривизны  значительно  влияют  на  значения  критических  нагрузок.  Учет 
различного вида включений можно рассматривать как контактную задачу. 
    
ЛИТЕРАТУРА 
 
1. Григолюк Э.И, Толкачев В.М.. Контактные задачи  теории пластин и оболочек. М., 1980, 
416 с. 
2.  Михайловский  Е.И.  Прямые,  обратные  и  оптимальные  задачи  для  оболочек  с    
подкрепленным краем. Л. Ленингр. Ун-т, 1986, 220 с. 
3. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с     разрывными параметрами. Л., Ленингр.     ун-т, 
1980, 196 с. 
4.  Моссаковский  В.И.,  Гудрамович  В.С.,  Макеев  Е.М.  Контактные  взаимодействия 
элементов  оболочечных конструкций. Киев, Наукова Думка,1988, 288 с. 
5.  Виноградов  Г.Г.  Расчет  строительных         пространственных  конструкций.  Л.,  Стройизд.,  
1990, 265 с. 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
33
6.  Павилайнен  В.Я.  Расчет  многоволновых  покрытий //Расчет  пространственных     
конструкций. М. 1970, вып.13,  с. 3-67. 
7. Хайдуков Г.К.. Тонкостенные железобетонные пространственные    конструкции. М., Лит-
ра, по строит.,1970, 423 с. 
8. Власов  В.З. Общая теория оболочек. М., Гостехиздат, 1949, 362 с. 
9.  Милейковский  Е.И.,  Трушин  С.И.  Расчет  тонкостенных  конструкций.  М.,  Стройиздат,   
1989, 200 с. 
10. Никиреев В.М., Шадурский В.Л. Практические  методы расчета оболочек. М., Лит-ра. по  
строит., 1966, 272 с. 
11.  Айталиев  Ш.М.,  Достанова  С.Х.  Уравнения      устойчивости  для  гибкой  ребристой 
оболочки              покрытия  с  учетом  изменения  кривизны    поверхности //Известия  НАН  РК,       
Алматы, 2003,  № 3, с.113-116. 
 
 
УДК 539.3:534.1 
 
Махметова Нарзанкул Мусаевна – д.т.н., профессор (Алматы, КазАТК) 
Гирнис Светлана Римонтасовна – старший преподаватель (Павлодар, ПГУ) 
 
ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ БЕГУЩЕЙ В ДВУХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ 
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ 
СОСТОЯНИЕ ОКРУЖАЮЩЕГО МАССИВА 
 
Задачи  о  действии  подвижной  осесимметричной  нормальной  нагрузки  на 
тонкостенную  и  толстостенную  круговую  цилиндрическую  оболочку  в  упругой  среде 
рассматривались  соответственно  в  статьях /1,2/. В  настоящей  работе  решена  задача  о 
действии  бегущей  периодической  нагрузки  на  двухслойную  оболочку  в  упругом 
пространстве  и  на  основе  этого  решения  исследуется  напряженно-деформированное 
состояние  окружающего  ее  массива  при  различных  дозвуковых  скоростях  движения 
нагрузки.  Данная  задача  является  модельной,  например,  при  исследовании  динамики 
тоннелей  глубокого  заложения,  подкрепленных  двухслойной  цилиндрической 
оболочкой (обделкой) /3/. 
1. Рассмотрим  цилиндрическую  полость  радиусом 
1
R
  в  бесконечной,  линейно-
упругой, однородной и изотропной среде. Полость подкреплена двухслойной оболочкой, 
внутренним  слоем  которой  является  тонкостенная  оболочка  толщиной 
0
  и  радиусом 
срединной  поверхности 
2
R
,  а  внешним – толстостенная  оболочка.  В  силу  малости 
толщины внутреннего слоя можно принять, что он контактирует с внешним слоем вдоль 
своей  срединной  поверхности.  Контакт  между  слоями  оболочки  и  окружающей  её 
упругой  средой  (массивом)  будем  полагать  жестким.  По  внутренней  поверхности 
оболочки  в  направлении  ее  оси    с  постоянной  скоростью 
c
  (меньшей,  чем  скорости 
распространения  волн  сдвига  во  внешнем  слое  оболочки  и  окружающей  ее  среде) 
движется нагрузка  
Так  как  рассматривается  установившийся  процесс,  то  картина  деформаций 
стационарна  по  отношению  к  движущейся  нагрузке.  Поэтому  удобно  перейти  к 
подвижной  цилиндрической  системе  координат 
)
,
,
(
ct
z
r

=
η
θ
.  Тогда,  в  случае 
синусоидальной с произвольной зависимостью от угловой координаты нагрузки, имеем  
 
( ) ( )
( )
,
,
,


−∞
=
θ
ξη
=
θ
θ
=
η
θ
n
in
n
i
e
P
p
e
p
P
 
 
(1) 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
34
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
η
θ
=
=
θ
θ
=
η
θ


−∞
=
θ
ξη
r
j
e
P
p
e
p
P
n
in
nj
j
i
j
j
 
 
где  константа 
ξ  определяет  период  T = 2π/ξ  действующей  нагрузки, 
( )
η
θ,
j
P
 – 
составляющие интенсивности нагрузки 
( )
η
θ,
P
. 
Для описания движения внутреннего слоя оболочки воспользуемся классическими 
уравнениями теории тонких оболочек  
(
)
(
)
η
η
θ
η
η

μ
ν

=
η


ν
+
θ

η


ν
+
+
θ


ν

+
η








μ
ρ
ν


q
P
h
u
R
u
R
u
R
u
c
r
0
0
0
0
2
0
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1

    
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
η

μ
ν

=
θ


+
θ


+
η


⎟⎟


⎜⎜


μ
ρ

ν

+
θ

η


ν
+
q
P
h
u
R
u
R
u
c
u
R
r
0
0
0
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
0
0
0
2
2
0
2
1
1
1
1
2
1
2
1
,        (2) 
(
)
(
)
r
r
r
r
r
q
P
h
R
u
u
c
u
h
u
R
u
R

μ
ν


=
+
η


μ
ρ
ν

+


+
θ


+
η


ν
θ
η
0
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
0
2
0
2
1
2
1
12
1

 
где   
η
0

θ
0

r
u
0
 – перемещения  точек  срединной  поверхности  внутреннего  слоя  в 
направлении  осей  цилиндрической  системы  координат  η, 
θ
,  ; 
η

θ

r
P
 – 
составляющие 
интенсивности 
подвижной 
нагрузки 
P

2
2
2
2
2
2
,
,
R
r
rr
r
R
r
r
R
r
r
q
q
q
=
=
θ
θ
=
η
η
σ
=
σ
=
σ
=
 – составляющие реакции внешнего слоя; 
2
rj
σ  – 
компоненты тензора напряжений во внешнем слое (
r
j
,
,
θ
η
=
); 
0
0
0
,
,
ρ
μ
ν
 
– соответственно 
коэффициент  Пуассона,  модуль  сдвига  и  плотность  материала  внутреннего  слоя; 
2
∇  – 
оператор Лапласа. 
В  установившемся  состоянии  зависимость  всех  величин  от 
η  имеет  вид (1), 
поэтому 
( )
( )
( )


−∞
=
θ
η
η
θ
=
=
θ
θ
=
η
θ
n
in
nj
j
i
ξ
j
j
r
j
e
u
U
e
U
u
,
,
,
,
,
0
0
0
0
. (3) 
 
Подставляя (1) и (3) в (2), для n-го члена разложения получим 
 
(
)
,
2
0
0
0
0
0
0
02
0
2
1
η
η
θ
η

=
ξ
ν

ξ
ν
+
ε
n
n
nr
n
n
q
P
G
u
i
u
n
u
 
(
)
,
2
0
0
0
2
2
0
0
02
θ
θ
θ
η

=

ε
+
ξ
ν
n
n
nr
n
n
q
P
G
inu
u
u
n
 (4) 
(
)
nr
nr
nr
n
n
q
P
G
u
inu
u
i

=
ε
+
+
ξ
ν
θ
η
0
0
2
3
0
0
0
0
2
2

 
где 
(
)
,
,
2
,
2
,
2
2
0
2
0
01
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
01
2
0
2
01
2
0
2
0
s
M
n
n
n
ξ
ν
=
ε
+
+
ξ
χ
=
γ
+
ξ
ν
=
β
ν
+
ξ
=
α
 
0
0
2
2
01
0
2
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
02
0
01
,
6
,
,
/
,
1
,
1
h
R
G
R
h
c
c
c
M
s
s
s
μ
ν

=
=
χ
ρ
μ
=
=
ν
+
=
ν
ν

=
ν

r
j
q
n
rj
nj
,
,
,
)
(
2
θ
η
=
σ
=
 при r = R2. 
Разрешая (4) относительно u0n
η, u0nθ, u0nr, находим 
 
(
)

=
η
η

δ
δ
=
3
1
0
0
,
j
j
n
j
n
j
n
n
q
P
G
u
 
(
)

=
θ
θ

δ
δ
=
3
1
0
0
,
j
nj
nj
j
n
n
q
P
G
u
 (5) 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
35
(
)

=

δ
δ
=
3
1
0
0
j
nj
nj
rj
n
nr
q
P
G
u

 
Здесь  
(
) ( ) (
) (
)
,
2
3
2
1
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
3
2
1
ξ
ξ
ξ
+
ξ
ε

ξ
ε

ξ
ε

ε
ε
ε
=
δ
=
δ
n
n
 
(
)
(
)
,
,
,
3
1
2
2
2
3
2
3
3
2
1
2
2
1
2
3
2
1
ξ
ξ

ξ
ε
=
δ
ε
ξ

ξ
ξ
=
δ
ξ

ε
ε
=
δ
η
η
η
i
 
( )
(
)
,
,
,
3
2
1
2
1
3
2
2
2
3
1
2
2
1
ξ
ξ

ξ
ε
=
δ
ξ

ε
ε
=
δ
δ
=
δ
θ
θ
η
θ
i
 
( )
,
,
,
2
3
2
2
1
3
3
2
3
1
ξ

ε
ε
=
δ
δ

=
δ
δ

=
δ
θ
η
r
r
r
 
n
n
0
02
3
0
0
2
1
,
2
,
2
ξ
ν
=
ξ
ξ
ν
=
ξ
=
ξ

для 
Pnj и qnj индекс = 1 соответствует индексу 
η,  = 2 –  θ,  = 3 – r.  
Для описания движения внешнего слоя оболочки и окружающей среды используем 
динамические уравнения теории упругости 
2
,
1
,
1
div
grad
1
1
2
2
2
2
2
2
=
η


=

+









k
M
M
M
k
k
sk
k
sk
pk
u
u
u
. (6) 
 
Здесь и в дальнейшем индекс k=1 относится к среде, а k=2 – к внешнему слою оболочки; 
sk
sk
pk
pk
c
c
M
c
c
M
/
,
/
=
=
 – числа  Маха; 
(
)
k
k
k
pk
c
ρ
μ
+
λ
=
2

k
k
sk
c
ρ
μ
=
 – скорости 
распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде и внешнем слое оболочки; 
)
2
1
/(
2
k
k
k
k
ν

ν
μ
=
λ

k
μ  – модули сдвига, 
k
ν  – коэффициенты Пуассона, 
k
ρ  – плотности, 
k
 – векторы смещений точек пространства и внешнего слоя. 
Выражая векторы смещений через потенциалы Ламе 
 
(
)
(
)
2
,
1
,
rot
rot
rot
grad
3
2
1
=
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
=
η
η
k
k
k
k
k
e
e
u
,  
(7) 
преобразуем уравнения (6) к виду 
2
,
1
,
3
,
2
,
1
,
2
2
2
2
=
=
η

ϕ

=
ϕ

k
j
M
jk
jk
jk
, (8) 
где 
sk
k
k
pk
k
M
M
M
M
M
=
=
=
3
2
1
,
. 
Выразим  компоненты  напряжённо-деформированного  состояния  (НДС) 
оболочки и массива через потенциалы 
ϕjk
Компоненты вектора uk (7): 
r
r
r
u
k
k
k
rk

η

ϕ

+
θ

ϕ

+

ϕ

=
3
2
2
1
1

θ

η

ϕ

+

ϕ


θ

ϕ

=
θ
k
k
k
k
r
r
r
u
3
2
2
1
1
1
, (9) 
2
3
2
2
1
η

ϕ

+
η

ϕ

=
η
k
sk
k
k
m
u

где 
2
2
1
sk
sk
M
m

=

Используя  закон  Гука  и  соотношения (9), получаем  выражения  для  компонент 
тензора напряжений 
3
3
3
2
2
1
2
2
2
)
2
(
η

ϕ

μ
+
η

ϕ

λ
+
μ
=
σ
ηη
k
sk
k
k
pk
k
k
k
m
M

⎟⎟


⎜⎜


η


ϕ

+
η

θ

ϕ

+
θ


ϕ


θ

ϕ

+

ϕ

+
θ

ϕ

μ
+
η

ϕ

λ
=
σ
θθ
r
r
r
r
r
r
r
M
k
k
k
k
k
k
k
k
pk
k
k
3
2
2
3
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2


ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
36
⎟⎟


⎜⎜


η


ϕ

+
θ

ϕ



θ

ϕ

+

ϕ

μ
+
η

ϕ

λ
=
σ
2
3
3
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
r
r
r
r
r
M
k
k
k
k
k
k
pk
k
rrk

⎟⎟


⎜⎜



η

ϕ

+
+
η

θ

ϕ

+

η

ϕ

μ
=
σ
η
r
m
r
r
k
sk
k
k
k
k
r
2
3
3
2
2
2
1
2
)
1
(
1
2
,                            (10) 
⎟⎟


⎜⎜


η

θ

ϕ

+
+
η


ϕ


η

θ

ϕ

μ
=
σ
ηθ
2
3
3
2
2
2
1
2
)
1
(
2
k
sk
k
k
k
k
r
m
r
r
,  
⎟⎟


⎜⎜


θ

η

ϕ


θ

η


ϕ

+
η

ϕ



ϕ


θ

ϕ



θ

ϕ

μ
=
σ
θ
k
k
k
sk
k
k
k
k
k
r
r
r
r
m
r
r
r
r
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2

 
Потенциалы 
ϕjk также будем искать в виде периодических функций по η 
 
(
)
( )
ξη
θ
Φ
=
η
θ
ϕ
i
jk
jk
e
r
r
,
,
,
.                                          (11) 
Подставляя (11) в (8), получим  
,
2
,
1
,
3
,
2
,
1
,
0
2
2
2
2
=
=
=
Φ
ξ

Φ

k
j
m
jk
jk
jk
 (12) 
 
где 
2
2
∇  – двумерный оператор Лапласа, 
sk
k
k
pk
k
jk
jk
m
m
m
m
m
M
m

=


=
3
2
1
2
2
,
,
1

В  дозвуковом  случае  Msk < 1  (m2k = m3k = msk > 0,  k = 1, 2),  и  мы  приходим  к 
известным решениям уравнений (12): 
- для массива 
( )


−∞
=
θ
=
Φ
n
in
j
n
nj
j
e
r
k
K
a
1
1
,                                                  (13,а) 
- для оболочки 
(
)


−∞
=
θ
+
+
+
=
Φ
n
in
j
n
nj
j
n
nj
j
e
r
k
I
a
r
k
K
a
)
(
)
(
2
6
2
3
2
,                               (13,б) 
 
Здесь 
)
(
),
(
kr
K
kr
I
n
n
 – функции  Бесселя  первого  и  второго  рода  от  мнимого  аргумента, 
ξ
=
1
1
j
j
m
k

ξ
=
2
2
j
j
m
k

j = 1,2,3; 
9
1
,...,
n
n
a
a
 – неизвестные  коэффициенты,  подлежащие 
определению. 
Подставляя (1.13,а)  с  учётом (11) в (9), (10), получаем  формулы  для  вычислений 
компонент напряженно-деформированного состояния массива  
 
(
)
,
)
(
3
1
)
(
1
1
1
∑ ∑

−∞
=
=
θ
+
ξη
=
n
j
nj
n
i
j
n
lj
l
a
e
r
k
K
T
u
 
 
(14) 
(
)
∑ ∑

−∞
=
=
θ
+
ξη
=
μ
σ
n
j
nj
n
i
j
n
lmj
lm
a
e
r
k
K
S
3
1
)
(
1
1
1
1
)
(

где 
η
θ
=
η
θ
=
,
,
,
,
,
r
m
r
l

( )
( )
( )
r
k
K
k
T
r
k
K
r
n
T
r
k
K
k
T
n
r
n
r
n
r
31
31
31
21
21
11
11
11
,
,

ξ

=

=

=

( )
( )
( )
i
r
k
K
r
n
T
i
r
k
K
k
T
i
r
k
K
r
n
T
n
n
n
31
31
21
21
21
11
11
,
,
ξ

=


=
=
θ
θ
θ

( )
( )
i
r
k
K
k
T
T
i
r
k
K
T
n
n
31
2
31
31
21
11
11
,
0
,

=
=
ξ
=
η
η
η

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   48


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет