Курсы оқу құралы
Меншікті мәндер мен меншікті функциялардың экстремальдық
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| 3.
Меншікті мәндер мен меншікті функциялардың экстремальдық қасиеттері. Гильберт-Шмидт теоремасы бойынша, кез келген /г(х) g L2 [a, b] үшін Kh = \K (x,s)h (s)d s = Х ~ Н х ) = Х \ k (*) a n — I Лп n = 1 тендігі орынды, мұндағы, K ( x , s ) e L2(a,b) ал Я,-дер оның меншікті мэндері. Бұл тендіктің оң жағында тұрған қатар орташа жинақгы болғандықтан, оны һ(х)-ке скаляр көбейтуге болады, яғни һ ( к а , а ) = х - г < р . , һ = Z t l («’. ' a ) = S М пО Я п 1 П- I я K ( x , s ) ядросының меншікті мэндері Яп сандары абсолют шамаларының өсу ретімен орналассын, яғни |Я,| < \Я2\ < ••• болсын, ал А, абсолют шамасы бойынша ең кішісі дейік. Онда соңғы теңдіктен ± \ М Егер бұл теңсіздікке Бессель теңсіздігін Ъ(һ,<рУ < \ һ г(х)<іх = ||А||2 п I а пайдалансақ, онда 118 \(КҺ,Һ}< қатысы шығады. Ал һ(х) функциясы бірінші меншікті функция ^ (х )-к е тең болса, онда осы теңсіздік тепе-тендікке айналады. Расында, һ{х) = (рх{х) болса, онда ф (х) = Ж щ тепе-тендігінен ]_ л өрнегін аламыз. Сонымен мынадай тұжырымды дэлелдедік. Теорема. Нормаланған функциялар жиынында (Кһ,һ) скаляр шамасы өзі- нің ең жоғарғы шамасына ие, ол :—- -ге тең ал максимум мәніне һ(х) = срх (х) \ч болғанда жетеді. Енді K [ x , s ) ядросының меншікті функциялары (р{(х),ф2(х\---,(рт ,(х) орто- гонал болатын нормаланған функциялар жиынын қарастырайық, яғни ||/?(х| = 1, (һ, (рх) = (һ, (р2) = • • • = (һ, фтЛ) = 0 болсын. Онда берілген тендіктен (к<р^<Рх\ Һ л, КА = У теңдігін аламыз. Бұл өрнекке жоғарыдағы түрлендірулерді қайталасақ, ( к м ) < Һ I і жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|