Лекция. Кеңістіктегі векторлық алгебраның элементтері №1 Векторлар және оларға қолданылатын сызықты амалдар. Лекция мақсаты

№1 лекция. Кеңістіктегі векторлық алгебраның элементтері

Тақырыптың кәсіби бағыттылығы.

Вектор ұғымы қазіргі математика ғылымындағы іргелі ұғымдардың бірі болып табылады. XIX ғасырдың аяғы мен XX ғасырдың басы векторлық есептеулер мен оларды қолданудың кеңінен дамыған кезеңі болды. Векторлық әдіс – қолданылу аясы өте кең, есеп шығару әдістерінің бірі.

«Векторлар» тақырыбының мектеп математика курсына енгізілгеніне аса көп уақыт болған жоқ (1963 жылдан бастап енгізілген). Мектеп курсында векторлар оқытылуы тиіс пе деген сұрақ бұл күнде талқыланбайды да. Тақырыптың маңыздылығы сол, біріншіден, өзге әдістермен қиынырақ шығарылатын есептер векторларды қолдану арқылы оңай шешіледі, теоремалар оқушыларға түсінікті әрі көрнекі түрде дәлелденеді;

Екіншіден, векторлар математиканың барлық салаларында (алгебра, геометрия, функциялар теориясы, ықтималдықтар теориясы, т.б.) дерлік қолданылады. Бұдан басқа радиотехника, электротехника, антенналар теориясы және тағы басқа салаларда кеңінен қолданыс тауып отыр.

Үшіншіден, «вектор» физиканың да маңызды ұғымы, математика мен физиканың пәнаралық байланысында айтарлықтай рөл атқарады.

Әдістемелік әдебиеттерде «Вектор» тақырыбына көп көңіл бөлінгенімен, ол әлі күнге дейін мектеп математика курсындағы қиын тақырыптардың бірі болып қалып отыр. А.Д.Александров, Л.С.Атанасян, Г.П.Бевз, В.Г.Болтянский, В.Ф.Бутузов, М.Б.Волович, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев, С.Б.Кадомцев, В.М.Клопский, А.Н:Колмогоров, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, И.А.Лурье, А.Ф.Пичурин, В.А.Погорелов, В.И.Рыжик, Г.И.Саранцев, А.Д.Семушин, З.А.Скопец, И.М.Смирнова, В.А.Смирнов, Ф.И.Фетисов және т.б. ғалымдар өз еңбектерінде «Вектор» тақырыбын оқытуда оқушыларға кездесетін қиыншылықтарды анықтауға және оларды болдырмаудың жолдарын іздестіруге назар аударған.

Орта мектептің геометрия курсында «Вектор» тақырыбын оқытудың әдістемесіне арналған О.И.Новгородованың, У.М.Махсудованың, С.В.Бабаджанянның, Н.Я.Мининаның, С.Р.Джапарованың,А.И.Иванованың, А.К.Қағазбаеваның, В.Г.Михееваның, Е.В.Старцеваның, А.М.Суфиеваның, Д.И.Ханның және т.б. диссертациялық жұмыстарында физика мен математиканың пәнаралық байланысы, вектор ұғымын оқып-үйренудегі білімді жүйелеу және бекіту мәселелері, сондай-ақ геометрия есептерін шығаруда векторларды қолдану жағдайлары қарастырылған.

1959 жылы мектеп курсына вектор ұғымын енгізу жайында алғашқы бағдарлама жобасы жарық көрді. Онда тақырып «Векторлар. Координаттар әдісі» деп аталды. Жобаның авторлары В.Г.Болтянский, Н.Я.Виленкин, И.М.Яглом болды. 1962 жылы «Учпедгиз» баспасынан «Орта мектептің геометрия курсындағы векторлар» атты мұғалімдерге арналған көмекші құрал басылып шығарылды (авторлары В.Г.Болтянский, И.М.Яглом) . Бұл құрал оқулық шыққанға дейін мектеп мұғалімдеріне вектор ұғымын анықтаудың бірнеше тәсілдерін ашып көрсетті, әсіресе мектептегі планиметрия курсында вектор ұғымын анықтаудың барлық мүмкін тәсілдерінен мағлұмат беруге тырысты. Оның ішінде, вектор ұғымын параллель көшіру арқылы анықтау тәсілінен бас тарту керектігін негіздеп көрсетті. Вектор ұғымын геометриялық түрлендіру арқылы түсіндіру көрнекілік жағынан жеткіліксіз және векторлық шамалардың физикалық тұрғыдағы түсінігінен алшақтатады деді. Авторлар вектор ұғымының негізгі анықтамасы етіп «вектор деп бағыттас және ұзындықтары бірдей өзара параллель кесінділердің жиынтығын айтады» сөйлемін қабылдайды, бірақ бұл анықтама қаншалықты дәл берілген болса да, оны мектеп курсында қабылдау қолайлы емес екендігін байқайды да, ең дұрысы оқушылар үшін векторды бағытталған кесінді деп қабылдау жеңіл болады деп есептейді. Бірақ мұғалімдер бағытталған кесінді мен вектор ұғымдарының айырмашылығын білулері тиіс деп ескертеді.

1963 жылы шыққан осы авторлардың оқулығында вектор ұғымы бағытталған кесінді деп енгізілген. В.Г.Болтянский мен И.М.Яглом «Түрлендірулер. Векторлар» атты мұғалімдерге арналған еңбектерінде векторды бағытталған кесінді деп ұғынуда міндетті түрде кездесетін қиыншылықтарды тағы да ескертеді. Мысалы, векторды ондай жолмен анықтау математикалық ұғымдардың алмасуы пайда болады, атап айтқанда тең болу және мәндес болу ұғымдары шатысып кетеді. Өкінішке орай, бұл қиындықтардан қалай құтылуға болатынын авторлар көрсетпейді.

В.Г.Болтянский мен И.М.Ягломның оқулықтары екі жыл ғана қолданыста болғандықтан, авторлар вектор анықтамасына өзгерістер жасауға үлгермеді.

1968 жылдың басында А.Н.Колмогоровтың жетекшілігімен орта мектепке арналған математика пәнінің бағдарламасы жасалды, ал 70-ші жылдарда сол кісінің жетекшілігімен 6-8 сыныптарға арналған геометрия оқулығы шықты .

А.Н.Колмогоровтың жетекшілігімен жасалған геометрия курсында вектор параллель көшіру арқылы анықталды. А.Н.Колмогоров векторды анықтаудың тек мынадай екі жолы бар деп түсіндіреді: 1) параллель көшіру арқылы; 2) бағытталған тең кесінділер класы деп түсіну.

Оның пікірі бойынша, вектор ұғымын параллель көшіру арқылы анықтау ең ұғынықты тәсіл. Бірақ бұл анықтама да, В.Г.Болтянский мен И.М.Ягломның ескерткеніндей, оқушыларға жеткілікті дәрежеде ұғынықты болмады. Сол кездегі геометрия курсы, оның ішінде вектор ұғымының анықтамасы оқытушылар, ата-аналар тарапынан, сондай-ақ Кеңес Одағындағы Ғылым академиясының математика бөлімінде де да қызу пікірталас туғызды. Өкінішке орай, А.Н.Колмогоровтың векторды бағытталған кесінді деп анықтау математикалық тұрғыдан дұрыс еместігін ескертуі бүгінгі күнге дейін қолданылымдағы оқулықтарда ескерілмей отыр. Біздің ойымызша оның себебі, әлі күнге дейін математикалық тұрғыдан қайшылықсыз болатын, әрі оқушылардың түсінуіне жеңіл болатын анықтаманың жоқтығында. В.А.Гусев, Ю.М.Колягин мен Г.Л.Луканкиннің «Мектеп геометрия курсындағы векторлар» кітабында айтылған пікірлері де А.Н.Колмогоровтың ойымен бірдей.

Қазіргі қолданылып жүрген оқулықтардағы векторға берілген анықтамалардың мағыналары бірдей. Ә.Н.Шыныбековтың 9-сынып геометрия оқулығындағы вектор ұғымының түсіндірілуін мысалға келтіре кетелік: «Әрбір кесіндінің екі ұшы болатынын жақсы білеміз. Егер осы ұштардың бірін бастапқы нүктесі деп, ал екіншісін – ұшы деп алсақ, онда бұл кесінді бағытталған кесіндіге айналады» дей келіп, векторға мынадай анықтама береді: «Кез-келген бағытталған кесіндіні вектор деп атаймыз» /Геометрия-9, 7-бет/. Мұндай анықтама векторды геометриялық кескіні кесінді болатын геметриялық фигура деп қабылдауға мүмкіндік береді, көпшілік оқушылар мен оқытушылар солай ұғады, ал бұл математикалық тұрғыдан қателіктерге алып келеді.

Оқушылардың векторды есеп шығаруда, жаңа объектіні танып білуде, теоремаларды дәлелдеулерде қолдана білу біліктерін қалыптастыру оқыту процесінің өзекті мәселелерінің бірі. Қазіргі оқулықтарда бұл мәселе үстіртін қарастырылады, вектордың қолданбалы маңыздылығы ашылмайды. Тіпті кеңінен таралған математика оқулықтарында да бұл мәселе жеткілікті деңгейде ашып көрсетілмеген. «Геометрия 7-9» (авторлар Атанасян С.Г. және т.б.), «Геометрия 7-11» (авторлар Погорелов А.В.) оқулықтарында «Векторлар» тақырыбы бұл ұғыммен және оларға қолданылатын амалдармен танысу мақсатында беріледі, оның үстіне ол материалдар 8-сыныптың аяғы мен 9-сыныптың басында өте аз сағаттар көлемінде қарастырылады. Ә.Н.Шыныбековтың 9-сыныпқа арналған «Геометрия» оқулығында «Жазықтықтағы векторлар» тақырыбына оқу жылының басында 15 сағат (математиканы тереңдетіп оқитын сыныптар үшін – 32 сағат) бөлінген.

Вектор ұғымы, бір жағынан көрнекі әрі оқушыларға түсінікті ұғым болып көрінгенмен, оның қолданулары көбінде оқушыларға түсініксіз болып жатады, яғни оқушылардың басым көпшілігі өз беттерінше есептер шығару барысында векторлық аппарат элементтерін қалай қолдануға болатынын анықтай алмайды. Орта мектепті тәмамдаған оқушылар әйтеуір ол ұғымды өткенін біледі, кейіннен оны тез ұмытып кетеді де, тіпті векторларға қолданылатын қарапайым амалдарды орындай алмайды, себебі векторлардың маңыздылығын, көптеген мамандықтар үшін қолдану аясының кең екенін түсінбейді.

Векторлық әдіс геометрияда кеңінен қолданылады. Вектор ұғымының геометрияда қолданылуы кейбір күрделі геометриялық ұғымдарды ықшамды айтуға, геометриялық есептерді шығарудың ерекше бір әдісін табуға мүмкіндік берді. Векторлық әдістің геометрияда қолданылуын екі бағытқа бөлуге болады:

1) Векторлық амалдарды оқып-үйрену барысында геометриялық фигуралардың және оның қасиеттерін колдана отырып есептер шығару.

2) Геометрияда вектор әдісімен теоремаларды дәлелдеу.