Лекция Толық дифференциалды теңдеулер Симмертиялық түрде берілген
жүктеу/скачать 20,87 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема
|
6 лекция Толық дифференциалды теңдеулер Симмертиялық түрде берілген (1) дифференциалдық теңдеуінің сол жағы кейбір екі айнымалы функциясының толық дифференциалына тең болса, яғни (2) онда (1) теңдеуді толық дифференциалды теңдеу деп атайды. Соңғы (2) теңдікті пайдалансақ, (1) теңдеуді былай жазуға болады: (3) Бұдан (4) өрнегі (1) теңдеудің жалпы интегралы болатынын көреміз. Сондықтан осы функциясын табу жолын келтірейік. Айталық (1) теңдеудегі және функциялары кейбір облысында өзінің дербес туындылары және мен бірге үзіліссіз функциялар болсын. Теорема: Берілген (1) теңдеу толық дифференциалды теңдеу болу үшін бір байланысты облысында (5) тепе –теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық (1) теңдеудің сол жағы кейбір функциясының толық дифференциалы болсын: (6) Бұл тепе – теңдіктен мына қатынастарды аламыз: (7) Соңғы қатынастардың біріншісін бойынша, екіншісін бойынша дифференциалдансақ, (8) тепе-теңдіктері шығады. Шарт бойынша тепе-теңдіктердің оң жақтары үзіліссіз. Ендеше оладрың сол жақтары да үзіліссіз. Ал үзіліссіз функцияларының аралас дербес туындылары өзара тең болады да, (9) тепе-теңдігі алынады. Жеткіліктілігі. Айталық, (5) шарт орындалсын. Алдымен (7) қатынастардың біріншісін қанағаттандыратын функциясын іздейік. Сол бірінші қатынасты бойынша интегралдансақ, мынандай функция аламыз: (10) мұнда тек ке байланысты кез келген функция және ол үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Енді осы функциясын (7) қатынастардың екіншіcі орындалатындай етіп алайық, яғни = (11) Бұл жерде мына теңдікті көрсете кетейік: Сондықтан (11) қатынас былай жазылады: немесе (12) Осыдан (13) Осы табылған функцисын (10) өрнекке апарып қоямыз, (14) функциясын аламыз. Ал бұл функцияны кез келген санына теңестірсек, онда берілген (1) теңдеудің жалпы интегралын аламыз: (15) Егер функциясын құруды (7) қатынастардың екіншісінен бастасақ, онда (1) теңдеудің жалпы интегралының түрі мынандай болады: (16) жүктеу/скачать 20,87 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|