2019 – 2020 оқу жылындағы Республикалық олимпиаданың ІІ кезеңіндегі ұсынылған кейбір тапсырмаларға тоқталайық.
10 сынып І тур 3 – есеп. Қабырғасы 1 – ге тең АВСД шаршысына сырттай сызылған шеңбердің ВС доғасынан М нүктесі алынған. АМ және ВД кесінділері Р нүктесінде, ал ДМ және АС кесінділері Q нүктесінде қиылысады. АРQД төртбұрырышының ауданын табыңыз.
Шешуі: М нүктесі ВС доғасының ортасы болсын делік. Онда ВМ = СМ, ∠ВДМ = ∠СДМ, яғни ДМ ВДС бұрышының биссектрисасы болады.
∆ДОС-дан = = ОС - болғандықтан = ⟹ =
В С ал , OQ = R - = , R = яғни OQ = ;
OP = OQ
Р Q = +
О = = ,
А В = 2∙ =
= =
= + + = =
Жауабы: 10 сынып ІІ тур 4 – есеп.Теріс емес x,y сандары x + y ≤1 теңсізігін қанағаттандырады.
8xy ≤ 5x(1 – x ) + 5y( 1 – y ) теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?
Дәлелдеуі: ≤ 1 ⟹ + 2xy + ≤ 1 ендеше, + 8xy + ≤ 4⟹ 8xy ≤ 4 – 4(+) немесе 8xy ≤ 4(1– (+)) демек, 8xy < 5(1– (+)), x + y ≤ 1 болғандықтан, 8xy ≤ 5, яғни 8xy ≤ 5x(1 – x) + 5y(1 – y) x = 1, y = 0 және x = 0, y = 1 болғанда теңдік орындалады.
