ҚОЗҒалысқа арналған есептер

1 
ҚОЗҒАЛЫСҚА АРНАЛҒАН ЕСЕПТЕР 
Мәтінді есептерді кестелік әдіспен шешу үшін олардың шешімін аналитикалық 
іздеудің жалпы тәсілін тұжырымдауға болады: 
1. Есепке талдау жасап, анықтаймыз: 
а) есепте қамтылған шамалардың атауларын; 
ә) осы шамалардың арасындағы функционалдық байланысты, яғни есептегі негізгі 
қатынастарды; 
б) есептегі есептік жағдайлар (элементтер) санын; 
в) әрбір есептік жағдайдағы белгілі және белгісіз шамаларды; 
г) белгісіз шамалардың арасындағы байланысты; 
ғ) ізделінді шаманы. 
2. Әрбір жағдайдағы берілген және белгісіз шамалардың кестеге енгіземіз және 
теңдік, теңсіздік, арифметикалық амалдар белгілерін пайдаланып, белгісіз 
шамалардың сәйкесінше мәндерін өзара салыстырамыз. 
3. Есептің мәтінінің кестелік жазбасы негізінде есептің шешімін іздеу кестесін 
(моделін) құрастырамыз, ол үшін: 
а) белгісіз шаманы таңдау және оны әріппен белгілеу (мысалы, х); 
ә) белгісіз шамалардың сәйкесінше мәндері арасындағы орнатылған байланысты 
және есепте жүзеге асырылған негізгі қатынасты пайдалану; 
б) теңдеуді алуға негіз болатын теңдеуді немесе теңсіздікті жазу;
4. Жазылған теңсіздікті пайдаланып, теңдеуді құрастырамыз. 
5. Есептің шешімін іздеуді аяқтау және алынған теңдеуді шешуге көшу. 
 
Есептің шартына сәйкес құрылатын теңдеулер әдетте қашықтықты, қозғалыстағы 
денелердің жылдамдығын, уақытты, су ағынының жылдамдығын (өзен бойымен 
қозғалыс кезінде) қамтиды. 
Қозғалысқа арналған есептердің негізгі түрлері келесідей болады: 
1) түзу сызықты қозғалысқа арналған есептер; 
2) шеңбер бойымен қозғалысқа арналған есептер; 
3) судың бойымен қозғалысқа арналған есептер. 
Мұндай есептерді шешу кезінде келесідей жорамалдар іске асады: 
1. Егер арнайы ескертулер болмаса, онда қозғалыс бірқалыпты болып есептеледі. 
2. Қозғалыстағы денелердің бұрылысы, жаңа қозғалыс режиміне көшу лездік 
болып есептеледі. 
3. Егер дене х меншікті жылдамдығымен ағыс жылдамдығы y-ке тең өзен бойымен 
қозғалса, онда дененің ағыс бойымен қозғалыс жылдамдығы – (x + y), ал ағысқа қарсы 
жылдамдығы – (x - y) болып есептеледі. 
Түзу сызықты қозғалысқа арналған есептердің негізгі компоненттері: 
s – жүрген жол, v – жылдамдық және t  - уақыт. 
Көрсетілген шамалар арасындағы байланыс келесі формуламен өрнектеледі: 
t
s

=

;
t
s
=

;

s
t
= . 
Бұл шамалар бір өлшем бірлік жүйесінде болуы тиіс. 
Есепті шешу жоспары: 
1) белгісіздер ретінде әдетте қашықтықты (егер ол берілмесе) немесе қозғалыстағы 
денелердің жылдамдығын таңдайды; 

2 
2) мұндай есептерде теңдеулерді құрастыру үшін ереже бойынша келесідей 
тұжырымдар қолданылады: 
а) егер екі дене бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалысты біруақытта бастайтын 
болса, онда олар кездескенге дейінгі қозғалыс уақыты: 
;
2
1
v
v
s
+
ә) егер денелер қозғалысты әртүрлі уақытта бастайтын болса, онда олар 
кездескенге дейінгі қозғалыста көп уақытты ерте шығатын дене жұмсайтын болады; 
б) егер денелер бірдей қашықтық жүретін болса, онда осы қашықтықтың шамасын 
есептегі белгісіз деп алған дұрыс болады; 
в) денелер бір бағытта қозғалыс кезінде 
(
)
2
1
v
v

бірінші дененің екінші денені қуып 
жетуге кеткен уақыты: 
.
2
1
v
v
s
−
Есепті шешу жоспарын жүзеге асыру үшін келесі амалдарды орындаймыз: 
1) есептің шарты бойынша белгісіз (жылдамдық) болатын бір шаманы таңдап, оны 
х арқылы белгілейміз;
2) есептің шарты бойынша қандай шама белгілі (жол) екенін анықтаймыз;
3) қалған үшінші шаманы (уақыт) белгісіз х арқылы өрнектейміз; 
4) кестені толтырып, есептің шарты бойынша белгісіз және белгілі шамалар 
арқылы өрнектелген теңдеуді құрастырамыз. 
Қозғалысқа арналған есептерді шешу кезінде есептің барлық шарттарын 
бейнелейтін сурет салуға болады. Мұнда алдымен есепті шешу жоспарын таңдап алу 
керек, яғни қандай теңдеуді құрастырамыз, нені салыстырамыз (жолдың әр 
бөліктерінде жүрген қозғалысқа кеткен уақыттарды немесе әрбір бөліктерде жүрген 
жолдарды). 
Сондай-ақ қозғалысқа арналған есептерді шешу кезінде әдетте екі нүктеден 
біруақытта бір-біріне қарама-қарсы және әртүрлі жылдамдықтармен қозғалысты 
бастаған екі дененің кездесу уақытын немесе бір денені екіншісі қуып жеткен 
уақытын табу керек болады. 
Денелердің қозғалысы кезінде әртүрлі жағдайлар болуы мүмкін. 
А және В нүктелерінің арақашықтығы s болсын. Екі дене бірқалыпты қозғала 
бастады, бірақ олардың жылдамдықтары әртүрлі v
1
және v
2
. С нүктесі – кездесу 
нүктесі, ал t – кезкескенге дейінгі қозғалыс уақыты болсын.
Денелердің бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалысы кезінде АС=v
1
t, BC=v
2
t 
болады. Осы екі теңдікті қосамыз: 
АС + СВ = v
1
t + v
2
t = (v
1
+v
2
)t
 AB = s = (v
1
+v
2
)t

2
1
v
v
s
t
+
=
. 
Егер бір дене екіншісін қуып жетсе, онда табамыз: АС=v
1
t, BC=v
2
t. 
Осы теңдіктерді азайтамыз: АС – ВС=(v
1
–v
2
)t. 
А 
С 
В 
v
1
 
v
2
 
А 
С 
В 
v
1
 
v
2
 

3 
АС – ВС =AB = s болғандықтан, бірінші дененің екіншісін қуып жетуге кеткен 
уақыты келесі теңдікпен анықталады:
2
1
v
v
s
t
−
=
.