«Техникалық механика» пәнінен Лекциялар жинағы Ақсукент 2021ж

Бір қалыпты айналмалы және бір қалыпты айнымалы айналмалы қозғалыстар

жүктеу/скачать 1,87 Mb.

бет	35/76
Дата	31.12.2021
өлшемі	1,87 Mb.
	#22919
түрі	Лекция

1 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 ... 76

2.2.3. Айналмалы қозғалыстағы дeнe нүктeлeрінің жылдамдықтары және үдeулeрі
2.3. Қатты дeнeнің жазық параллeль қозғалысы 2.3.1. Қатты дeнeнің жазық параллeль қозғалысының заңы, оның анықталу тәсілдeрі

Бір қалыпты айналмалы және бір қалыпты айнымалы айналмалы қозғалыстар. Егер қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу ε=0 болса, онда қозғалыс ω=const тұрақты бұрыштық жылдамдықпен орындалады. Мұндай қозғалысты бір қалыпты айналмалы қозғалыс деп атаймыз. Осындай қозғалыстың бұрыштық жылдамдығының анықтамасынан мынадай өрнек алынады:

.

Егер t₀ = 0 болғанда φ = φ₀ десек, соңғы теңдіктен мынадай формула шығады:

, (2.72)

мұндағы бастапқы φ₀ = 0 болып келген жағдайда (2.72) –теңдіктен:

және . (2.73)

Дененің айналысы кезінде оның бұрыштық үдеуі ε т±рақты болатын болса, онда мұндай айналмалы қозғалысты бір қалыпты айнымалы дейміз.

Бұрыштық үдеу анықтамасынан:

.

Бұл теңдікті сәйкес алынған шектерде (t₀=0 саналады) интег-ралдау арқылы, мынадай формула аламыз:

. (2.74)

Бұл формуламен ε=const болған жағдайдағы бұрыштық жылдамдық анықталады. (2.74) –тің екі жағында dt-ға көбейтіп интегралдау арқылы мынадай формула аламыз:

. (2.75)
2.2.3. Айналмалы қозғалыстағы дeнe нүктeлeрінің жылдамдықтары және үдeулeрі
Қозғалмайтын өсті айналатын қатты дене нүктелерінің қозғалысын қарастырайық. Мұндай дененің барлық нүктелерінің қозғалыс кезіндегі траекториялары, жазықтықтары айналу өсіне перпендикуляр, ал центрлері айналу өсінде жататын, концентрлі шеңберлер болады. Дененің айналу өсінен h қашықтықта жатқан кез келген бір нүктесі М-ді алайық. Бұл нүктенің жылдамдығының шамасы:

, (2.76)

формуласымен есептелінеді, ал векторы, радиусы h, центрі О нүкте-сінде жататын шеңберге жанамамен, айналыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.16-сурет).

(2.76)-шы формула нүкте М-нің жылдамдығын геометриялық әдіспен табуға мүмкіндік береді. Ал жылдам-дықты векторлық тәсілді қолданып табуға да болады. Ол үшін берілген нүкте М-нің Oxyz өстер жүйесіндегі радиус-векторын алайық. Осы және векторының векторлық қөбейтіндісін құрайық: (2.16 сурет).

Бұл көбейтіндінің модулі:

. (2.77)

(2.77)–теңдік, векторлық көбейтіндінің модулі, нүкте жылдам-дығының (2.76) формуламен есептелінетін модуліне тең екенін көрсетеді. Осыдан соң векторының бағытына тоқтайық. Бұл вектор, үшбұрыш ΔO₁MO жазықтығына М-нүктесіне тұрғызылған перпендикуляр бойыменен векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталғанын 2.16-суреттен көруге болады. Сонымен бұл айтылғандардан, екі вектор, және бір-біріне тең екенін көреміз. Демек мынадай формуланың орынды екені дәлелденеді:

. (2.78)

(2.78)–формула қатты дене кинематикасындағы маңызды формула. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталады.

Дененің кез келген нүктесі М, радиусы h=О₁М және жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр орналасқан, шеңбер сыза отырып қозғалады дедік. Демек бұл нүктенің толық үдеуін екі құраушыға жіктеу арқылы анықтай аламыз (2.17-сурет). Шењбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі:

, (2.79)

және оның нормаль үдеуі:

. (2.80)

Егер дененің айналмалы қозғалысы үдемелі болса, онда жанама үдеу жылдам-дықпен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал ол кемімелі болған жағдайда жанама үдеу жылдамдыққа қарама-қарсы жаққа қарай бағытталады. Ендігі жерде айналмалы қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі ā-векторын құраушылары ā_ және ā_n арқылы анықтау мына формулалар арқылы жүргізіледі:

, (2.81)

. (2.82)

Егер векторының модулі ||=const болып, оның бағыты ғана уақыт өсуіне қарай өзгеретін болса, онда (2.78)-формуладан мынадай теңдік алынады:

. (2.83)

Бұл теңдіктегі радиус-вектор -дің бұрылуының бұрыштық жылдамдығы. Енді (2.83) теңдігінің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық:

. (2.84)

(2.84)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыш векторларды жеке-жеке қарастырайық. Ондағы бірінші қосылғыш вектор модулі М-нүктесінің жанама үдеуіне тең:

. (2.85)

(2.85)–тің оң жағындағы бірінші вектор, М-нүктесіндегі жылдам-дық векторы мен бағыттас. Демек, бұдан:

(2.86)

Ал енді ондағы екінші қосылғыш вектордың модулі:

. (2.87)

Бұл вектор МО₁ түзуінің бойымен О₁ центріне қарай, айналу өсіне перпендикуляр бағытталады. Демек:

. (2.88)

Сонымен, (2.80) – (2.82) формулаларын векторлық тәсілді қолда-нып та алуға болатынын көрсеттік.

2.3. Қатты дeнeнің жазық параллeль қозғалысы

2.3.1. Қатты дeнeнің жазық параллeль қозғалысының заңы, оның анықталу тәсілдeрі

Егер қатты дененің барлық нүктелері қандайда бір қозғал-майтын жазықтыққа параллель қозға-латын болса, онда дененің мұндай қозға-лысын жазық – параллель қозғалыс дейміз (2.20-сурет). Қозғалмайтын жазықтықты (ж)-деп белгілейік. Дененің О нүктесі арқылы (ж) жазықтығына параллель етіп (ж) жазықтығы дененің (S) қимасын береді.

Бұл (S) – қиманың барлық нүкте-лерінің негізгі (ж) – жазықтығынан қашықтықтары қозғалыс кезінде өзгер-мейді, тұрақты болады. Демек, (S) – қимасы үнемі (ж) – жазықтығында жатады және ол өзінің пішінін өзгертпейді.

Сөйтіп, қатты дененің жазық – параллель қозғалысын зерттеу оның қозғалмайтын жазықтыққа параллель қималарының бірінің мысалы (S)–тің, жататын (ж) – жазықтықтың бетімен қозғалуын зерттеуге келтіріледі. Қозғалмайтын Ωξηζ және жазық фигура (S)–ке қатаң бекітілген Oxyz координаттар жүйеле-рін таңдап алайық (2.21-сурет).

Қозғалмалы Oxyz координаттар жүйесінің бас нүктесі О-ны бұдан былай «полюс»-дейміз.

Полюс О-ның өстеріне қатысты координаттарын ξ₀ және η₀ деп бел-гілейік. Сонда, мына теңдеулер:

(2.89)

жазық фигураның қозғалмайтын Ωξη координаттар жазықтығындағы қозғалысын анықтайды. Демек, бұлар жазық фигураның өз жазықтығындағы қозғалысының, күрделі қозғалыс екенін көрсетеді. Оны негізгі екі қүрауышы қозғалысқа жіктеуге болады. Олардың біреуі, жылдамдығы полюс жылдамдығына тең, ілгерілемелі қозғалыс, ал екіншісі, қозғалмайтын центр ретінде қарастырылатын полюс О арқылы өтіп, жазық фигура жазықтығына перпендикуляр орналасатын лездік өс жанындағы, лездік айналыс.

Мысал. Қосиін-бұлғақты механизмде қосиіннің айналу центрі жылжыма В-ның горизонталь траекториясынан а қашықтықта орналасқан. Қосиіннің бұрылу бұрышы y=kt заңдылығымен өзгереді, мұндағы -тұрақты коэффициент. Қосиіннің ұзындығы OA=r, ал бұлғақтікі AB = l.

Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулерін анықтау керек.

2.22-сурет

Шешуі. Бас нүктесі O болатын қозғалмайтын xOy координаттар жүйесін жүргіземіз (2.22-сурет). Бас нүктесі А болатын қозғалмалы x₁Ay₁координаттар жүйесін таңдап аламыз. Сонымен, қосиіннің A нүктесі полюс болады.

Полюстің қозғалыс теңдеулерін жазамыз:

Бұлғақтың бұрылу бұрышы мен уақыт арасындағы байланысы болатын үшінші теңдеуді табу үшін, AB кесіндісін y өсіне проекциялаймыз. x₁ және x өстерінің арасындағы бұрышты арқылы белгілеп, мынадай теңдік аламыз:

немесе, AB = l, OA = r, y = kt болғандықтан:

Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулері мынадай болып шығады:

жүктеу/скачать 1,87 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 ... 76