Тексерген: Тенгаева А. А
жүктеу/скачать 128,27 Kb.
|
|
Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті СӨЖ 3 Тақырыбы: Иррационал, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу. Тексерген: Тенгаева А.А. Орындаған: Дуйсембаева Т.Е. Алматы, 2023 Иррационал, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу. Иррационал теңдеуді шешудің жалпы әдістері. 1) Егер иррационал теңдеуде бір ғана түбір белгісі болса,онда түбір белгісі теңдеудің бір жақ бөлігінде қалатын етіп түрлендіреміз.Одан кейін теңдеудің екі жақ бөлігін бірдей дәрежеге шығару арқылы рационал теңдеу аламыз. 2) Егер иррационал теңдеуде екі немесе одан көп түбір белгісі болса,онда алдымын түбірдің біреуін теңдеудің бір жақ бөлігінде қалдырып, теңдеудің екі жақ бөлігін бірдей дәрежеге шығарамыз.Содан кейін рационал теңдеу алғанша осы тәсілді қайталаймыз. Иррационал теңдеудің екі жақ бөлігін бірдей дәрежеге шығарған кезде, шыққан теңдеу берілген теңдеуге мәндес бола бермейді.Сондықтан табылған мәндерді міндетті түрде тексеру қажет.Өйткені табылған айнымалының мәндері берілген теңдеуді қанағаттандырмауы мүмкін.Ондай түбірді бөгде түбір деп атайды. 3) Кейбір жағдайларда иррационал теңдеулерді шешу кезінде жаңа айнымалы енгізу тәсілі күрделі иррационал теңдеуді қарапайым түрге келтіру мақсатында қолданылады. Мысал 1. Теңдеуін шешеміз. Шешуі: Берілген теңдеудің екі жақ бөлігін квадраттаймыз. Сонда х + 2 = x2 немесе x2 - х - 2 = 0 теңдеуін аламыз, ал бұл теңдеудің түбірлері: х1 =2, х2 = -1. Тексеру. 1) 2 = 2 2) 1 = -1 Демек х = -1 бөгде түбір. Берілген теңдеудің шешімі 2-ге тең болады. Мысал 2. теңдеуін шешеміз. Шешуі: , х – 5 = 0 , х + 2= 0 , теңдеулерін шешіп,келесі мәндерді аламыз. x1 = 5 ; x2 = -2 ; x3 = 7 , , берілген теңдеудің шешімі 7-ге тең немесе одан үлкен болуы керек. Сондықтан теңдеудің жауабы 7-ге тең. Мысал 3. теңдеуін шешеміз. Теңдеудің түбірі бөлігін бір жақ бөлігінде қалдырып түрлендіріп,жүйе құрамыз енді теңдеудің екі жақ бөлігін квадраттаймыз. немесе x2 + 5x + 1 = 4x2 - 4x + 1 осыдан мынадай теңдеу аламыз, бұдан x1 = 0 және x2 = 3 Тексеру. 1) . Демек x1 = 0 түбірі теңдеуді қанағаттандырмайды.яғни ол бөгде түбір. 2) .теңдік дұрыс сондықтан берілген теңдеудің жауабы 3-ке тең. Мысал 4. Теңдеуін шешеміз. Шешуі: Берілген теңдеуді шешу үшін жаңа айнымалы енгіземіз.яғни деп белгілеп,мынадай квадрат теңдеу аламыз. y2 + у – 2 = 0. Бұл теңдеудің түбірлері у1=1, y2=-2 Онда 1) және 2) . теңдеуінің түбірі х=1 , ал теңдеуінің түбірі болмайды,себебі болуы керек, сондықтан берілген теңдеудің шешімі 1-ге тең. ; ; КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ: Теңдеудің екі жағын бірдей негізге келтіру;(оқытушы түсіндірмесі) Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару; (оқытушы көмегімен түсіндіру) Жаңа айнымалы еңгізу; (оқытушы мен оқушы түсіндірмесі) Теңдеудің екі жағын көрсеткіштік функцияға бөлу; (оқытушы түсіндірмесі) Графиктік тәсілді қолдану (оқушылардың өздігінен зерттеу жұмысы) Көрсеткіштік теңдеулер жүйесі (оқытушы түсіндірмесі) Көрсеткіштік теңсіздіктер жүйесі (оқытушы түсіндірмесі) 1. ТЕҢДЕУДІҢ ЕКІ ЖАҒЫН БІРДЕЙ НЕГІЗГЕ КЕЛТІРУ: Теорема : Егер болса, онда теңдеуінен f теңдеуін аламыз. 1.Тапсырма: Теңдеуді шеш Жауабы: 2. ОРТАҚ КӨБЕЙТКІШТІ ЖАҚША СЫРТЫНА ШЫҒАРУ: Бұл тәсіл бойынша ортақ көбейткіш жақша сыртына шығарылып, теңдеу қарапайым көрсеткіштік теңдеуге келтіріледі. 2.Тапсырма: Теңдеуді шеш : Жауабы: 3. ЖАҢА АЙНЫМАЛЫ ЕҢГІЗУ: Көрсеткіштік функцияны жаңа айнымалы арқылы белгілеп, теңдеуді шешу әдісі. 3. Тапсырма: теңдеуін шығарайық теңдеуіндегі екенін ескерсек, квадрат теңдеуін аламыз. жаңа айнымалысын енгізсек, теңдеуі шығады, оның түбірлері . Ендеше . Көрсеткіштік функцияның мәндер жиыны тек оң сандар болғандықтан, теңдеуінің шешімі жоқ. 4. ТЕҢДЕУДІҢ ЕКІ ЖАҒЫН КӨРСЕТКІШТІК ФУНКЦИЯҒА БӨЛУ: К ейбір көрсеткіштік теңдеулерде екі немесе одан да көп көрсеткіштік функциялар берілуі мүмкін.Ондай жағдайда көрсеткіштік функцияның мәні нөлге тең болмайтынын ескеріп,теңдеудің екі жақ бөлігін де көрсеткіштік функцияға мүшелеп бөле отырып, оны шешу жолы белгілі теңдеуге келтіреміз. 4.Тапсырма: 5. ГРАФИКТІК ТӘСІЛДІ ҚОЛДАНУ: aφ(x)=f(x) түріндегі теңдеулер Ал мұндай теңдеулер түбірлерінің жуық мәндерін графиктік тәсілмен табуға болады. ax=b a>0, a≠1, b>0 y=b түзуі y=ax функциясының графигін бір ғана нүктеде қиып өтеді. Қиылысу нүктесінің абсциссасы берілген көрсеткіштік теңдеудің түбірі болады. Тапсырма 5: 2x=6-x Шешуі: y=6-x түзуі y=2x функциясының графиктерін сызып, олардың қиылысу нүктесінің абсциссасын табайық. Екі графиктің қиылысу нүктесінің абсциссасы x=2. Жауабы: 2 КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ Анықтама. Құрамында көрсеткіштік теңдеуі бар теңдеулер жүйесін көрсеткіштік теңдеулер жүйесі деп атайды Енді теңдеулер жүйесін шешуді қарастырамыз. Тапсырма 6: теңдеулер жүйесін шешейік. Шешуі: Екінші теңдеудің екі жақ бөлігін мүшелеп 2-ге көбейтеміз: жүйенің теңдеулерін мүшелеп қосамыз. Сонда теңдігі шығады осы теңдіктен х-тің мәнін табамыз. Енді табылған х-тің мәнін берілген жүйедегі екінші теңдеуге апарып қойып у-тің мәнін табамыз. Жауабы : (-2 ; 0) КӨРСЕТКІШТІК ТЕҢСІЗДІКТІ ШЕШУ Анықтама: Түрінде берілген немесе осы түрге келетін теңсіздік көрсеткіштік теңсіздік деп аталады. Мысал 6: теңсіздігін шешу керек. Теңсіздікті шешу ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз: Логарифмдік теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу. Анықтама: Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды. Қарапайым логарифмдік теңдеудің түрі:
Мұндағы, a және b – берілген сандар, ал x – тәуелсіз шама. Егер a > 0, және a ≠ 1 болса, онда мұндай теңдеудің x = ab түріндегі бір ғана түбірі болады. Күрделі логарифмдік теңдеулерді шешу алгебралық немесе (1) түрдегі теңдеуді шешуге әкеледі. Логарифмдік теңдеуді шешудің тәсілдерін қарастырайық. 1.Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер. теңдеуін шешейік. Шешуі: логарифмнің анықтамасы бойынша , онда x=2 Табылған айнымалаының мәнін теңдеуге қойып тексереміз: Демек, x=2 мәні теңдеуді қанағаттандырады. Жауабы:2 Логарифмдік функцияның анықталу облысы оң нақты сандар жиыны екені белгілі. Сондықтан логарифмдік теңдеулерді шығару кезінде алдымен айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынын анықтайды. Одан кейін берілген теңдеу шығарылып, табылған айнымалы мәндерінің мүмкін мәндер жиынына тиісті болатыны тексеріледі. Тригонометриялық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу. «Қарапайым тригонометриялық теңдеулер» түрдегі теңдеулердіқарапайым тригонометриялық теңдеулер деп атаймыз. Бұл тақырыптың негізгі мақсаты – қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге дағдыландыру және теңдеуді шешу қабілеттілігін қалыптастыру, теңдеуді графиктік тәсілмен шешуге үйрету. Осы пункт алдыңғы өткен материалды меңгеруге жәнеоларды тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолдануға мүмкіндік береді. Бұл тақырыпты өтпес бұрын алдыңғы тақырыпта өткен анықтамаларын еске түсірген жөн. Бұл пункте алдымен (1) теңдеуін шешу жолын көрсетеді. теңдеуінің шешімін табуға үйренпестен бұрын оқушылар -тың графигін салуды, анықталу облысын табуды білу керек. Егер болса, онда теңдеуінің шешімдері болмайды, өйткені кез келген үшін . Егер болса, онда шешімдері шексіз көп. кесіндіде (1) теңдеуінің бір шешімі бар, ол саны кесіндісінде (1) теңдеуінің шешімі бар , ол - саны. Сонымен кесіндісінде теңдеуінің шешімі бар. функциясы периодты болғандықтан, басқа барлық шешімдердің бұдан айырмашылығы яғни (1) теңдеу түбірлерінің формуласы: . Осыдан дербес жағдайлар қарастырылады. Олар: болғанда, болғанда, болғанда, Бұдан кейін (2) теңдеуі оқытылады. Мұның екі жағдайы қарастырылады: 1) болса, онда (2) теңдеуінің шешімдері жоқ; 2) болса, онда (2) теңдеудің аралығында дәл айтқанда бір шешімі бар және кесіндісінде шешімдері бар. Сонымен, (2) теңдеудің шешімі формуласымен табылады. жұп болғанда, формуласымен тең болса, формуласымен есептеледі. Содан кейін, дербес жағдайларын оқушыларға айтып өтеміз. Яғни, болғанда, болғанда, болғанда, Жағдайлары айтылып кетеді. Бұл түрдегі теңдеуді шешуге оқушыларды дағдыландыру үшін мәтін тақырыбында бір мысал келтірілген. теңдеуінің шешімдері теңдеуінің шешімдері Жаттығулар жүйесінде бірінші деңгейде үш есеп берілген. Келесі параграфта тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерінің 6 түрі қарастырылған. 1. түріндегі теңдеулер. 2. Біртекті теңдеулер. 3. Қосымша бұрыш енгізу әдісі. 4. Белгісізді алмастыру әдісі. 5. Көбейткіштерге жіктеу әдісі. 6. Теңдеудің оң жақ және сол жақ бөліктерін бағалау әдісі. 1 пункте теңдеулері мен шешу әдістері қарастырылып екі мысал көрсетілген. 2 пункте түріндегі теңдеулерді пен -ке қатысты біртекті теңдеулер деп атайды. Мұнда -берілген нақты сандар және әрбір қосылғыштағы пен -тың дәрежелерінің қосындысы -ге тең. Бұл теңдеуді , болатын жағдайда болатынын ескере отырып, -ке бөлу арқылы теңдеуіне келтіреміз. Ал болған жағдайда бұл теңдеуді -ке бөлу керек. 1 мысал қарастырылған. 3 пункт теңдеуін шешудің ең тиімді әдісін түсіндіріп, 1 мысал келтірген. 4 пункте тригонометриялық теңдеулер арқылы түріне келтірсек, мұнда - рационал функция, онда әмбебап алмастыруын қолданады: деп 3 мысал келтірген. 5 пунктe 1 мысал, 6 пункте 2 мысал келтіру арқылы түсіндірген. Жаттығулар жүйесі А,В,С деңгейлеріне бөлініп қойылған. А-ға 3, В-ға 14, С-ға 4 есеп және де қосымша В-ға 9, С-ға 7 есеп берілген. Алтыншы параграфында тригонометриялық теңдеулер жүйелерін шешу: 6.1. түріндегі жүйелер (1) Бұл жүйелерді шешу үшін олардың бір теңдеуіне екіншісін қосып, азайту арқылы және жүйелеріне келтіріп аламыз. Әрине, бұл жүйелердің нақты шешімдері бар болуы үшін теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті деп екі мысал қарастырған. 6.2. түріндегі жүйелер. Оларды белгілеулері арқылы алгебралық жүйелерге келтіріп шешеміз, 1 мысал көрсеткен. 6.3. түріндегі жүйелер. Оларды шешу үшін бірінші теңдеуін көбейтіндіге түрлендіреміз: . Онда бұл жүйені түрінде жазуға болады. Теңдеудің екі жағдайын қарастырып 2 мысал келтірген. 6.4. түріндегі жүйелері. Оларды шешу үшін болғанда Түрінде жазып, екі теңдеуді де квадраттап, қоссақ, онда , бұл теңдеу ғана тәуелді, 1 мысал көрсеткен. Жаттығулар жүйесінде А деңгейіне 3, В деңгейіне 2, С деңгейіне 3 есеп берілген. Тригонометриялық теңсіздіктер: 1. Қарапайым тригонометриядық теңсіздіктерді шешу 2. Тригонометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу Қарапайым тригонометриядық теңсіздіктерді шешуде бірлік шеңберді қолдану қолайлы. Кейбір жағдайларда сәйкес тригонометриялық функциядардың графигін қарастырып, бір период үшін жауабын жазып, содан кейін алынған теңсіздіктің екі жағында қосамыз. Мұнда функцияның периоды, бүтін сан [3]. жүктеу/скачать 128,27 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|