Егер кеңістігіндегі сызықты оператор болса, онда операторының -ға көбейтіндісі деп операторын айтамыз. Ол төмендегі түрде жазылады.
операторы да сызықты және оның матрицасы матрицасының барлық элементін -ға көбейтуден шығады.
матрицасын санына көбейткен кезде келесі теңдіктер дұрыс.
1.
2.
3.
4.
Матрицаны санға көбейту операциясын жүргізген кезде бұл теңдіктердің дұрыстығы шығады.
Сызықты операторлардың рангісін және деффектісін сипаттаңыз .
Анықтамакеңістігінде сызықты оператор берілсін. болғандағы түріндегі барлық жиынтығы операторының мәндер облысы немесе - ны түрлендіргендегі кеңістігінің бейнесі деп аталады, ал барлық болатын векторының жиынын операторының ядросы деп атаймыз.
Мәндер облысы мен сызықты операторының ядросы - дегі ішкі кеңістік болатынын көрсетейік. Шынында да, егер қарастырылған ішкі кеңістік кеңістігімен сәйкестелсе, онда мәндер облысы үшін бұл векторлық кеңістіктің сызықты түрлендіруі кезеңінде әр ішкі кеңістік ішкі кеңістікке ауысады деген теоремадан шығады. Басқаша айтқанда, егер яғни және онда және болады, яғни және ал бұл дегеніміз ішкі кеңістік.
операторының мәндер облысының өлшемі матрицасының рангісімен сәйкес (және операторының рангісі деп аталады). Шынында да,
(1)
мұнда кез-келген - дегі базис векторларымен туындаған ішкі кеңістік. Демек,- дің өлшемі. (1) жүйедегі сызықты тәуелсіз векторлардың максималды санына тең, яғни матрицасының сызықты тәуелсіз бағандарының максималды санына тең.
сызықты оператордың деффектісі деп ядроның өлшемін айтады.
Сызықты операторлардың рангісіне және деффектісіне байланысты теоремаларды жазыңыз.
