1-блок Метрикалық кеңістікке анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз
жүктеу/скачать 1,92 Mb.
|
| Теорема Комплексті евклид кеңістігіндегі кез-келген сызықты операторды мына түрде беруге болады А = В + іС, мұнда В және С эрмитті операторлар.
Дәлелдеуі: Бұл ұйғарым мүмкін делік, онда В* = В және С* =С болғандықтан А* =В* +(іС*) = В* -іС* = В-іС*, А = В + іС және А* =В-іС теңдіктерінен В = -(А + А*) және С =(а*-а) шығады. В =( А + А*) және С = (А* - А) операторлары шынында да өзара түйіндес және А = В + іС екенін көру қиын емес. А = В + іС комплексті санан нақты және жорамал бөлігіне ұқсас. Теорема Евклид кеңістігінде кез-келген азғындалмаған сызықты А операторын А = UС түрінде беруге болады. Мұнда С меншікті саны оң болатын өзара түйіндес оператор, мұндай оператор оң анықталған немесе оң оператор деп аталады, ал U унитарлы оператор (нақты кеңістікте ортогональ оператор). [UС түрінде сызықты операторды жіктеу комплекс санының тригонометриялық формасын еске түсіреді, яғни егер , онда мұндағы , ал саны модулі бойынша 1-ге тең]. Дәлелдеуі: Алдымен мынаны ескерейік: Егер А евклид кеңістігінде кез-келген сызықты оператор болса, онда В = А*А операторы өзара түйіндес болады, өйткені В* = (а*а)* = А*А** = А*А =В. Егер А операторы азғындалмаған болса, онда болғанда болады, демек (Ах,Ах) . Бұл жағдайда В = А*А операторының меншікті сандарының екенін көрсетейік. В операторының меншікті мәні, ал х сәйкес меншікті векторы болсын. Онда х0 және . Бірақ болғандықтан болады. Енді теореманың өзін дәлелдейік. Егер теорема дұрыс болса, яғни А операторын А =UС түрінде бере алсақ , онда В = А*А = (UC)*UС = С2R кеңістігінде В = А*А (өзара түйіндес) операторының матрицасы төмендегі диогональ түрге келетіндей базисті таңдап аламыз. , (1) мұнда екенін жоғарыда дәлелдедік. С арқылы В -дағы «оң квадрат түбірді» белгілейік, яғни С операторының матрицасы сол базисте мына түрде болады: Енді С оң анықталған оператор және екені анық. Егер, енді А = UС десек , онда оператор U= АС -1 болады және бізге U эрмитті екенін көрсету ғана қалады. Ал бұл мына теңдіктен көрініп тұр. U*U=(AC-1)*AC-1=(C-1)*A*AC-1C-1BC-1=C-1C2C-1=EТеорема дәлелденді. кеңістігіндегі функционалдың жалпы түрі. нормасы болады. кеңістігінде берілген осы функционалдың нормасы 7- ге тең. ондатабыңыз. жүктеу/скачать 1,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|