№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер

Еселік интегралдар үшін арнайы таңбаларды алғаш Лаплас енгізді. Бірақ 
алғашқыда бет бойынша алынатын интеграл туралы жалпы ұғым анықтала қойған жоқ.
XVII-XVIII ғғ. эллипстік интегралдар анализдің үлкен саласына айналды. 
Эллипстік интегралдардың ерекше қасиеттерге ие болатын жаңа трансценденттік 
функциялар екендігі анықталды, алғашқы теоремалар ашылды. 
Осы кезеңде иррационал функциялардан алынатын әртүрлі интегралдарды 
эллипстер мен гиперболалардың доғаларына келтіру туралы аса маңызды мәселе зерттелді 
(Маклорен; Даламбер). Эйлер эллипстік интегралдарды қосудың жалпы теоремасын 
тұжырымдады. Эллипстік интегралдарды түрлендіру, интегралдарды классификациялау 
және олардың канондық формаларын анықтау сияқты мәселелер зерттелді. (Эйлер, 
Даламбер, Лагранж, Лежандр, т.б.). Лежандр эллипстік доғаларды ыңғайлы 
тригонометриялық формаға келтіріп, олардың жинақты қатарларға жіктелулерін берді.
XVIII ғ. 2-жартысында арнайы, оның ішінде меншіксіз интегралдарды есептеу 
мәселесі қарастырылып, ол үшін әртүрлі әдістер қолданылды (Эйлер;Лаплас). Меншіксіз 
интегралдарды жорымал алмастырулар жасау арқылы есептеуде (Лаплас;Эйлер; т.б.), 
сандық интегралдауда (Эйлер әдісі; Симпсон формуласы; т.б.) бірқатар табыстар алынды.
2.
Комплекс айнымалылары функциялары теориясының негізін Лейбниц пен 
И.Бернулли салды. Олар арасында пікірталас туындады (логарифм ұғымы және теріс 
санның логарифмінің табиғаты жайында, Арно парадоксы туралы, т.б.). Лейбниц теріс 
санның логарифмі нақты сан емес, ал И.Бернулли нақты сан болады деген тұжырымдар 
жасады. Эйлер И.Бернуллидың ойының негізсіз екендігін және 
ln(−1) = 𝜋√−1
болатындығын дәлелдеді. Ол теріс санның логарифмі жорымал сан болатындығын 
негіздеумен қатар, осы жорымалдықтың математикалық формасын тағайындады. 
 
XVIII ғ. ортасында комплекс аргументтің элементар функцияларының теориясы 
дами бастады (Лейбниц, И.Бернулли, Даламбер, Эйлер, т.б.): оларды дәрежелік 
қатарларға, шектеусіз көбейтінділерге және қарапайым бөлшектерге жіктеу мен комплекс 
айнымалыларды интегралдық есептеулерде қолдану; конформдық түрлендірулер мен 
аналитикалық функциялардың бірден-бірлігі; аналитикалық функцияның нақты және 
жорамал бөліктері арасындағы байланыс; т.с.с.
Осы кезде комплекс айнымалылардың дербес туындылы дифференциалдық 
теңдеулерді шешудегі қолданылу маңызы артты. Даламбер идеал сұйық қозғалысы 
механикасының бір мәселесін қарастыра отырып, оны
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝜗
𝜕𝑦
,
𝜕𝜗
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
теңдеулері 
бойынша екі 
𝑢(𝑥, 𝑦)
және 
𝜗(𝑥, 𝑦)
функцияларын анықтауға келтіріп, комплекс облыстағы 
түрлендірулер арқылы ізделінді функцияларды формулалар түрінде жазып көрсетті. 
𝑢
мен 
𝜗
функцияларының екінші ретті 
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑦
= 0
дифференциалдық теңдеуінің шешімі, яғни 
гармониялық түйіндес функциялар болатындығы тағайындалды (Даламбер,; Лагранж). 
Эйлер идеал сұйықтың жазық потенциалдық қозғалысы туралы есепті шеше отырып, 
жылдамдықтардың проекцияларын бір комплекстік өрнекке біріктіріп, оларды мына түрде 
жазып көрсетті: 
𝑢 ±
𝜗
√−1
=
1
2
𝜑: (𝑥 ± 𝑦√−1) ±
1
2√−1
𝜓: (𝑥 ± 𝑦√−1)
және 
𝑢
мен 
𝜗
функцияларын тригонометриялық қатарлар арқылы өрнектеді. 
 
Анықталған интегралдарды комплекс айнымалылардың көмегімен есептеулер 
туралы маңызды еңбектер жарық көрді (Эйлер). Әрине, XVIII ғ. комплекс облыстағы 
интеграл және комплекс айнымалысы бар функцияның туындысы туралы айқын түсінік 
әлі де болса қалыптаса қоймаған еді. Алайда, соған қарамастан, қатаң түрде болмаса да, 
аналитикалық функциялардың аса маңызды бірқатар қасиеттері анықталды. 
3. 
XVII ғ. соңында дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың алғашқы 
әдістері ұсынылды: айнымалыларды ажырату әдісі; бірінші ретті біртекті теңдеуді 
шешудің алмастыру және интегралдық көбейткішті қолдану әдістері; бірінші ретті 
сызықтық 
𝑦
′
= 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥)
теңдеуінің ізделінді шешімді
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
түрінде өрнектеу 
арқылы айнымалылары ажыратылған түрге келтірілуі;
𝑦
′
= 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥)𝑦
𝑛
теңдеуін 

шешуде 
𝑦
1−𝑛
= 𝑧
алмастыруының қолданылуы; траекториялар туралы есептің қойылып, 
оның бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қалай келтіруге болатындығының 
көрсетілуі; 
𝑦 + 𝐴𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝐵𝑥
2 𝑑
2
𝑦
𝑑𝑥
2
+ ⋯ + 𝑄𝑥
𝑛 𝑑
𝑛
𝑦
𝑑𝑥
𝑛
= 0
теңдеуінің 
𝑥
𝑝
интегралдық 
көбейткішінің көмегімен шешіп көрсетілуі; т.б. Осының барысында XVIII ғ. 
дифференциалдық теңдеулер теориясы дербес ғылым саласына айналды.
 
Риккати теңдеуі дифференциалдық теңдеулер теориясының дамуындағы жаңа 
кезеңнің бастамасы болды: 
𝑥
𝑛 𝑑𝑞
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑢
2
𝑞
. 
Оны шешкендер: Риккатидің өзі, Иоганн I, 
Николай I, II және Д.Бернулилар. Риккати теңдеуі дифференциалдық теңдеулердің 
табиғаты мен қасиеттерін түсінуге сара жол ашты.
Бұл кезеңде қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясы негізінен, мынадай 
төрт бағытта дамыды: 1) сызықтық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу әдістерін 
іздеу; 2) сызықтық емес теңдеулерді шешу әдістерін табу; 3) дифференциалдық 
теңдеулерді жуықтап интегралдаудың сандық әдістерін жасау; 4) дифференциалдық 
теңдеулердің ерекше шешімдерін қарастыру.
Қорыта айтқанда, XVIII ғ. соңына қарай қарапайым дифферециалдық теңдеулер 
туралы ілім дербес ғылым саласы ретінде қалыптасты. Жоғарыда атап көрсетілген төрт 
бағыттағы қол жеткізілген нәтижелер дифферециалдық теңдеулер теориясының қарқынды 
дамуына жол ашты.
XVIII ғ. дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясы пайда болды. 
Мұндай теңдеулерді интегралдаудың алғашқы мысалдары Эйлер еңбектерінде 
ұшырасады. Ол алғашқы болып, 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
және 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
теңдеулерін қарастырды. 
Шектің тербелісі туралы есеп ұсынылып (Тейлор), оны шешу 
𝜕
2
𝑦
𝜕𝑡
2
= 𝑎
2 𝜕
2
𝑦
𝜕𝑥
2
дифференциалдық теңдеуіне келтірілді (Даламбер), оның жалпы шешімі ұсынылды 
(Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли) және қатар түрінде өрнектеп көрсетілді. 
 
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясында маңызды ғылыми 
нәтижелер алынды: бірінші ретті бірқатар теңдеулерді толық дифференциалдарға келтіре 
отырып шешу жүзеге асырылды (Даламбер, Эйлер); екі айнымалысы бар функция үшін 
жалпы түрдегі 
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑄(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)
теңдеуді шешу жүзеге асырылды 
(Лаплас, Лагранж); «каскадтар әдісі» (Лаплас), берілген теңдеуді қарапайым 
дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтіру әдісі (Лагранж) ұсынылды; 1-ретті 
сызықтық емес теңдеулердің жалпы 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞) = 0 ( 𝑝 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
, 𝑞 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
түрін зерттеуде 
айтарлықтай нәтижелер алынды (Лагранж); үш айнымалысы бар бірінші ретті теңдеудің 
төрт айнымалысы бар сызықтық теңдеулерге келтірілетіндігі анықталды (Эйлер); бірінші 
ретті сызықтық емес дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі («Лагранж-
Шарпи әдісі») табылды; дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің геометриялық 
теориясы жасалды, бірқатар беттердің дифференциалдық теңдеулері қорытып 
шығарылды, характеристикалар әдісі жасалып, бірінші ретті дербес туындылы теңдеудің 
қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтірілетіндігі көрсетілді (Монж); 
Пфафф 
теңдеуінің 
(
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 = 0
) 
түсініктемесіне 
айқындық енгізілді (Эйлер, Монж); 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) = 0
түріндегі сызықтық емес 
теңдеулер қарастырылды (Монж); т.б.
Қорыта айтқанда, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясында 
айтарлықтай тәжірибе жинақталды және ол физиканың жаңа салаларының негізгі 
математикалық аппаратына айналды. 

жүктеу/скачать 1,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: