№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер
-дәріс «Математикалық анализ» дәуірі (XVII ғ. 4-ширегі - XIX ғ.)
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Математика тарихы. Дәріс тезистері 2
| 12-дәріс
«Математикалық анализ» дәуірі (XVII ғ. 4-ширегі - XIX ғ.) Қарастырылатын мәселелер: 1. Шекті айырмаларды есептеу және интерполяция 2. Комбинаторика және ықтималдықтар теориясы 3. Аналитикалық, проективтік, дифференциалдық және сызба геометриялар 4. Элементар геометрия 5. Шексіз аздар анализін негіздеу мәселелері 6. Алгебра 1. Шекті айырмаларды есептеу дегеніміз - функция аргументі немесе аргументтері тең қашықтықта орналасатын интервалдарға өзгергенде функцияның қабылдайтын мәндері арасындағы қатынастарды зерттеу. Осы дәуірде шекті айырмаларды есептеудің негізгі есебі айқын түрде қойылды: берілген 𝑓(𝑥) функциясы үшін 𝑥 0 , ℎ және 𝑛 алдын ала берілгенде , дәл және жуық түрде 𝑆 𝑛 = 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑓(𝑥 0 + ℎ) + 𝑓(𝑥 0 + 2ℎ) + ⋯ + 𝑓(𝑥 0 + 𝑛ℎ) қосындысын табу керек. XVII ғ. соңында Ньютон, алты интерполяциялық формуланы ашты. «Интерполяция» сөзін алғаш рет Валлис қолданды. де Ланья теңдеулерді жуықтап шешуде жоғары ретті айырмаларды пайдалану жолдарын көрсетті; Стирлинг Ньютонның интерполяциялық әдісін жетілдіруде отырып, шекті айырмалар теориясының берік негізін қалады, Стирлинг формуласын қорытып шығарды, Муаврдың рекуренттік қатарлар теориясының идеяларын дамытты; Эйлер айырмалар үшін 𝛥 у, 𝛥 2 𝑦 , 𝛥 3 𝑦 , ... таңбаларын енгізді; шекті айырмалар теориясының негіздерін алғаш жүйелі түрде баяндап беруді жүзеге асырды. XVIII ғ. екінші жартысында функциялық тәуелділіктің жуық түрде өрнектелуіне қатысты жаңа көзқарастарға байланысты интерполяция мәселесінің жаңаша қойылуы пайда болды. Лагранж интерполяциялық көпмүшеліктердің өрнектелулерін тапты (Лагранж формуласы). Шекті-айырмалы теңдеулер теориясының негізі салынды. XVIII ғ. сызықтық емес айырмалы теңдеулерді шешуде бірқатар нәтижелер алынды: функционалдық теңдеулер оларды сызықтық емес айырмалы теңдеулерге келтіру арқылы (Лаплас), ал соңғы теңдеулер сызықтық түрге келтіру арқылы шешілді (Монж); біртекті емес сызықтық ∆𝑦 + 𝑀(𝑥)𝑦 = 𝑁(𝑥) теңдеуін 𝑃(𝑥) + ∆𝑃 түріндегі көбейткіштің көмегімен шешу жолы табылды (Трамблей); шекті-айырмалы теңдеулердің ерекше шешімдері зерттелді (Шарль); ∆𝑥 айырмасы тұрақты емес 𝑥 -тің функциясы болатын жағдай қарастырылып (Монж), жалпы түрде зерттелді (Лорньа). XVIII ғ. соңына қарай дифференциалдық-айырмалы теңдеулерді зерттеу қолға алына бастады (Кондорсе, Лаплас, Лорньа, т.б.). Мұндай теңдеулер аралас-айырмалы теңдеулер деп те аталады. 2. XVIII ғ. комбинаторика математиканың шектеулі жиын элементтеріне қолданылатын ерекше операцияларды зерттейтін дербес саласына айналды. Я.Бернуллидың «Ұйғару өнері» басылып шықты. Онда алғаш рет орналастырулар формуласы көрсетілді: 𝐴 𝑛 𝑚 = 𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑚 + 1) = 𝐶 𝑛 𝑚 𝑃 𝑚 ; натурал сандардың натурал дәрежелерінің қатарын қосындылау мәселесі жалпы түрде қарастырылды; т.б. Эйлер Бернулли сандарының қасиеттері мен шектеулі айырмалар теориясында қолданылуын көрсетті; комбинаторлық сипаттағы бірқатар теориялық-сандық есептерді шешуді жүзеге асырды; теру және орналастыру ұғымдарын және тудыратын функциялар әдісін енгізді; 𝑃 𝑛 = 2·6·10·…·(4𝑛−10) 2·3·4·…·(𝑛−1) , мұндағы 𝑛 ≥ 3 формуласын тапты. Комбинаторикада басқа да жаңалықтар ашылды: көпмүшелік дәрежесінің жіктелуі қорытып шығарылды (Маклорен, Эйлер, Бошкович, Гинденбург, т.б.); қатарларды көбейту мен бөлудің, дәрежелеу мен олардан түбір табудың, әртүрлі трансценденттік функциялардың жіктелуінің формулалары анықталды; кей формулалардың анализдің формулаларымен байланысы анықталды, т.с.с. Ықтималдықтар теориясының дамуының жаңа кезеңі Я.Бернуллидан басталады. («Ұйғару өнері»). Мұнда: ықтималдықтар теориясының әртүрлі есептері шешіп көрсетілді; атақты Бернулли теоремасы қорытып шығарылды, т.б. Ықтималдық идеялары мен әдістерін өлім-жітім мәселелерінде, өмір мен тауарларды сақтандыруда, т.б. қолдану жүзеге асырылды; математикалық үміт формуласы қорытып шығарылды; ер балалар мен қыз балалардың туылу сандарының қатынасы туралы классикалық есеп шешілді (Николай I Бернулли); Муавр-Лапластың шектік теоремалары дәлелденді; қалыпты үлестірім заңы ашылды; өлім-жітім мәселелерінде үздіксіз бірқалыпты үлестірім жүйелі түрде пайдаланылды; құмар ойындар теориялық- ықтималдық тұрғысынан зерттелді; т.б. Статистикаға арналған бірқатар кітаптар жарық көрді (Арбутнот, Н. ІІ Бернулли, де-Муавр, Симпсон, Зюсмильх, т.б.). Бірдей жастағы адамдардың аман қалу ықтималдығы туралы есептер шешілді; тұрғындар санының уақытқа байланысты өсуінің жуық түрдегі формуласы табылды; лотереялардың, демография мен сақтандыру ісінің теориялық- ықтималдық мәселелері шешілді (Эйлер). Ықтималдықтар теориясының дамуына Д.Бернулли, Байес, Даламбер, Ламберт, Лаплас өлшеусіз үлес қосты. Олардың еңбектерінде: ықтималдықтар теориясында дифференциалдық теңдеулер қолданылды; қалыпты үлестірім кестелері жарияланды; «моральдық үміт» ұғымы енгізілді; қалыпты үлестірім заңы қорытып шығарылды; ең көп шындыққа сиятын принцип қолданылды; «Петербург парадоксы» шешілді; Байес формуласы ашылды; т.б. Қорыта айтқанда, XVIII ғасырда ықтималдықтар теориясының негізгі бағыттары белгіленіп, оның дамуының классикалық дәуірі аяқталуға бет бұрылды. 3. XVII ғ. соңы мен XVIII ғ. басында аналитикалық геометрия бойынша бірқатар еңбектер шықты (Лагир, Озанам, Лопиталь, Вольф, т.б.). Алайда, олардың авторлары координаталар туралы декарттық түсініктерден арыла қоймады. Алгебралық қисықтар бойынша еңбектер шықты (Маклорен, Брейкенридж, Мопертьюи, де Мальв, т.б.). Бірақ, бұл жұмыстарда аналитикалық геометрия бойынша ірі жаңалықтар ашыла қойған жоқ. Аналитикалық геометрияның кең жолға шығып, жүйелі ғылымға айналуына Эйлер еңбектері үлкен әсерін тигізді. Оларда мына мәселелер қарастырылды: тік бұрышты және қиғаш бұрышты координаталар мен үздіксіз қисық сызықтар; тік және қиғаш бұрышты координаталарды түрлендіру мәселесі; алгебралық қисықтардың реті бойынша жіктелуі; қисықтардың жалпы қасиеттері; 2-ретті қисықтар; алгебралық қисықтардың қасиеттері; 4-ретті қисықтардың классификациясы; қисықтың конгруэнтті болу шарттары; қисықтардың теңдеулерін табу; ұқсастық және аффиндік түрлендірулер; алгебралық қисықтардың қиылысуы және теңдеулерді шешуде қолданылуы; трансценденттік қисықтар; трансценденттік теңдеулерді шешу, т.б. XVII ғ. кеңістіктегі аналитикалық геометрия бойынша мынадай мәселелер шешімін тапты: координалар әдісін үшөлшемді геометрияда қолдану (Декарт, Сен-Винцент,т.б.); кеңістіктегі координата ұғымын енгізу (Лагир); кейбір беттердің теңдеулерін қорытып шығару (Паран); кеңістіктегі координаталар мен беттің теңдеуі ұғымдарына сипаттама беру (И.Бернулли); беттің үш, ал сызықтың екі координатамен өрнектелетіндігін көрсету, кеңістіктегі тікбұрышты координаталарды енгізу, беттердің теңдеулері туралы жалпы түсінік, тікбұрышты координаталарды түрлендіру, 2-ретті беттердің жалпы теңдеулері және оларды қарапайым түрге келтіру, 2-, 3- және жоғары ретті беттердің түрлері, беттерді классификациялау; кеңістіктегі қисықтардың теориясы (Эйлер); бірқатар қисықтар мен беттердің теңдеулерін қорытып шығару (Клеро), т.б. XVIII ғ. соңында жазықтықтағы және кеңістіктегі аналитикалық геометриялар жүйелі баяндалған жаңа сипаттағы оқулықтар дайындауға мүмкіндік туды (Лакруа). XVII ғ. басында проективтік геометрия бірлі-жарым нәтижелердің алынуынан әрі аса алған жоқ. XVIII ғ. мыналар ашылды: конустық қималарды проекциялау арқылы шығарып алу туралы негізгі теорема (Лепуавр), поляралар теориясы (Майлис,), Дезарг теоремасы (Симпсон), сәулелердің проективтік шоғы көмегімен түрлендіру ретінде қарастырылатын түрлендірулер (Уокер), т.б. Алайда, проективтік геометрия Монждың «Сызба геометриясы» шыққаннан кейін (1798) ғана әрі қарай даму мүмкіндігіне ие болды. XVII ғ. соңына қарай дифференциалдық геометрияның дамуында мынадай жаңа бағыттар пайда болды: 1) жазықтықтағы дифференциалдық геометрия (И.Бернулли, Н.II Бернулли, т.б.); 2) кеңістік қисықтары дифференциалдық геометриясы (И.Бернулли, Эйлер, Клеро, т.б.); 3) беттердің дифференциалдық геометриясы (Эйлер, т.б.). Сызба геометрия ғылым саласы ретінде XVIII ғ. соңында пайда болды (Монж). Монждың кітапының негізгі бөлімін «Монж әдісі» құрайды. Онда дифференциалдық геометрия әдістерімен зерттелген нүктелерді, түзулерді және жазықтықтарды және кеңістік қисықтары мен беттерді салудың негізгі есептері шешіп көрсетілді, перспективалар теориясы баяндалды және проективтік геометрияның бірталай теоремалары дәлелденді. 4. XVII ғ. соңына қарай элементар геометрияда: дөңгелекті жуықтап кез келген бөліктер санына бөлу мәселесі шешілді (Ренальдини); шеңбердің өте дәл түрдегі жуықтап түзуленуі анықталды (Коханский); барлық алгебралық квадратталатын айшықтар қанағаттандыратын шарт қорытып шығарылып, квадратталатын төртінші айшықты беретін теңдеу ұсынылды (Д.Бернулли); осындай айшықтар үшін жалпы теңдеу тағайындалды (Крамер); квадратталатын бес айшықтар анықталды (Валлениус); тең бүйірлі үшбұрыш үшін Мальфатти есебі шешілді (Я.Бернулли); Эйлер түзуі және дөңес көпжақтар үшін теоремалар, тетраэдрдың көлемін табуға арналған формулалар дәлелденді, төрт шар жағдайындағы дөңгелектердің жанасуы туралы Аполлоний есебі (Эйлер); элементар геометрияның бірқатар жаңа теоремалары ұсынылды (Стюарт); үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған дөңгелектер центрлерінің ара қашықтығы √𝑅(𝑅 − 2𝑟) болатындығы табылды (Чеппл); т.с.с. Салу есептері бойынша: циркульдің көмегімен негізгі элементар есептерді салу әдістері жүйеге келтірілді (Маскерони); сырттай және іштей шеңберлер сызуға болатын төртбұрыштар туралы есеп қабырғалар саны төрттен артық болатын көпбұрыштар үшін жалпыланды (Фус). Осы дәуірде параллель түзулер теориясы бойынша іргелі зерттеулер жүргізілді (Борелли, Валлис, Джордано, де-Молезье, т.б.). Параллельдік туралы ілімнің теориялық- логикалық жағы мейлінше тереңірек қарастырылып (Саккери), параллельдер теориясының элементар геометрияның аса маңызды проблемасы екендігі анықталды (Даламбер). Параллельдер теориясына арналған зерттеулер саны күрт артты. Осы және т.б. зерттеулердің нәтижелері XIX ғ. евклидтік емес геометриялардың ашылуына үлкен әсерін тигізді. жүктеу/скачать 1,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|