№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Математика тарихы. Дәріс тезистері 2
|
𝑡𝑔𝜑 = 𝜑 + 𝜑 3 3 + 2𝜑 5 15 + ⋯ 𝑙𝑛𝑠𝑒𝑐𝜑 = 𝜑 2 2 + 𝜑 4 12 + 𝜑 6 90 + ⋯ 𝑠𝑒𝑐𝜑 = 1 + 𝜑 2 2 + 5𝜑 4 24 + ⋯ 𝑙𝑛𝑡𝑔( 𝜑 2 + 𝜋 4 ) = 𝜑 + 𝜑 3 6 + 𝜑 5 24 + ⋯ Ньютон: (1 + 𝑥) 𝑛 = 1 + 𝑛 1! 𝑥 + 𝑛(𝑛 − 1) 2! 𝑥 2 + 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 3! 𝑥 3 + ⋯ ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2 2 + 𝑥 3 3 − 𝑥 4 4 + ⋯ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 2 = 1 2 𝑥 + 1 12 𝑥 3 + 3 80 𝑥 5 + 5 224 𝑥 7 + ⋯ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 + 1 2 ∙ 𝑥 3 3 + 1 ∙ 3 2 ∙ 4 ∙ 𝑥 5 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 𝑥 7 7 + ⋯ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 1! − 𝑥 3 3! + 𝑥 5 5! − 𝑥 7 7! + ⋯ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑥 2 2! + 𝑥 4 4! − 𝑥 6 6! + ⋯ 4. Қарастырылып отырған дәуірде интерполяция техникасының негізі салынды. XVII ғ. басында тригонометриялық және логарифмдік функциялардың кестелерін жасау және 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥 функциясының жеті және одан да көп ондық таңбаға дейінгі дәлдіктегі мәндерін табу жүзеге асырылды. Осы сияқты есептеулерде негізінен, сызықтық интерполяцияның бұрыннан белгілі кейбір әдістері кеңінен қолданылды. Интерполяцияның ерекшелігін ең алғаш Бригс байқап, интерполяциялау техникасының негізін салды. Логарифмдік кестелер құрастыру кезінде ол өзіне кездескен жоғары ретті айырмалардың, ол айырмалар өзара тең болғанға дейінгі мәндерін есептеп шығарды. Ньютон n- ретті айнымалылары тұрақты функциялардың n- дәрежелі көпмүшелік болатынын тағайындады. Валлис алғашқы болып «Интерполяция» терминін қолданды. Интерполяция мәселесінде Грегори жоғары табыстарға жетті, екінші ретті тұрақты айырмалар жағдайы үшін интерполяциялау әдісін ұсынды. Қисықтарды жуықтап квадратуралауға қолдану барысында ол Симпсон формуласына пара-пар ережені алды, мына формуланы ашты: 𝑓(𝑥 0 + 𝑥ℎ) = 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥 1 ∆𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥(𝑥 − 1) 2! ∆ 2 𝑓(𝑥 0 ) + ⋯ + 𝑥(𝑥 − 1) … × 2 × 1 𝑛! ∆ 2 𝑓(𝑥 0 ) Бұл формула Ньютонға да белгілі болған (1675), қазіргі күні ол алдыға қарай инерполяциялауға арналған Ньютон формуласы деп аталады. Ол кейін қарай инерполяциялау формуласын да ұсынды. Интерполяциялық формулалар жаңа математикалық әдістердің дамуында зор роль атқарды. 5. XVII ғ. ғылым мен техника арасындағы қатынастардағы түбірлі өзгерістер инфинитезималдық есептердің ролінің күшеюіне әкеліп соқтырды (интеграциялық әдістер, дифференциалдық есептер). Интегралдық есептерді қарастыру барысында Кеплер шексіз аз шамаларды пайдалану әдісін ойлап тапты (1615). Кеплер бойынша, кез келген фигураны шексіз аз бөліктердің жиындарының бірігуі түрінде қарастыруға болады. Сол сияқты, шар төбелері оның центрінде жататын, ал табандары біріге отырып, шар бетін құрайтын саны шексіз кішкене конустар жиынының бірігуінен тұрады. Кеплер осы әдіспен көптеген денелердің көлемдерін тапты (барлығы 92). Кеплердің әдісін дамытып, өзінің атақты «Бөлінбейтіндер әдісін» ұсынған Б.Кавальери болды. Ол мынадай тұжырым жасады: биіктіктері бірдей денелердің немесе жазық фигуралардың бірдей деңгейдегі ортақ регулаға параллель қималары тең шамалы болса, онда олардың өздері де тең шамалы болады. Бұл тұжырым Кавальери принципі деп аталады. Кавальери әдісі бірқатар қиын есептерді шешуге мүмкіндік берді, ол арқылы қазіргі күні интегралдар арқылы шығарылатын бірқатар есептер шешілді (Торричелли, Паскаль, т.б.). Ферма осыған жақын интегралдық әдісті ұсынып, оны бірқатар қисықтарды квадратуралауда қолданды. Валлис бөлінбейтіндер әдісінің арифметикалық нұсқасын жасап, кейбір интегралдардың мәніне пара-пар тұжырымдарды алды, мұнда ол шек ұғымына сүйеніп, шексіздік таңбасын ( ∞ ) енгізді. Енді бір ғана серпіліс, осы әдістердің барлығын бірыңғай көзқарас тұрғысынан қарастыра отырып, интегралдық есептеулерді жасау қалған еді. 6. XVI-XVII ғғ. инфинитезималдық есептерді шешудің дифференциалдық әдістеріне де мән берілді. Осы әдістермен шешілетін есептердің үш түрі қарастырылды: 1) қисыққа жанама жүргізу есебі; 2) функцияның экстремумдарын табу есебі; 3) алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерін табу есебі. Жалпы, бұл есептердің қай-қайсысы болмасын дейін әртүрлі элементар әдістер арқылы шешіліп келді. Осы дәуірде бұл әдістерді жаңа идеялармен толықтыру қолға алынды (Кеплер, Торричелли, Гюйгенс, Ферма, Декарт, т.б.). Торричелли кинематикалық әдісті қолданып, циклоидаға жанама жүргізу мәселесін шешті. Роберваль өз әдісін ұсынып, конустық қималар мен бірқатар қисықтарға жанамалар жүргізу есептерін шешті. Декарт нормальдар әдісін ұсынды (1637). Бұл әдіс бірқатар қисықтарға жанама жүргізуде қолданылды. Алайда, бұл әдістер жекеленген қисықтардың өзіндік ерекшеліктеріне қарай қолданылғандықтан, кемшіліктері көп болды. Ферма нормальдарды анықтауға да экстремумдарды табуға да қолдануға болатын тағы бір әдісті ойлап тапты (1629). Қазіргі тілмен айтсақ, Ферманың бұл әдісі дифференциалданатын 𝑓(𝑥) функциясы экстремумының 𝑓 ′ (𝑥) = 0 теңдігімен өрнектелетін қажетті шартына сәйкес келеді. Қазір ол Ферма теоремасы деп аталады. Ферма өз әдісін қолданып, бірқатар есептерді шешті, жанамалар жүргізудің жалпы әдісін тұжырымдады, оны қисықтың 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 теңдеуі жағдайында қалай қолдануды көрсетіп берді. Гудде алгебралық теңдеудің еселі түбірлерін табу әдісін жасады. Гудде бұл мәселеге алгебралық пайымдаулар жүргізу арқылы қол жеткізді және 𝑓(𝑥) функциясын дифференциалдаған жоқ, өзінің әдісін біршама басқа және неғұрлым жалпы түрде баяндады. Қорыта айтқанда, XVII ғ.ортасына қарай инфинитезимальдық есептерді шешу әртүрлі әдістері жинақталды. Алайда, әлі де болса, дифференциалдаудың математикадағы ерекше амал ретінде мән-мағынасы айқындала қоймаған еді. 7. Қазіргі күні дифференциалдау мен интегралдаудың өзара кері амалдар екендігін түсіну аса қиындық тудырмайды, себебі бұл мәселе дифференциал мен интегралдың анықтамаларынан-ақ бірден байқалады. ХVII ғ. негізінен, мына екі есепке баса мән берілді: қисықтың жанамасы туралы есеп және қисықпен шектелген аудан туралы есеп (қисықтың квадратурасы туралы есеп деп те аталады). Осы екі есепті шешу барысында орындалатын «жанаманы табу амалы» мен «квадратуралау амалының» табиғаттары өзара кері болып табылады. Мысалы, параболаны квадратуралау 𝑥 𝑚 функциясына 𝑥 𝑚+1 𝑚+1 функциясын, ал жанаманы анықтау 𝑥 𝑚+1 𝑚+1 функциясына 𝑥 𝑚 функциясын сәйкестендіреді. Осы сияқты байланыстарды тағайындауға түрткі болған мәселелердің бірі – жанамаларға берілген кері есептер. Оларда қисықтарға жүргізілген барлық жанамалардың жалпы қасиеттері бойынша қисықтардың өзін табу талап етіледі. Мысалы, Дебон есебі: « 𝑦 ′ = 𝑥−𝑦 𝑎 теңдеуін қанағаттандыратын қисықты табу керек». «Жанаманы табу амалы» мен «Квадратуралау амалының» арасындағы байланыс механикалық және геометриялық тұрғыда негізделді (Торричелли, Менголи, Валлис). Барроу өзара кері болып табылатын, қазіргі математика тілімен былай баяндауға болатын екі теореманы дәлелдеді (1670): 1) 𝑦 = ∫ 𝑧𝑑𝑥 𝑥 0 интегралдық теңдігінен 𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 дифференциалдық теңдігі шығады; 2) 𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 дифференциалдық теңдігінен 𝑦 = ∫ 𝑧𝑑𝑥 𝑥 0 интегралдық теңдігі шығады. Бұл теоремалар интегралды табу мен дифференциалдаудың өзара кері сипаттағы амалдар екендігін тағайындауға мүмкіндік туғызды. Алайда, бұл мәселе ХVII ғ. математиктеріне сәл кейінірек, интегралдау мен дифференциалдау амалдары аналитикалық тұрғыда анықталғаннан кейін ғана түсінікті болды. Қорыта айтқанда, XVII ғ. 4-ширегіне қарай математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулердің ашылуына қолайлы жағдай туғызған алғышарттар толығымен пісіп, жетілді. жүктеу/скачать 1,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|