№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы

шешуді Риккатидің өзі,Иоганн I, Николай I, Николай II және Д.Бернулилар жүзеге асырды. 
Риккати алғаш рет кейіннен өз атымен аталып кеткен
 
𝑥
𝑛
𝑑𝑞
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑢
2
𝑞
 
түріндегі дифференциалдық теңдеуді қарастырды (1724). Бұл теңдеу дифференциалдық 
теңдеулер теориясының дамуында маңызды рөл атқарды, оның практикалық пайдасымен 
қатар терең теориялық маңызы болды. Риккати теңдеуі дифференциалдық теңдеулердің 
табиғаты мен қасиеттерін түсінуге сара жол ашты. Осылайша, қарапайым 
дифференциалдық теңдеулер теориясының дамуындағы жаңа кезең басталды. Қарапайым 
дифференциалдық теңдеулер теориясының бұл кезеңдегі дамуы негізінен алғанда, мынадай 
төрт бағытта жүрді: 
1. Сызықтық дифференциалдық теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу әдістерін 
іздеу;
2. Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерін табу; 
3. Дифференциалдық теңдеулерді жуықтап интегралдаудың сандық әдістерін жасау; 
4. Дифференциалдық теңдеулердің ерекше шешімдерін қарастыру. 
Бірінші бағыт бойынша Эйлер, Д.Бернулли, Даламбер, Лагранж, Лежандр және 
Лексель сияқты математиктердің еңбектерінде үлкен табыстарға қол жеткізілді. Лагранж 
айнымалы коэффициентті 
n-
ретті біртекті емес сызықтық теңдеулерді шешудің 
«тұрақтыларды вариациялау» әдісін тапты(1777). Эйлер резольвента – «шешілімді теңдеу» 
ұғымын енгізді, ал Лагранж біртекті теңдеудің 
m 
дербес шешімдерін біле отырып, сондай 
коэффициентті біртекті емес теңдеудің ретін 
m
бірлікке төмендету әдісін көрсетті. Тұрақты 
коэффициентті сызықтық теңдеулер жүйелерін зерттеу алғаш рет Даламбер мен Эйлердің 
еңбектерінде қолға алынды. Даламбер «сандық көбейткіштер» әдісін ұсынды (1743). Эйлер 
тұрақты коэффициентті сызықтық теңдеулерді шешу әдісінің теңдеулер жүйелерін шешуде 
қолданылу жолдарын көрсетті (1750), олар Лагранждың жұмыстарында жалғасын тапты 
(1752-1766). Айнымалы коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешуде 
Эйлер бірқатар нәтижелер алды (1747). Ол бұдан кейінгі жұмыстарында осындай 
теңдеулерді шешудің «канондық түрлендірулер» деп аталатын басқа да әдісін ұсынды, 
параметрлерге тәуелді интегралдарды қолдануға негізделген жаңа бір әдісті тапты (1763). 
Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулерді шешудің алғашқы әдістерін де 
ұсынған – Эйлер (1732). Жалпы айтқанда, Эйлер сызықтық емес теңдеулердің жекеленген 
түрлерін интегралдаудың бұдан да басқа әдістерін келтірді. Бұл бағытта математиктер 
интегралдық көбейткіш әдісін қолдану арқылы бірқатар нәтижелер алды. Бұл әдісті 
И.Бернулли ойлап тапты және Николай II Бернулли тиімді қолданды (1720). Интегралдық 
көбейткіш әдісі XVIII ғ. Эйлердің, Клероның, Кондерсенің және Лексельдің еңбектерінде 
онан әрі дамытыла түсті. 
XVIII ғ. дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері ойлап табылып, 
олардың маңызы арта түсті. Эйлер бұл бағытта шектеусіз дәрежелік қатарларды, сондай-ақ 
тригонометриялық 
қатарларды 
кеңінен 
пайдаланды. 
Оның 
басты 
жетістігі 
дифференциалдық теңдеулерді жуықтап интегралдаудың жалпы әдістерінің бірі – 
«сынықтар әдісін» жасауы болып табылады (1768, 1769). Эйлер аса күрделі сызықтық емес 
дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырып, оны «кіші параметр әдісімен» жуықтап 
шешті (1781). Эйлердің бұл әдісінің жетілдірілген нұсқасын Лаплас ұсынды (1775). 
Осы кезеңде дифференциалдық теңдеулердің ерекше шешімдері туралы ілім пайда 
болып, қарқынды дами бастады. Оның алғашқы нышандары Тейлордың еңбектерінде бой 
көрсетті (1715). 20 жыл өткеннен кейін Тейлордың дифференциалдау әдісін Клеро 
𝑦 =
(𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
теңдеуін шешуде қолданды (1736), мұнда ол теңдеудің ерекше шешімі 
мен жалпы шешімі арасындағы айырмашылықты атап көрсетті. Бұл салада Эйлер тиянақты 
зерттеулер жүргізді. Кейіннен ерекше шешімдер теориясы Лапластың еңбектерінде одан 
әрі дамытылды (1775). Осы бағыттағы келесі қадамды Лагранж жасады. Оның 
«тұрақтылардың вариациясы» идеясы интегралдық есептеулердің «парадокстарын» 

шешудің тиімді жолын табуға мүмкіндік жасады (1776). Лагранж өз әдісін екінші ретті 
қарапайым дифференциалдық теңдеулерді, сондай-ақ бірінші ретті дербес туындылы 
дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолданып, ерекше шешімдер теориясын жүйелі 
түрде баяндауды жүзеге асырды (1801). 
XVIII ғ. ортасында математикалық физиканың көптеген мәселелері қарапайым 
дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептердің қойылуына түрткі болды. Бұған 
әсіресе екі ұшы бекітілген шектің тербелісі туралы классикалық проблеманың тигізген әсері 
мол болды. Математикалық физиканың осы және басқа да есептері кей жағдайларда 
қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептерге келіп тіреледі. 
Математикалық физиканың осы сияқты бірқатар есептерін шешуді XVIII ғасырдың 
Даламбер, Эйлер, Лагранж және т.б. атақты математиктері жүзеге асырды. Қорыта 
айтқанда, XVIII ғасыр соңына қарай қарапайым дифферециалдық теңдеулер туралы ілім 
дербес ғылым саласы ретінде қалыптасты.
5. 
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясы XVIII ғ. математикалық 
анализдің қолданылу аясының кеңейе түсуіне және математиканың көп айнымалысы бар 
функциялардың қажеттілігін талап ететін бірқатар бөлімдерінің қалыптасуына, сонымен 
қатар жаратылыстану ғылымдарының күрделі есептерінің қойылуына байланысты пайда 
болды.
Мұндай теңдеулерді интегралдаудың мысалдары алғаш Эйлердің еңбектерінде 
ұшырасады (1740). Осыдан кейін көптеген физикалық есептерді дербес туындылы 
дифференциалдық теңдеулерге келтіру мәселесі қолға алына бастады. Даламбер шектің 
тербелісі туралы Тейлор ұсынған атақты есепті
 
дифференциалдық теңдеуге келтірді (1747). 
Кейінірек бұл теңдеу толқындық теңдеу, ал XIX ғ. дербес туындылы теңдеулердің 
классификациясы жасалғанда, гиперболалық типтегі теңдеу деп аталды. Оның жалпы 
шешімін Даламбер (1749) мен Эйлер (1750) ұсынды. Жалпы алғанда, бұл шешімдердің 
айтарлықтай айырмашылықтары болмағанымен, Даламбер мен Эйлердің арасында теңдеу 
шешімінің физикалық мағынасын түсіндіруде келіспеушілік орын алды. Бұл берілген 
теңдеудің шешімі болып табылатын функция туралы, кейінірек жалпы алғандағы 
функцияның табиғаты жайындағы XVIII ғасыр математиктері арасында пікірталастың 
орын алуына себеп болды (Д. Бернулли, Лаграндж, т.б.). Алайда, бұл мәселе XVIII ғ. 
шешімін тапқан жоқ. 
Математиктер математика мен физиканың дербес туындылы дифференциалдық 
теңдеулермен өрнектелетін басқа мәселелерін зерттеуге кірісті. Осы орайда, дербес 
туындылы дифференциалдық теңдеулердің маңызды көзі ретінде гидромеханиканың 
күрделі есептерін шешу қолға алынып (Даламбер, 1752; Эйлер,1757), маңызды ғылыми 
нәтижелер алынды. XVIII ғ. 60-ыншы жылдарында Даламбер мен Эйлердің осындай 
теңдеулерді интегралдау мәселесіне арналған арнайы зерттеулері жарық көрді (Эйлер, 
1764; Даламбер, 1768). Оларда алғаш рет бірінші және жоғары реттік дербес туындылы 
теңдеулерді сызықтық және сызықтық емес, сондай-ақ тұрақты және айнымалы 
коэффицентті теңдеулерге классификациялау жүзеге асырылды, дербес туындылы 
теңдеулерді шешудің характеристикалар әдісі, қатарлар әдісі сияқты аса маңызды 
әдістерінің негізі салынды. XVIII ғ. соңғы ширегінде негізінен алғанда, бірінші реттік 
дербес туындылы сызықтық және сызықтық емес теңдеулердің жалпы теориясын жасауда 
айтарлықтай жетістіктерге қол жеткізілді (Лаплас, 1777; Лагранж, 1776). Эйлер үш 
айнымалысы бар бірінші реттік теңдеуді төрт айнымалысы бар сызықтық теңдеуге 
келтіруге болатындығын көрсетті (1770). Алайда, Эйлер де Лагранж да бірінші реттік 
сызықтық емес теңдеулерді шешу мәселесін толық аяқтай алған жоқ. Олардың идеялары 
Шарпи мен Монждың еңбектерінде одан әрі дамытыла түсті (Шарпи,1784; Монж,1787).
XVIII ғ. соңғы ширегінде механика мен физика есептерімен байланысты екінші 
реттік дербес туындылы теңдеулерді шешуде бірқатар ірі нәтижелер алынды (Лаплас, 1777; 
Лежандр 1789), математикалық физиканың іргелі бөлімдерінің бірі – потенциалдар 
теориясының негізі салынды (Лагранж, 1775), тартылыс теориясы дамытылып 
(Лаплас,1785), бірқатар жаңалықтар ашылды. 

Қорыта айтқанда, XVIII ғ. дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер 
теориясында айтарлықтай тәжірибе жинақталды және олар механиканың ғана емес, 
сонымен қатар физиканың жаңа салаларының негізгі математикалық аппаратына айналды. 

жүктеу/скачать 1,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: